山东省济南市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济南市2025-2026学年高二上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等比数列，满足，则（）A.8 B.9 C.10 D.12【答案】B【解析】由题意得，所以.故选：B.2.已知向量，若，则（）A.-10 B.-4 C.4 D.10【答案】B【解析】因为向量，，则，解得：.故选：B.3.椭圆的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由椭圆，可得椭圆焦点在轴，且,，由，则，所以椭圆的焦点坐标为，故选：A.4.已知直线与垂直，则（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】将直线化为，直线与垂直，，.故选：C.5.2025年11月9日至21日，第十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地举办，志愿者招募工作中，某高校每天报名的人数成等差数列，已知该高校前三天共报名90人，前五天共报名225人，则第一天报名的人数为（）A.10 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】设从第一天起每天的报名人数构成数列，记数列的前项和为，由题意得数列为等差数列，，，则，解得，所以第一天报名的人数为.故选：B.6.已知圆，直线，则圆上的点到直线的距离的最大值为（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】圆的方程：，圆心

，半径

，直线方程为

。圆心到直线的距离公式为：，圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上圆的半径，即：当时，最小，取得最大值，此时：，因此，圆上的点到直线

的距离的最大值为5.

故选：C.7.双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．已知为双曲线的左、右焦点，从发出的光线经过双曲线右支上的点反射后，反射光线与入射光线垂直，且，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可得：，解得：则，所以，则的渐近线方程为，故选：D.8.在四棱锥中，，且底面，过点的平面与侧棱分别交于点，若四边形为矩形，则此矩形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】过作AP的平行线为轴，分别为轴，如图建系，令，则，，，，，分别在上，令，，，，，，，，，，则，，，，所以，则，所以，，所以，，则矩形面积为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线，过焦点的直线与交于A，B两点，则（）A.的坐标为 B.关于轴对称C.（为坐标原点） D.当的坐标为时，【答案】ABD【解析】，，，，，故选项A正确；焦点在上，则关于轴对称，故选项B正确；与交于A，B两点，设，则，，，，，变形为，设过焦点的直线方程为，将代入得到，即，，，，不垂直，，故选项C错误；的坐标为，，故选项D正确.故选：ABD.10.在空间直角坐标系中，，则（）A. B.C.在方向上的投影向量的模为 D.的面积为【答案】BD【解析】，故A错误；，，，故B正确；设，的夹角为，在方向上的投影向量的模为，故C错误；，又，所以，所以的面积为，故D正确.故选：BD.11.已知数列满足，则（）A.当时，数列为常数列B.当时，数列为等比数列C.当时，数列的前项和D.当时，数列为递减数列，且存在实数，使得恒成立【答案】ABC【解析】数列满足.当时，，所以当时，数列的各项均小于1，即.当时，，所以当时，数列的各项均等于1，所以数列为常数列.所以A正确当时，.所以，又，数列是首项为，公比为的等比数列.所以B正确.当时，，所以，..所以所以C正确..当时，恒成立.当时，，所以，且，所以，所以，以此类推，可得，，所以，即数列为递减数列.因为数列满足，随着的递减，递减，结合二次函数的性质可知，数列为没有下界，所以不存在实数，使得恒成立.所以D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆，则圆的半径_________．【答案】【解析】将圆的方程转化为标准方程为，所以圆的半径.故答案为：.13.在正方体中，为中点，则直线与所成角的余弦值为_________．【答案】【解析】因为，则直线与所成角的余弦值即为直线与所成角的余弦值，设正方体的棱长为，则，因为平面，平面，所以，在中，，所以，所以直线与所成角的余弦值为.故答案为：.14.已知分别为双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上异于的一点，延长交轴于点，则双曲线的离心率为_________．【答案】【解析】因为分别为双曲线的左、右顶点，所以.设，则，所以.直线的方程为，令，解得，即，所以，由知，即，所以，所以双曲线的离心率为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆过三点．（1）求的方程；（2）求直线被所截得弦长．解：（1）设圆为，将，，分别代入得：，所以，所以圆的方程为.（2）由（1）得圆心，半径，圆心到直线距离，所以弦长.16.已知等比数列的公比，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）数列是等比数列，设首项为，公比为，则，又，，即，．（2），，．17.如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，平面为PA的中点．（1）证明：；（2）求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值；（3）求点到平面BDE的距离．（1）证明：因为平面，平面，所以，，又因为是正方形，所以，以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系如图，则，，，，，，，，，所以（2）解：设平面的法向量为，，则，令，得：，即，易知平面的法向量为，所以，所以取绝对值得平面与平面的夹角的余弦值为.（3）解：由（2）知，平面的法向量为，点到平面的距离，即点到平面的距离为.18.已知椭圆过点，离心率为．（1）求的标准方程；（2）设的左、右焦点为的一条切线与直线分别交于两点．（i）若过点，直线与交于两点，求的面积；（ii）若直线与交于点，是否存在两个定点，使得是定值？如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）解：把代入得：，因为离心率为，所以，所以，联立，解得，所以的标准方程为.（2）（i）解：易知直线斜率存在，因为直线过点，设直线方程为，联立，消去得，因为直线与椭圆相切，故，化简得，解得，所以直线方程为，即，将代入得，则，又，所以直线的方程为，设，联立，消去得，则，，，则，点到直线的距离，所以的面积为．（ii）设切点坐标，设直线方程为，联立，消去得，因为直线与椭圆相切，故，化简得，故，因为点在椭圆上，故，，所以，所以直线方程为，即，所以，，又，直线，即，直线，即，上面两个式子相乘得：，因为，所以，所以点在以，为焦点，长轴长为的椭圆上，所以存在，或，，使得．19.已知正项数列，满足，且．（1）证明：数列为等比数列；（2）设的前项和为，且数列满足：．（i）当时，证明：；（ii）若恒成立，求正整数的最小值．（1）证明：由正项数列可知，各项均不为，将等式两边同时除以，得，则，即，，又，所以，，故数列是首项为，公比