天津市静海区四校联考2025-2026学年高二上学期第三次阶段检测（12月）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市静海区四校联考2025-2026学年高二上学期第三次阶段检测（12月）数学试题一、单项选择题（共10题；每题4分，共40分）1.过两点的直线的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】A【解析】直线AB的斜率,故直线AB的倾斜角，故选A.2.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（）A. B.C.2 D.【答案】D【解析】由直线平面，可得，则则，解得故选：D.3.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】由题意可得，.故选：C.4.曲线与曲线的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆；曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆．故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等．故选：D.5.已知椭圆的离心率为，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得，故选：B.6.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即与直线方程联立，得圆心坐标为.又圆的半径，所以，圆的方程为，即.故选：C.7.如图，空间四边形，点在上，且，点为中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】连接，如下图所示：因为点为中点，则，又，所以，故选：B.8.若方程表示圆，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为方程表示圆，所以，解得.所以实数的取值范围为.故选：C.9.已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的焦距为（）A.2 B.C. D.4【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，根据圆的圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，从而求得双曲线的方程为，所以，即，故此双曲线的焦距为，故选：D.10.已知圆M的方程为，过点的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为，弦长最长的弦为，则四边形的面积为（）A.30 B.40 C.60 D.80【答案】B【解析】圆M的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半径的圆，且由，即点在圆内，则最短的弦是以为中点的弦，所以，所以，过最长的弦为直径，所以，且，故而.故选：B.二、填空题（共6题，每题5分，共30分）11.若，则___________【答案】【解析】因为，所以，即，有，可知.故答案为：.12.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为___________.【答案】【解析】设圆的圆心为，它的坐标为，该圆的半径为，圆心到直线的距离为：，所以弦长为：，故答案为：.13.过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______.【答案】或【解析】由，解得，则两直线交点.由题意所求直线在两坐标轴上截距相等，①当截距为0时，设直线方程为，将点坐标代入，得，则此时所求直线方程为，即；②当截距不等于0时，设直线方程为，即，将点坐标代入，得，则此时所求直线方程为，即.综上所述，所求直线方程或.故答案为：或14.已知满足，求的最小值______．【答案】8【解析】∵，∴，∴，∴当时，取最小值8．故答案为：8．15.椭圆的左，右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于A，B两点，设，，若的面积是4，则__________.【答案】或【解析】由题意，则，因为，所以.故答案：.16.已知直线，与抛物线相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则k=______.【答案】【解析】由题意，设，由抛物线定义可得,，因为,所以，即①；联立,整理得,所以,故,又,由①②③解得满足题意.故答案：三、解答题（共5道题，共50分）17.已知的三个顶点分别为．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求外接圆的方程．解：（1）因为，设边上的高所在直线的斜率为，则，因点在高线上，所以，即（2）设外接圆的方程为，则，解得，故外接圆的方程为18.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍；（2）经过两点．解：（1）根据题意可设椭圆的标准方程为：，所以由题设有：，解得，故椭圆的标准方程为：（2）根据题意可设椭圆的方程为：，所以由题设有：，解得，故椭圆的标准方程为：.19.已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，点在第一象限，且.（1）求直线的斜率；（2）若，求抛物线方程.解：（1）设因为，所以到准线的距离为即，所以,代入抛物线方程可得，即，又因为，所以直线的斜率为；（2）由（1）知，直线的斜率为，设直线的方程为，则，由，得，所以，因为，所以，所以该抛物线方程为.20.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点.（1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程；（2）若，且长轴长为，的面积为，求b的值.解：（1）已知，因为，所以，点在椭圆上，将其代入椭圆的，可得，即①，又因为，即②，联立①②，整理得，解得或，因为，所以，所以，故椭圆的标准方程为；（2）因为，所以的面积，则，因为长轴长为，即，根据椭圆的定义得，所以，即③，由余弦定理可得，整理得④，联立③④得：，即，则，所以，在椭圆中有，即，解得.21.如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点，满足，求点到平面的距离.（1）证明：取中点，连接，，∵，∥，∴，∵底面，底面，∴，又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，点，分别为，的中点，∴∥，又，∴，∵为中点，∴，∵，∥，∴四边