2026年高考物理一轮讲义(福建专用)第12讲曲线运动、运动的合成与分解(复习讲义)(学生版+解析)

第12讲曲线运动、运动的合成与分解目录01TOC\o"1-3"\h\u考情解码·命题预警 202体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 4考点一曲线运动 4知识点1曲线运动的速度方向 4知识点2物体做曲线运动的条件 4考向1曲线运动瞬时速度方向 4考向2物体运动轨迹、速度和受力的相互判断 5【解题技巧】物体做曲线运动的条件考点二运动的合成与分解 7知识点1运动的合成和分解基础 7知识点2小船过河模型分析 7知识点3关联速度模型分析 8考向1运动的合成和分解的基本分析 9【规律方法】运动的合成和分解考向2小船过河-最短过河时间问题 11考向3小船过河-最短过河位移问题 12考向4杆的关联速度问题 12考向5绳的关联速度问题 1304真题溯源·考向感知 15考点要求考察形式2025年2024年2023年曲线运动选择题非选择题黑吉辽蒙卷T1，4分浙江卷T4，3分运动的合成与分解选择题非选择题湖南卷T2，4分江苏卷T10，4分考情分析：1．高考对这部分内容的考查，以多种题型的形式出现，整体难度一般，个别题目有些难度，往往会以实际生活中的例子或者设定一定的具体问题模型作为试题背景考查知识。2．从命题思路上看，试题情景为情景探究类：给出物体运动的轨迹图像分析物体的运动和受力情况。生活实践类：小船过河问题，汽车通过绳子拉物体等有关于涉及多个方向的问题。复习目标：目标一：会确定曲线运动中速度的方向，知道曲线运动是变速运动，知道物体做曲线运动的条件。会分析曲线运动中合力方向、速度方向与轨迹的关系。目标二：能运用运动的合成与分解的知识分析一些实际运动。目标三：会分析小船渡河问题的两个分运动，会求最短时间和最短位移问题，能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题。考点一曲线运动知识点1曲线运动的速度方向1.质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的方向。2.在曲线运动中速度的是变化的，所以曲线运动是变速运动。知识点2物体做曲线运动的条件1.动力学角度：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做运动。2.运动学角度：物体加速度的方向与它的速度的方向不在同一直线上时，物体做运动。得分速记曲线运动的特点(1)物体做曲线运动时，速度方向一定变化，但速度的大小不一定变化。(2)性质：速度是矢量，由于速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动的加速度一定不为零，是变速运动。(3)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动。考向1曲线运动瞬时速度方向例1（2025·福建福州·三模）“玉兔二号”是我国自主设计制造并成功登陆月球的第二辆无人探测车，图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，巡视器质量为130kg，则巡视器（）A．受到月球的引力为1300N B．在AB段运动时加速度可能为0C．OA段与AB段的位移相同 D．从O到B的路程等于OAB轨迹长度【变式训练1】（24-25高一下·福建·期中）关于曲线运动的下列说法正确的是（）A．曲线运动不一定是变速运动B．曲线运动的速度一定改变，加速度也一定改变C．当曲线运动的合力与速度夹角为锐角时，速度的大小和方向都改变D．曲线运动的速度不可能均匀增加【变式训练2】如图所示，在水平桌面铺上白纸，白纸上摆一条弧形弯道。表面沾有红色印泥的小钢球从弯道A端滚入，它从出口B离开后在纸上留下的痕迹是（）A．a B．b C．c D．d考向2物体运动轨迹、速度和受力的相互判断例2（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则（

）A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B．质点速度的方向总是与该恒力的方向垂直C．质点加速度的方向不可能总是与该恒力的方向相同D．质点单位时间内速度的变化量总是不变解题技巧物体做曲线运动的条件（1）合力方向(或加速度方向)与速度方向不共线是物体做曲线运动的充要条件。（2）合力总是指向轨迹的凹侧，轨迹夹在速度方向与合力方向之间。【变式训练1】（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1枚携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域。全程飞行试验行程9070公里，落点靶区为2公里正方形区域，实际偏差仅为250米。如图是导弹的飞行轨迹，导弹的速度v与所受合外力F的关系可能正确的是（）A．图中A点 B．图中B点 C．图中C点 D．图中D点【变式训练2】（2022·福建厦门·二模）汽车在水平地面转弯时，坐在车里的小云发现车内挂饰偏离了竖直方向，如图所示。设转弯时汽车所受的合外力为F，关于本次转弯，下列图示可能正确的是（）A． B．C． D．考点二运动的合成与分解知识点1运动的合成和分解基础1.运动的合成和分解（1）合运动与分运动如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，同时参与的几个运动就是分运动。（2）运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。（3）运动的合成与分解遵从矢量运算法则。2.合运动与分运动的四个特性等时性各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同等效性各分运动的共同效果与合运动的效果相同同体性各分运动与合运动是同一物体的运动独立性各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响得分速记运动的特点的判断(1)加速度(或合力)与速度方向，共线：直线运动；不共线：曲线运动。(2)是否为匀变速运动的判断，加速度(或合力)变化：非匀变速运动；加速度(或合力)不变：匀变速运动。知识点2小船过河模型分析1.最短过河时间由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度.因此若要渡河时间最短，只要使船头河岸航行即可。由图可知，t短=，此时船渡河的位移为x=，位移方向满足tan=。2.最短过河位移（1）v水＜v船最短的位移为河宽d，此时合速度河岸。船头与上游河岸夹角θ满足：=v水，如图所示.渡河所用时间t短=。（2）v水＞v船如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知=，最短航程为x=，此时船头应与河岸上游成角，且=。知识点3关联速度模型分析1.两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上，两物体的速度是关联的。2.处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度。物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取方向和方向。3.常见的速度分解模型情景图示定量结论即即考向1运动的合成和分解的基本分析例1（2024·福建·二模）在马戏表演中，演员顶着直杆沿水平地面做初速度为0、加速度为a的匀加速直线运动，同时猴子沿竖直杆向上以速度v0匀速移动，经过一段时间，猴子沿杆向上移动的高度为h，如图所示下列说法正确的是（）A．猴子相对地面做匀变速直线运动B．猴子相对地面的运动轨迹为直线C．此时刻猴子对地速度的大小为D．这段时间内演员对地的位移大小为【变式训练1】（23-24高三上·福建·阶段练习）抗洪抢险应急救援时，直升机沿直线水平向右匀速飞行的同时，被救助者随着竖直钢丝绳的收缩先匀加速上升后匀减速上升，则被救助者的实际运动轨迹可能为（

）

A．

B．

C．

D．

【变式训练2】（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在0~5s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度、，与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直方向向上为正方向。下列说法正确的是（）A．0~2s内，无人机做匀加速直线运动B．2~4s内，无人机做匀减速直线运动C．时，无人机运动到最高点D．0~5s内，无人机的竖直位移大小为2.25m【变式训练3】（23-24高三上·福建·期中）质量为1kg的质点在xoy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示。质点的初速度为m/s，质点所受的合外力大小为N，质点前2s内的位移为m（结果可以保留根号）。考向2小船过河-最短过河时间问题例2（2025·福建莆田·三模）一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（）A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大D．图甲和图乙中小船均做曲线运动【变式训练1】（2023高三上·福建·学业考试）如图所示，河宽为d，汽艇在静水中航行速度大小为v1，水流速度大小为v2，若汽艇始终向着与河岸垂直的方向航行，则汽艇渡河的最短时间是（）A． B．C． D．【变式训练2】（2023高三·福建莆田·专题练习）（多选）宽为d的一条河，越靠近河中心水的流速越大，小船在静水中的速度为v0，渡河时船头垂直河岸，则下列说法正确的是（）A．渡河时间为B．此种方式渡河，所用的时间最短C．小船渡河的轨迹为直线D．小船到达河中心时速度最大考向3小船过河-最短过河位移问题例3（23-24高三上·福建·阶段练习）一条两岸笔直且宽为150m、流速为4m/s的河流，小船在静水中的最大速度为5m/s，则该小船渡河的最短位移大小为m，对应的渡河时间为s。【变式训练1】（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）2021年夏天，中国多地出现暴雨，导致洪涝灾害。在某次救援演习中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游处；若冲锋舟船头保持与河岸成角向上游航行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为，下列说法正确的是（）A．冲锋舟在静水中的速度大小为B．河的宽度为800mC．冲锋舟在静水中的速度大小为D．河的宽度为1200m【变式训练2】（22-23高一下·福建龙岩·期末）一条河宽为d=60m，水流速度恒为v=1.0m/s，一小船（可视为质点）要从一侧河岸划到对岸，但在距出发点下游L=80m处有一瀑布，要使小船划到对岸且不从瀑布上掉下，船划行的速度的最小值为m/s，此时船的位移大小为m，渡河时间为s。考向4杆的关联速度问题例4（23-24高一下·福建福州·阶段练习）如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（均可视为质点）。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ=30°角，B球的速度大小为v2，则v1与v2的关系为（）A． B． C． D．【变式训练1】（21-22高一下·福建漳州·期末）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功用是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。其结构示意图如图所示，活塞可沿水平方向往复运动。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，则（）A．曲轴和活塞运动周期不相等B．活塞运动速度大小不变C．A点和B点的速度始终相等D．当OA与AB共线时，B点的速度为零【变式训练2】如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为（）A． B． C． D．考向5绳的关联速度问题例5（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）如图所示，不可伸长的轻绳通过光滑定滑轮连接物块B，绳的另一端和套在固定竖直杆上的圆环A连接。A在外力作用下沿杆向上运动，带动B向下运动，左侧绳与竖直向上方向夹角为（），则（）A．B．若A减速上升，B可能匀速下降C．若A匀速上升，B一定减速下降D．若A加速上升，绳的拉力一定大于B的重力【变式训练1】如图所示，拖车A在水平路面上以速度，向左匀速运动，拖车通过不可伸长的水平绳跨过定滑轮后去拖动船B，船B离开水面后，在绳子拉力作用下沿着倾角为的斜坡上的直线滑道向上滑行，当连接船B的绳子与水平方向夹角为时，船B的速度大小为（

）A． B． C． D．【变式训练2】（2024·福建宁德·三模）影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚（钢丝）的。如图所示，轨道车A通过细钢丝跨过滑轮拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以速度大小v=5m/s向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为37°，连接特技演员B的钢丝竖直，取sin37°=0.6，cos37=0.8，该时刻特技演员B处于状态（填“失重”或”“超重”）该时刻特技演员B的速度大小为m/s。1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（

）A．该过程位移为0 B．该过程路程为0C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同2．（2023·浙江·高考真题）图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，巡视器质量为135kg，则巡视器（）

A．受到月球的引力为1350N B．在AB段运动时一定有加速度C．OA段与AB段的平均速度方向相同 D．从O到B的位移大小等于OAB轨迹长度3.（2023·辽宁·高考真题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（）

A．

B．

C．

D．

4．（2021·辽宁·高考真题）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（）A．75s B．95sC．100s D．300s5．质量为2kg的质点在水平面上xOy做曲线运动，在x方向的速度—时间图像和y方向的位移时间图像如图所示，质点第2秒末的速度大小为m/s，质点所受的合外力大小为N。

6．甲图为一款发动机的机械传动装置的示意图，可简化为图乙，曲轴OA绕固定的O点自由转动，通过连杆AB使活塞左右滑动。已知曲轴OA长为，连杆AB长为，绕O点沿顺时针方向匀速转动的角速度为，下列说法正确的是（）A．当OA杆与AB垂直时，活塞的速度小于B．当OA杆与AB垂直时，活塞的速度大于C．当OA与AB共线时，活塞的速度大于D．当OA与AB共线时，活塞的速度等于7．（多选）如图，一条细绳跨过光滑轻定滑轮，连接质量分别为m1和m2的物体A、B，A悬挂在定滑轮下方，B穿在一根竖直杆上。用外力使B沿杆匀速下滑，速度为，当绳与竖直杆间的夹角为时，细绳的张力为F，则下列判断正确的是

（）

A．A物体匀速上升B．此时物体的速度为C．此时物体的速度为D．此时A物体的加速度第12讲曲线运动、运动的合成与分解目录01TOC\o"1-3"\h\u考情解码·命题预警 202体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 4考点一曲线运动 4知识点1曲线运动的速度方向 4知识点2物体做曲线运动的条件 4考向1曲线运动瞬时速度方向 4考向2物体运动轨迹、速度和受力的相互判断 6【解题技巧】物体做曲线运动的条件考点二运动的合成与分解 8知识点1运动的合成和分解基础 8知识点2小船过河模型分析 8知识点3关联速度模型分析 9考向1运动的合成和分解的基本分析 10【规律方法】运动的合成和分解考向2小船过河-最短过河时间问题 13考向3小船过河-最短过河位移问题 15考向4杆的关联速度问题 17考向5绳的关联速度问题 1904真题溯源·考向感知 21考点要求考察形式2025年2024年2023年曲线运动选择题非选择题黑吉辽蒙卷T1，4分浙江卷T4，3分运动的合成与分解选择题非选择题湖南卷T2，4分江苏卷T10，4分考情分析：1．高考对这部分内容的考查，以多种题型的形式出现，整体难度一般，个别题目有些难度，往往会以实际生活中的例子或者设定一定的具体问题模型作为试题背景考查知识。2．从命题思路上看，试题情景为情景探究类：给出物体运动的轨迹图像分析物体的运动和受力情况。生活实践类：小船过河问题，汽车通过绳子拉物体等有关于涉及多个方向的问题。复习目标：目标一：会确定曲线运动中速度的方向，知道曲线运动是变速运动，知道物体做曲线运动的条件。会分析曲线运动中合力方向、速度方向与轨迹的关系。目标二：能运用运动的合成与分解的知识分析一些实际运动。目标三：会分析小船渡河问题的两个分运动，会求最短时间和最短位移问题，能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题。考点一曲线运动知识点1曲线运动的速度方向1.质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。2.在曲线运动中速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。知识点2物体做曲线运动的条件1.动力学角度：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。2.运动学角度：物体加速度的方向与它的速度的方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。得分速记曲线运动的特点(1)物体做曲线运动时，速度方向一定变化，但速度的大小不一定变化。(2)性质：速度是矢量，由于速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动的加速度一定不为零，是变速运动。(3)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动。考向1曲线运动瞬时速度方向例1（2025·福建福州·三模）“玉兔二号”是我国自主设计制造并成功登陆月球的第二辆无人探测车，图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，巡视器质量为130kg，则巡视器（）A．受到月球的引力为1300N B．在AB段运动时加速度可能为0C．OA段与AB段的位移相同 D．从O到B的路程等于OAB轨迹长度【答案】D【详解】A．在月球上的g与地球不同，故质量为130kg的巡视器受到月球的引力不是1300N，故A错误；B．由于在AB段运动时做曲线运动，速度方向一定改变，一定有加速度，故B错误；C．由图可知OA段与AB段位移方向不同，故C错误；D．根据路程的定义可知，从O到B的路程等于OAB轨迹长度，故D正确。故选D。【变式训练1】（24-25高一下·福建·期中）关于曲线运动的下列说法正确的是（）A．曲线运动不一定是变速运动B．曲线运动的速度一定改变，加速度也一定改变C．当曲线运动的合力与速度夹角为锐角时，速度的大小和方向都改变D．曲线运动的速度不可能均匀增加【答案】C【详解】A．曲线运动的速度方向一定变化，则曲线运动一定是变速运动，故A错误；B．曲线运动的速度一定改变，加速度不一定改变，例如平抛运动，故B错误；C．当曲线运动的合力与速度夹角为锐角时，合力做正功，则速度的大小和方向都改变，故C正确；D．曲线运动的速度可能均匀增加，例如平抛运动，故D错误。故选C。【变式训练2】如图所示，在水平桌面铺上白纸，白纸上摆一条弧形弯道。表面沾有红色印泥的小钢球从弯道A端滚入，它从出口B离开后在纸上留下的痕迹是（）A．a B．b C．c D．d【答案】B【详解】小球在弯道内做曲线运动，它从出口B离开后沿着切线飞出，在纸上留下的痕迹是b。故选B。考向2物体运动轨迹、速度和受力的相互判断例2（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则（

）A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B．质点速度的方向总是与该恒力的方向垂直C．质点加速度的方向不可能总是与该恒力的方向相同D．质点单位时间内速度的变化量总是不变【答案】D【详解】A．质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，其合力不为零。如果所加恒力与原来的运动方向在一条直线上，质点做匀加速或匀减速直线运动，质点速度的方向与该恒力的方向相同或相反，如果所加恒力与原来的运动方向不在一条直线上，物体做曲线运动，速度方向沿运动轨迹切线方向，恒力方向和速度方向之间有夹角。故A错误；B．由上述分析可知，质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直，故B错误；C．质点做匀速直线运动时，所受合外力为0。原来质点上的力不变，增加一个恒力后，质点所受的合力就是这个恒力，根据牛顿第二定律可知，质点加速度方向与该恒力方向一定时刻相同，故C错误；D．质点合外力恒定，则加速度恒定。由可知质点单位时间内速度的变化量总是不变，故D正确。故选D。解题技巧物体做曲线运动的条件（1）合力方向(或加速度方向)与速度方向不共线是物体做曲线运动的充要条件。（2）合力总是指向轨迹的凹侧，轨迹夹在速度方向与合力方向之间。【变式训练1】（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1枚携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域。全程飞行试验行程9070公里，落点靶区为2公里正方形区域，实际偏差仅为250米。如图是导弹的飞行轨迹，导弹的速度v与所受合外力F的关系可能正确的是（）A．图中A点 B．图中B点 C．图中C点 D．图中D点【答案】D【详解】根据曲线运动的特点，可知，速度v方向沿运动轨迹的切线方向，合外力F方向指向运动轨迹的凹侧，轨迹在两者之间，故图中D点符合要求，A点、B点、C点不符合要求。故选D。【变式训练2】（2022·福建厦门·二模）汽车在水平地面转弯时，坐在车里的小云发现车内挂饰偏离了竖直方向，如图所示。设转弯时汽车所受的合外力为F，关于本次转弯，下列图示可能正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】根据图中可知，车内的挂饰偏向了右方，由此可知，汽车正在向左转弯，由于汽车做曲线运动，故合力F指向轨迹的内侧，故A正确，BCD错误。故选A。考点二运动的合成与分解知识点1运动的合成和分解基础1.运动的合成和分解（1）合运动与分运动如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，同时参与的几个运动就是分运动。（2）运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。（3）运动的合成与分解遵从矢量运算法则。2.合运动与分运动的四个特性等时性各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同等效性各分运动的共同效果与合运动的效果相同同体性各分运动与合运动是同一物体的运动独立性各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响得分速记运动的特点的判断(1)加速度(或合力)与速度方向，共线：直线运动；不共线：曲线运动。(2)是否为匀变速运动的判断，加速度(或合力)变化：非匀变速运动；加速度(或合力)不变：匀变速运动。知识点2小船过河模型分析1.最短过河时间由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度.因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，，此时船渡河的位移为，位移方向满足。2.最短过河位移（1）v水＜v船最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸。船头与上游河岸夹角θ满足：v船cosθ＝v水，如图所示.渡河所用时间。（2）v水＞v船如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知，最短航程为，此时船头应与河岸上游成角，且。知识点3关联速度模型分析1.两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上，两物体的速度是关联的。2.处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度。物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向。3.常见的速度分解模型情景图示定量结论即即考向1运动的合成和分解的基本分析例1（2024·福建·二模）在马戏表演中，演员顶着直杆沿水平地面做初速度为0、加速度为a的匀加速直线运动，同时猴子沿竖直杆向上以速度v0匀速移动，经过一段时间，猴子沿杆向上移动的高度为h，如图所示下列说法正确的是（）A．猴子相对地面做匀变速直线运动B．猴子相对地面的运动轨迹为直线C．此时刻猴子对地速度的大小为D．这段时间内演员对地的位移大小为【答案】D【详解】AB．猴子在水平方向上做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向上做匀速直线运动，根据运动的合成可知，合初速度与合加速度不在同一条直线上，所以相对地面猴子做的是匀变速曲线运动，故AB错误；C．这段时间为此时刻猴子对地的速度大小为故C错误；D．这段时间内演员对地的位移大小为故D正确。故选D。【变式训练1】（23-24高三上·福建·阶段练习）抗洪抢险应急救援时，直升机沿直线水平向右匀速飞行的同时，被救助者随着竖直钢丝绳的收缩先匀加速上升后匀减速上升，则被救助者的实际运动轨迹可能为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】直升机沿直线水平向右匀速飞行，被救助者随着竖直钢丝绳的收缩匀加速上升时，所受合力竖直向上，则运动轨迹向上弯曲；被救助者随着竖直钢丝绳的收缩匀减速上升时，所受合力竖直向下，则运动轨迹向下弯曲。故选A。【变式训练2】（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在0~5s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度、，与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直方向向上为正方向。下列说法正确的是（）A．0~2s内，无人机做匀加速直线运动B．2~4s内，无人机做匀减速直线运动C．时，无人机运动到最高点D．0~5s内，无人机的竖直位移大小为2.25m【答案】C【详解】A．0~2s内，无人机水平方向做加速度为ax=1m/s2的匀加速运动，竖直方向做加速度ay1=0.5m/s2的匀加速运动，初速度为沿x方向的1m/s，则合运动为匀变速曲线运动，选项A错误；B．2~4s内，无人机水平方向做2m/s的匀速运动；竖直方向做速度为1m/s，加速度为ay2=0.5m/s2的匀减速运动，合加速度与初速度不共向，则合运动做匀变速曲线运动，选项B错误；C．0~4s内，竖直速度一直为正，4s后竖直速度为负值，可知时无人机运动到最高点，选项C正确；D．图像的面积等于位移，可知0~5s内，无人机的竖直位移大小为选项D错误。故选C。【变式训练3】（23-24高三上·福建·期中）质量为1kg的质点在xoy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示。质点的初速度为m/s，质点所受的合外力大小为N，质点前2s内的位移为m（结果可以保留根号）。【答案】5m/s1.5N【详解】[1]由图可知，质点在x方向的初速度为在y方向做匀速直线运动，速度大小为故质点的初速为[2]由图可知，质点在x方向做匀加速直线运动，y方向做匀速直线运动。故质点的加速度大小为根据牛顿第二定律可得，质点所受的合外力大小为[3]根据图像可知，质点前2s内在x方向的位移大小为质点前2s内在y方向的位移大小为故质点前2s内的位移大小为考向2小船过河-最短过河时间问题例2（2025·福建莆田·三模）一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（）A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大D．图甲和图乙中小船均做曲线运动【答案】A【详解】A．由于图甲中比图乙中小船在垂直于河岸方向的分速度较大，所以图甲中比图乙中小船渡河的时间短，选项A正确；BC．根据运动的合成法则，图甲中比图乙中小船渡河的合速度小，因甲图中合速度与河岸的夹角较大，则合位移也小，选项B、C错误；D．图甲和图乙中小船两个方向的分运动都是匀速运动，可知合运动是匀速运动，即两船均做匀速直线运动，选项D错误。故选A。【变式训练1】（2023高三上·福建·学业考试）如图所示，河宽为d，汽艇在静水中航行速度大小为v1，水流速度大小为v2，若汽艇始终向着与河岸垂直的方向航行，则汽艇渡河的最短时间是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】当船头垂直河岸过河时，船过河时间最短，即故选C。【变式训练2】（2023高三·福建莆田·专题练习）（多选）宽为d的一条河，越靠近河中心水的流速越大，小船在静水中的速度为v0，渡河时船头垂直河岸，则下列说法正确的是（）A．渡河时间为B．此种方式渡河，所用的时间最短C．小船渡河的轨迹为直线D．小船到达河中心时速度最大【答案】ABD【详解】A．合运动与分运动的关系具有独立性，每个分运动都按照各自的规律独立运行，因此船渡河时间是船头垂直河岸的分速度的结果，船渡河时船头垂直于河岸，则渡河的时间为故A正确；

B．因为渡河时船头垂直河岸，在垂直河岸方向分运动的速度等于船在静水中的速度v0，沿船头方向的分位移最小，所以所用时间为此种情况时间最短，故B正确；C．因为水流速度不是恒定的，越靠近河中心水的流速越大，合速度的方向和大小都改变，因此小船渡河的轨迹不是直线，故C错误；D．小船到达河中心时，小船沿船头方向的分速度大小不变，水流方向的分速度达到最大值，两个分运动速度垂直，合运动的速度为即小船到达河中心时，水流方向的分速度达到最大值，合速度最大，故D正确。故选ABD。考向3小船过河-最短过河位移问题例3（23-24高三上·福建·阶段练习）一条两岸笔直且宽为150m、流速为4m/s的河流，小船在静水中的最大速度为5m/s，则该小船渡河的最短位移大小为m，对应的渡河时间为s。【答案】15050【详解】[1]由于船在静水中的速度大于水流速度，所以当合速度方向与河岸垂直时，渡河位移最短，即为河宽150m。[2]合速度对应的渡河时间为【变式训练1】（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）2021年夏天，中国多地出现暴雨，导致洪涝灾害。在某次救援演习中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游处；若冲锋舟船头保持与河岸成角向上游航行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为，下列说法正确的是（）A．冲锋舟在静水中的速度大小为B．河的宽度为800mC．冲锋舟在静水中的速度大小为D．河的宽度为1200m【答案】C【详解】AC．冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度v静与水的流速v水的合速度垂直于河岸，则有v静sin60°=v水解得v静＝故A错误C正确；BD．当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600m处，由于船在垂直河岸方向和沿河岸方向都是匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度之比，即式中s指沿河岸方向的位移，为600m，d指河宽，可解得故BD错误；故选C。【变式训练2】（22-23高一下·福建龙岩·期末）一条河宽为d=60m，水流速度恒为v=1.0m/s，一小船（可视为质点）要从一侧河岸划到对岸，但在距出发点下游L=80m处有一瀑布，要使小船划到对岸且不从瀑布上掉下，船划行的速度的最小值为m/s，此时船的位移大小为m，渡河时间为s。【答案】0.6100125【详解】[1]在出发点、目的地均确定的情况下，船向指定地点航行，则合速度的方向已经确定，设与下游河岸成角，水速大小和方向是确定的，则当的方向与的方向垂直时的值最小，如图所示：

设船的实际速度为，当船刚好不从瀑布掉下，且的方向与的方向垂直时的值最小。设船实际的航向与下游河岸的夹角为，则解得则船划行的速度的最小值为[2]根据几何关系，此时船划行到对岸的位移为[3]渡河时间考向4杆的关联速度问题例4（23-24高一下·福建福州·阶段练习）如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（均可视为质点）。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ=30°角，B球的速度大小为v2，则v1与v2的关系为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图所示，将A球速度分解成沿着杆与垂直于杆两方向，同时B球速度也是分解成沿着杆与垂直于杆两方向由于A、B两球在同一杆上，沿杆的分速度相等，则有所以故选D。【变式训练1】（21-22高一下·福建漳州·期末）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功用是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。其结构示意图如图所示，活塞可沿水平方向往复运动。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，则（）A．曲轴和活塞运动周期不相等B．活塞运动速度大小不变C．A点和B点的速度始终相等D．当OA与AB共线时，B点的速度为零【答案】D【详解】A．曲轴和活塞连在同一连杆上做周期性的往复运动，则曲轴和活塞运动周期相等，故A错误；C．设A点的线速度大小为vA，当OA与AB垂直时，设AB与水平方向的夹角为θ，则而当OA与OB垂直时，设AB与水平方向的夹角为α，则即可见A点和B点的速度不一定相等，故C错误；B．根据前面分析可知活塞做水平方向做变速直线运动，故B错误；D．当OA与AB共线时，vA在沿杆方向的分量为零，此时B点速度为零，故D正确。故选D。【变式训练2】如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，B点的线速度等于物块的速度在垂直于杆方向上的分速度，则杆的角速度小球A的线速度大小故选A。考向5绳的关联速度问题例5（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）如图所示，不可伸长的轻绳通过光滑定滑轮连接物块B，绳的另一端和套在固定竖直杆上的圆环A连接。A在外力作用下沿杆向上运动，带动B向下运动，左侧绳与竖直向上方向夹角为（），则（）A．B．若A减速上升，B可能匀速下降C．若A匀速上升，B一定减速下降D．若A加速上升，绳的拉力一定大于B的重力【答案】C【详解】A．根据题意，分解A的速度，如图所示则有故A错误；B．根据若A减速上升，增大，减小，故减小，故B减速下降，故B错误；C．根据若A匀速上升，增大，减小，故减小，故B减速下降，故C正确；D．根据若A加速上升，增大，减小，故可能不变，可能增大，也可能不变，可知B的运动不明确，根据牛顿第二定律分析，知绳的拉力与B的重力关系不明确，故D错误。故选C。【变式训练1】如图所示，拖车A在水平路面上以速度，向左匀速运动，拖车通过不可伸长的水平绳跨过定滑轮后去拖动船B，船B离开水面后，在绳子拉力作用下沿着倾角为的斜坡上的直线滑道向上滑行，当连接船B的绳子与水平方向夹角为时，船B的速度大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】将B的速度分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，则解得故选C。【变式训练2】（2024·福建宁德·三模）影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚（钢丝）的。如图所示，轨道车A通过细钢丝跨过滑轮拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以速度大小v=5m/s向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为37°，连接特技演员B的钢丝竖直，取sin37°=0.6，cos37=0.8，该时刻特技演员B处于状态（填“失重”或”“超重”）该时刻特技演员B的速度大小为m/s。【答案】超重4【详解】[1][2]将车速v沿着细钢丝方向和垂直于细钢丝的方向分解可知，在沿着细钢丝方向的速度为所以人上升的速度为设连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为，则人的速度轨道车A向左匀速前进，减小，则人在加速上升，即演员处于超重状态。