陕西省宝鸡市渭滨区2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省宝鸡市渭滨区2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，即，故准线方程为，故选：C.2.已知数列满足，则（）A. B. C.5 D.7【答案】A【解析】由数列满足，可得．故选：A.3.已知向量，若，则（）A.7 B.5 C. D.【答案】D【解析】因为，所以，即.故选：D.4.若直线被圆截得的弦长为，则（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由圆，圆心，半径.则圆心到直线的距离，又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得.故选：A.5.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（）A.抛物线 B.双曲线的一支 C.椭圆 D.圆【答案】C【解析】如图，设动圆的圆心为，半径为，由题意得圆：，圆：，则，，，所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）.故选：C.6.某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列，则210架无人机可以同时排出的图形组数是（）A.14 B.13 C.12 D.11【答案】C【解析】记第组中无人机的架数为，由图形可得，可知数列是首项为1，公差为3的等差数列，则数列的前项和，令，得，解得（舍）或，所以210架无人机可以同时排出的图形组数是12．故选：C.7.已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（）A.4 B.5 C.6 D.【答案】B【解析】由题意，椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得，所以，因为，故在椭圆内，所以，当在线段上时，等号成立.故选：B.8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，，关于原点对称，不妨设点为第一象限内一点，则，，又，，所以，，记，因为为锐角三角形，所以，，，即，，，解得，所以.故选:D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】设直线的方程为，则间的距离，解得，或，所以直线的方程为或.故选：AB.10.在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A选项，在平行六面体中，，故A正确；对于B选项，因为点是上靠近的三等分点，所以，又，所以，故B正确；对于C选项，因为，，，所以，所以，故C错误；对于D选项，，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（）A. B.等比数列C. D.【答案】AC【解析】对于A：由，可得：，所以：，所以，正确，对于B：所以，即是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以则，不是等比数列，错误；对于C：数列的第106项为213，又，，，，，，，所以，所以的前项和为，C对，D错；故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若成等差数列，则________．【答案】【解析】因为成等差数列，所以，解得．故答案为：.13.若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为__________.【答案】或【解析】设向量在直线上的投影向量为，则，所以点到直线的距离.故答案为：.14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______.【答案】【解析】曲线，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，作出曲线如图：到直线的距离，则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性，只需考虑，时的情况；当，时，曲线C的方程为，曲线为圆心为，半径为的圆的一部分，而到直线的距离为，由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，故的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和为．（1）若为等比数列，，，求的公比；（2）若为等差数列，，，求．解：（1）设数列的公比为，由题意得两式相除，得，即，解得，或．（2）法1：由，，得，因为这些项成等差数列，且项数为80，由等差数列的性质，得，所以，所以，所以．法2：设数列的公差为，由，，得化简，得解得所以．16.已知圆的圆心在直线上，并且过和两点.（1）求圆的标准方程；（2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值.解：（1）由题意，圆心在直线上，可设，因为圆过点，且过点，可得，整理得，所以，即，且半径所以圆的方程为.（2）由（1）知，圆，圆心，半径，则四边形的面积，设，因为，所以当时，，此时四边形的面积最小，最小值为；17.如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为四边形是正方形，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面.又平面PAD，所以，又平面，所以平面，又平面PCD，所以平面平面PCD.（2）解：分别取的中点，连结，因为，所以，且，因为四边形ABCD是正方形，分别是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，，又平面平面，所以，即，又，所以，以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设为平面的一个法向量，则令，得，所以.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18.已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和；（3）若，数列的前项和为，证明：．（1）解：由，得，所以，将以上各式相乘，可得，因为，所以，又因为满足上式，所以数列的通项公式为．（2）解：由（1）知，可得，设前项和为，可得，则，以上两式相减得，所以，所以的前项和为．（3）证明：由（1）知，可得，所以.，因为，所以，所以．19.已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为.（1）求的标准方程；（2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点.①求的大小；②求四边形面积的最小值.解：（1）设椭圆的半焦距为c，则，而点到的