天津市红桥区2026届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市红桥区2026届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A.2 B.4 C.6 D.10【答案】C【解析】全集，由，得，而，所以.故选：C.2.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在中，，，，若，根据在上单调递增，所以可得；若，由可得，所以，若，则，矛盾，因此充分性成立，在中，由正弦定理可知，。又因为在三角形中大边对大角，所以。因此，，因此必要性也成立，所以“”是“”的充要条件.故选：C.3.对任意等比数列，下列说法一定正确的是（）A.成等比数列 B.成等比数列C.成等比数列 D.成等比数列【答案】B【解析】设等比数列的公比为，A，当时，，不成等比数列，A错误；B，对于任意公比，，成等比数列，B正确.C，当时，，不成等比数列，C错误；D，当时，，不成等比数列，D错误.故选：B.4.已知函数满足且，（）A.682 B.684C.686 D.688【答案】A【解析】由函数满足且，得，，所以.故选：A.5.如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润营业额支出），根据折线图，下列说法中错误的是A.该超市这五个月中的营业额一直在增长；B.该超市这五个月的利润一直在增长；C.该超市这五个月中五月份的利润最高；D.该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关.【答案】B【解析】由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：1月份的利润为万元；2月份的利润为万元；3月份的利润为万元；4月份的利润为万元；5月份的利润为万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，故选B．6.已知则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数在上单调递增，所以，所以，故A错误；由得，当时，，故B错误；因为函数单调递减，所以，当时，幂函数在上单调递增，所以，所以，故C正确；因为函数单调递增且，所以，故D错误.故选：C.7.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，是函数的零点，则（）A.5 B.4C.3 D.2【答案】C【解析】函数在上单调递增，，，所以零点满足，所以，故选：C.8.函数的图象关于直线对称，则下列命题正确的是（）A.将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称B.点为图象的一个对称中心C.D.在区间上单调递减【答案】B【解析】由函数的图象关于直线对称，得，而，则，，对于A，将的图象向右平移个单位长度后得，函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，A错误；对于B，，点是图象的对称中心，B正确；对于C，，C错误；对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增，则函数在区间上单调递增，D错误.故选：B.9.已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于A，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，可得，所以双曲线的渐近线方程为由得，由得，∴，解得，∴，，则的三边长分别为，，．设的内切圆半径为，由，解得.故选：C．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知i是虚数单位，若复数则__________.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：.11.的展开式中常数项为_____.【答案】14【解析】的展开式的通项公式为，由，得，所以所求常数项为.故答案为：14.12.等比数列的前n项和为，已知成等差数列，则的公比为________________.【答案】【解析】因为已知成等差数列，所以；即，化简得到；所以或（舍去）.故答案为：.13.已知一个体积为27的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内.则该半球体的体积为____________.【答案】【解析】半球球心是正方体下底面正方形中心，过该正方体的对角面作截面，截半球得半圆，如图，设正方体棱长为，则，半球半径，由正方体的体积为27，得，所以该半球体的体积.故答案为：.14.在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，设，试用a，b表示为_____________;的面积为，则的最小值为______________.【答案】；【解析】依题意，，则，因此，，由的面积为，得，则，，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：；.15.函数若在区间内恰有5个零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】作出函数的图像，左侧是正弦型函数，右侧是开口向上，可以上下平移对称轴为的二次函数.当时，，得到，（1）当在区间有3个零点且在区间有2个零点时，满足，得到；（2）当在区间有4个零点且在区间有1个零点时，满足或，得到；（3）当在区间有5个零点且在区间没有零点时，满足，无解；综上所述，实数的取值范围为：.故答案为：.三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.(16)(本小题满分14分)16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（1）求b的值;（2）求sinC的值;（3）求的值.解：（1）因为，所以由正弦定理得，即，所以，由余弦定理，得到；所以.（2）因为，所以；由正弦定理，得到.（3）因为，；所以；17.如图，多面体中，面为矩形，，，（1）求证:平面;（2）求与所成角的余弦值；（3）求二面角的余弦值.（1）证明：因为为矩形，所以,又，则，又平面，所以平面.（2）解：由（1）可以D为原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系：则所以，则与所成角的余弦值.（3）向量，设平面的一个法向量为，则，令得；向量，设平面的一个法向量为，则，令得.设二面角的平面角为，则由图可得.18.已知椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆C于点M，N，的周长为8，过点Q(4，0)的直线m交椭圆C于不同的两点A，B.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若D为线段AB的中点，在x轴上存在一点E，使成立，求的取值范围.解：（1）因为左、右焦点分别为，所以，的周长为，所以，所以，所以椭圆方程.（2）设过点的直线m方程为（斜率不存在时无交点，舍去），联立椭圆方程：，得.设，中点，则；由得到；；所以，由，化简得到，所以，所以直线方程，令，得.所以，因为，令，所以，函数，因为，所以在上单调递增，，；所以.19.已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足.（1）求数列、的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）设，求证：.（1）解：因为数列是等差数列，设公差为，由，得，即，解得，所以，由得，得，当时，，所以，所以，即，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.综上所述：数列、的通项公式分别是：，.（2）解：由（1）知，，所以，所以.（3）证明：由（1）知，，所以，所以，所以，设，则，所以，所以，所以，所以.20.已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）对任意实数不等式恒成立，求实数b的取值范围；（3）若是的两个不同的极值点，且求实数a的取值范围.解：（1）当时，，则，由可得或，由