2026年高考数学复习讲练测专题01 集合、常用逻辑用语（北京专用）（解析版）

专题01集合、常用逻辑用语

目录

第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

【选填题破译】

题型01集合的交并补混合运算

题型02元素与集合的关系

题型03集合间的基本关系

题型04根据集合的关系求参数问题

题型05集合中的创新问题

题型06判断命题的充分条件、必要条件

题型07全称量词命题、存在量词命题

【解答题破译】

题型01集合的新定义问题

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01集合的交并补混合运算

【例1-1】（2025·北京海淀·三模）Ax1x2，Bxx0，则AB等于（）

A．xx1B．x1x0

C．x0x2D．x0x2

【答案】C

【分析】应用集合的交运算求集合.

【详解】由ABx1x2xx0x0x2．

故选：C

2

【例1-2】（2025·北京·三模）已知集合Axxx0，Bxx10，那么集合AB（）

A．1,B．1,1C．1,01,D．1,

【答案】C

【分析】解出一元二次不等式和一元一次不等式，求出集合，根据集合交集的计算方法，求出交集.

【详解】由x2x0，解得x0或x1，所以A(,0)(1,)，

由x10，解得x1，所以B(1,)，

所以AB1,01,，

故选：C.

求集合交、并、补集的2种方法：

（1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据交、并、补集的定义直接观察或用图表示出集合运算的

结果．

（2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，

应用“空心点”表示．

【变式1-1】（2025·北京·模拟预测）已知集合Ax1x2，Bxx1x30，则AB（）

A．x1x1B．x1x2C．x1x2D．x1x3

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式化简集合B，再根据交集的运算求解即可.

【详解】因为Bxx1x30x|x1或x3，

又Ax1x2，

所以ABx1x1.

故选：A.

【变式1-2】（2025·安徽·二模）已知集合Axlog2x1，Bxx2，则（）

�

A．{x∣0x2}B．x∣0x2�∩∁�=

C．{x∣2x2}D．

【答案】D

【分析】解对数不等式化简集合A，解绝对值不等式化简集合B，进而利用补集运算和交集运算的概念求解

即可.

【详解】Axlogx1{x∣0x2}，Bxx2{x∣2x2}，则ðB{xx2或x2}，

2R

ð

ARB.

故选：D.

题型02元素与集合的关系

【例2-1】（2025·江苏·模拟预测）已知集合A,B满足AB{1,2},AB{1,2,3,4}，若4A，则必有（）

A．3AB．3AC．4BD．4B

【答案】C

【分析】根据交集和并集结果分析即可得解.

【详解】因为AB1,2，所以必有1,2A，且1,2B，

又AB1,2,3,4，则3和4均仅是集合A中元素或仅是集合B中元素.

若4A，则必有4B.

故选：C

【例2-2】（2025·河北·模拟预测）已知集合MxQx22x30，aM，则（）

A．2MB．1,0MC．a21D．a29

【答案】D

【分析】由题意得到a22a30，求解，再逐项判断即可.

【详解】由aM，可得aQ,a22a30，

解得：1a3，

2M错误，

1,0M错误，

a21错误,

a29正确，

故选：D

1.判断元素与集合关系的方法：

（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．

（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此

时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．

注意：在判断元素与集合关系的题型中，需要验证集合的互异性，集合中的元素不能重复，所以求出元素

后一定要验证是否符合集合的基本性质。

2

【变式2-1】（2025·河北·模拟预测）已知集合MxQx2x30，aM，则（）

A．2MB．1,0MC．a21D．a29

【答案】D

【分析】由题意得到a22a30，求解，再逐项判断即可.

【详解】由aM，可得aQ,a22a30，

解得：1a3，

2M错误，

1,0M错误，

a21错误,

a29正确，

故选：D

ð

【变式2-2】（2025·重庆·二模）已知全集U1,2,3,4,5，集合M满足UM1,2,5，则（）

A．3MB．2MC．5MD．

【答案】D4∈�

【分析】根据补集可得M3,4，根据元素与集合之间的关系逐项分析判断.

ð

【详解】因为全集U1,2,3,4,5，UM1,2,5，可得M3,4，

所以3M，2M，5M，4ÎM.

故选：D.

题型03集合间的基本关系

【例3-1】（2025·北京·二模）已知集合Axx22x0，集合Bxx10，那么（）

ð

A．ABB．ABC．BAD．RAB

【答案】D

【分析】由集合交集、补集运算，包含关系逐个判断即可.

【详解】Axx22x00,2，Bxx1

AB错误，AB错误，BA错误，

ð

RA,22,00,，

ð

所以RAB1,00,，D正确，

故选：D

【例3-2】（2025·广东江门·模拟预测）若集合A1,2,3，B1,2，则（）

A．ABB．BA

C．AB2D．AB2,1,2,3

【答案】D

【分析】根据子集的概念判断AB的真假；根据交集的概念判断C的真假；根据并集的概念判断D的真假.

【详解】对A，因为2A，但2B，所以AB不成立，故A错误；

对B，因为2B，但2A，所以BA不成立，故B错误；

对C，AB1，故C错误；

对D，AB2,1,2,3，故D正确.

故选：D

判断集合间关系的方法：

（1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．

（2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．

（3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系．

注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性.

【变式3-1】（2025·广西·模拟预测）已知集合AxZ|x3k2,kZ,BxZ|x6k1,kZ，则

（）．

A．ABB．ABC．BAD．AB

【答案】C

【分析】先证明对任意x0B，则x0A，再证明2A，但2B，由此可得结论.

【详解】对任意x0B，存在k0Z，使得x06k01，

由于x06k013(2k01)2，令k2k01，则kZ，所以x03k2A，故BA，

1

又2A（当k0时），但2B（由6k12解得kZ），所以B是A的真子集，

2

故选：C

【变式3-2】（2025·安徽·一模）已知全集为R，集合Ax|2x2，集合Bx|x240，则下

列关系正确的是（）

A．ABB．BA

ðð

C．RABD．ARB

【答案】D

痧B,A

【分析】先求出集合B，再根据补集的定义求出RR，从而确定包含关系，最后判断各选项即可．

【详解】x240，解得x2或x2，

Bx|x2或x2，

ðBx|2x2，

R

Ax|2x2，

ðAx|x2或x2，

R

AðBBðA

R，R，故A，B，C错误，D正确，

故选：D．

题型04根据集合的关系求参数问题

【例4-1】（2025·江苏南京·三模）设集合A0,a，B1,a2,2a2，若AB，则a（）．

2

A．2B．1C．D．1

3

【答案】B

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据包含关系分a20和2a20两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为AB，则有：

若a20，解得a2，此时A0,2，B1,0,2，不符合题意；

若2a20，解得a1，此时A0,1，B1,1,0，符合题意；

综上所述：a1.

故选：B.

【例4-2】（2025·浙江丽水·一模）已知集合A{x∣2x1},Bm,3，且AB的元素个数是一个，则

实数m的取值范围是（）

A．(2,1)B．[2,1]C．[2,1)D．(2,1]

【答案】C

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据交集结果求集合或参数

【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可.

【详解】由AB的元素个数是一个，且3A，得mA，则2m1，

所以实数m的取值范围是[2,1).

故选：C

求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路如下:

①将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之

间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。

②将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。

【变式4-1】（2025·广东江门·模拟预测）设a,bR,P1,a,Q1,b，若PQ，则ab（）

A．2B．0C．1D．2

【答案】D

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】根据已知集合及相等关系确定参数值，即可得.

a1

【详解】由题设，PQab1，则ab2.

b1

故选：D

【变式4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）若集合A{x|1x5}，B{x|axa3}，且AB{x|2x5}，

则a（）

A．2B．2C．2D．2或0

【答案】B

【分析】对集合B进行分类讨论，再根据两集合的交集判断可得.

【详解】由集合B{x|axa3}，分三类情况：

①当a0时，B{x|axa3}R，则ABA，显然不满足AB{x|2x5}.

②当a0，则B{x|xa2}，如图，也不满足ABx2x5.

③当a0，则B{x|xa2}，由ABx2x5，得a22，即a2.如图：

故选：B.

题型05集合中的创新问题

*

【例5-1】（2025·北京·模拟预测）集合A{1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B1,B2,,BnnN.记bi

为集合中的最大元素，则（）

Bi(i1,2,3,,n)b1b2b3b10

A．10B．40C．45D．50

【答案】C

【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可.

【详解】由题知：B11,2,3,b13,B21,2,4,b24,

B31,2,5,b35,B42,3,4,b44，B52,3,5,b55，

B62,4,5,b65，B73,4,5,b75，

B81,4,5,b85，B91,3,5,b95，B101,3,4,b104，

则b1b2b103435645

故选：C

【例5-2】（2025·上海金山·一模）已知四边形A1A2A3A4为平行四边形，集合

∣、、

ΩAiAjij,ij1,2,3,4,M1,M2,,Mk均为集合的四元子集，若对于任意mn1,2,,k，当

mn时，MmMn中的元素个数都不超过2个，则正整数k的最大值为．

【答案】14

【分析】由题意可得中共8个元素，记为{a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8}，假设MmMn中最大交集为{a1,a2}，

6

从而可得含{a,a}的四元集合最多有3个,

122

2

且对{a1,a2}在M1,M2,,Mk中最多出现3次，求得一个四元集中出现C46个二元数对，从而可得6k283，

求解即可.

【详解】由题意可知ΩA1A2,A1A3,A1A4,A2A1,A2A4,A3A1,A3A2,A4A2共8个元素，

记为{a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8}，

假设MmMn中最大交集为{a1,a2}，

所以含{a1,a2}的四元集合中剩下的两个元素不能相同，

因为中共8个元素，则还剩下6个元素，

6

所以M,M,,M中，含{a,a}的四元集合最多有3个,

12k122

即数对{a1,a2}在M1,M2,,Mk中最多出现3次，

同理任何一个二元数对{a1,a2}可在M1,M2,,Mk中最多出现3次，

2

所以一个四元集中出现C46个二元数对，

所以k个四元集中共出现6k次，

2

因为{a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8}中最多有C828种不同的二元数对，每个最多出现3次，

所以6k283，解得k14.

所以正整数k的最大值为14.

故答案为：14

对于几何中的创新问题，重点在理解与转化

1.精准识别新定义：问题核心通常围绕一个或多个新定义（如新运算、新关系、新集合类型）展开。第一步

是逐字解析，明确其规则、边界条件和数学实质。

2.类比与联想：将新定义与已知的集合概念（如并、交、补、子集、映射、等价关系等）进行类比，寻找相

似结构或运算规律，实现知识迁移。

3.符号化与形式化：用标准集合符号（∈,,∪,∩,\等）和数学语言重新表述新定义，将其转化为清晰的逻

辑语句或代数表达式。⊆

4.构造与反例：验证性质时，若需证明“存在性”，常尝试构造具体实例；若判断真伪，寻找反例是关键方法。

x2

【变式5-1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：ABx,yA,B.若集合

2y

15

ABxN1x4，Cx,yyx，则ABC（）

63

A．B．4,1

22

C．1,D．4,1,6,

33

【答案】D

2

【分析】求出A,B后可求得ABC4,1,6,，故可得正确的选项

3

22

【详解】由题设可得AB2,3，AB4,1,4,,6,1,6,，

33

1521515215

因为14，4，16，6，

6336363363

2

故ABC4,1,6,，

3

故选：D.

【变式5-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）给定实数集A，定义集合MmRaA,都有ma，若M是

非空集合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA.以下说法正确的是（）

A．若数集A中有2025个元素，则supA一定存在

B．若数集A中没有最大值，则supA不存在

C．若数集A，B有上确界，则数集ab∣aA,bB一定也有上确界，为supAsupB

D．若数集A，B有上确界，则数集ab∣aA,bB一定也有上确界，为supAsupB

【答案】AC

【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合不

等式的性质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D.

【详解】对于A，若数集A中有2025个元素，则数集A中的元素一定有最大值，

数集A一定有上确界，故A正确；

11

对于B，若Axx,n1，当n1时，x1，

nn

则数集A中的元素没有最大值，

aA，都有ma，m1，

supA1，即数集A中有上确界，故B错误；

对于C，若数集A，B有上确界，设supAm，supBn，

由上确界的定义可知，对于aA，bB，都有am，bn，abmn，

即supab∣aA,bBmnsupAsupB，故C正确；

对于D，若A2,1，B1,2，则数集A，B有上确界，且supA1，supB2，

此时ab∣aA,bB4,2,1，

则supab∣aA,bB12supAsupB，故D错误.

故选：AC

题型06判断命题的充分条件、必要条件

【例6-1】（2025·北京延庆·三模）已知等比数列an单调递减，各项均为正数，前n项的乘积记为Tn.则

“a3a13a9”是“Tn有唯一的最大值T7”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意，利用等比数列的性质，结合充分条件，必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由等比数列an单调递减，各项均为正数，设等比数列的公比为q，则0q1，

若a3a13a9，根据等比数列的性质，可得a3a13a9a7a9，解得a71，

2

又由a3a13a8且a9a8q，因为a3a13a9且a80，所以a8q，

此时a8与1无法比较，所以a3a13a9不能推出Tn有唯一的最大值T7，所以充分性不成立；

反之：若Tn有唯一的最大值T7，可得a71,a81，

因为a71,a90，所以a7a9a9，

根据等比数列的性质，知a3a13a9a7，所以a3a13a9成立，即必要性成立，

综上可得，a3a13a9是Tn有唯一的最大值T7的必要不充分条件.

故选：B.

【例6-2】（2025·北京海淀·三模）在ABC中，“cosAcosBsinAsinB”是“ABC为锐角三角形”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用和角的余弦公式，充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】在ABC中，cosAcosBsinAsinBcosAcosBsinAsinB0cos(AB)0，

因此AB是钝角，C是锐角，没有条件判断A,B都是锐角，则不能确定ABC为锐角三角形；

反之，ABC为锐角三角形，则C是锐角，AB是钝角，cosAcosBsinAsinB成立，

所以“cosAcosBsinAsinB”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.

故选：B

对判断命题的充分条件、必要条件题型的方法：

1、先分辨出题目中的条件部分与结论部分

2、命题判断法：

①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件；

②如果命题：“若�，则�”为假命题，那么�不是�的充分条件，同时��也不是的必要条件．

3、集合法：（小集合�可以推�出大集合）若对应�的集�合为，对应的集合�为，�若，则是的充分条

件；若，则是的必要条件．�����⊆���

�⊆���

【变式5-1】（2025·北京·三模）设a,b,c是非零平面向量，则“abcbca”是“abc”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量的数量积含义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．

【详解】根据题意，若abcbca，则a与c共线，

不防假设ac，则对任意的b都有abbc，进而abcbca成立，

故无法判定abc，充分性不成立，

若abc，则abbc，所以abcbca，

故必要性成立，

所以“abcbca”是“abc”的必要不充分条件.

故选：B

【变式6-2】（2025·北京大兴·三模）已知数列an为无穷等比数列，Sn为其前n项和，“存在M10，对于

**

任意的n

N，anM1”是“存在M20，对于任意的n

N,SnM2”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意，利用反例法，可得判定充分性不成立；结合anSnSn1SnSn12m2，取M12M2，

得到均有anM1，所以必要性成立，即可得到答案.

*

【详解】若an1，则对于任意的nN，均有an2，

*

此时Snn，对于任意的nN，不存在M20，使得SnM2，所以充分性不成立；

*

若对于任意的nN，存在M20，使得SnM2，

则anSnSn1SnSn12M2，取M12M2，

*

则对于任意的nN，均有anM1，所以必要性成立，

**

所以“存在M10，对于nN,anM1”是“存在M20，对于nN,SnM2”的必要不充分条件.

故选：B.

题型07全称量词命题、存在量词命题

【例7-1】（2025·云南·一模）已知命题“x[2,3],2xa0”是真命题，则实数a的取值范围是（）

A．(,4)B．(4,)C．(,6)D．(6,)

【答案】A

【分析】利用一次函数的单调性及全称命题的真假计算即可.

【详解】由于该命题是真命题，则a2x在[2,3]上恒成立，

设函数f(x)2x,x[2,3]，则af(x)min

．

因为f(x)min

f(2)4，所以a4.

故选:A．

【例7-2】（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在R上的函数fx，则命题“M0，xR，fxM”

的否定为（）

A．M0，xR，fxMB．M0，xR，fxM

C．M0，xR，fxMD．M0，xR，fxM

【答案】D

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.

【详解】命题“M0，xR，fxM”为存在量词命题，

则其否定为：M0，xR，fxM.

故选：D

1、对全称量词命题、存在量词命题的判断：来自推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明。

2、对全称量词命题、存在量词命题的否定：将与互换。将结论P(x)否定，定义域D保持不变。

∀∃

【变式7-1】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“xR，使x2xa20”是假命题，则实数a的取值范围

是（）

9

A．,0B．0,4C．4,D．,

4

【答案】D

【分析】由题意可知命题“xR，x2xa20”为真命题，可得出0，可得出实数a的取值范围.

【详解】因为命题“xR，使x2xa20”是假命题，

9

则命题“xR，x2xa20”为真命题，则14a294a0，解得a，

4

9

故实数a的取值范围是,.

4

故选：D.

π142

【变式7-2】（2025·安徽·模拟预测）若“0,,m1恒成立”为真命题，则实数m的

2sin2cos2

取值范围是.

【答案】22,22

【分析】转化为最值问题，利用“1”的代换求最值求解.

π14214π

【详解】因为0,,m1，令f,0,，

2sin2cos2sin2cos22

则m21f，

min

22

14sin2cos24sincoscos24sin2

f14

sin2cos2sin2cos2sin2cos2

5249，

cos24sin22

当且仅当，即tan时取等号，

sin2cos22

所以m219，解得22m22，

即实数m的取值范围是22,22.

故答案为：22,22.

题型01集合的新定义问题

【例1-1】（2025·北京延庆·三模）已知数集Aa1,a2,...,an(1a1a2...an,n2)具有性质P:对任意的

k(2kn)，i,j(1ijn)，使得akaiaj成立.

(1)分别判断数集{1,2,3,6,10}与{1,2,4,5,9}是否具有性质P，并说明理由;

(2)求证an2a1a2...an1(n2);

(3)若an36，求数集A中所有元素的和的最小值.

(4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2个公式.

【答案】(1)1,2,3,6,10不具有，{1,2,4,5,9}具有，理由见解析

(2)证明见解析

(3)75

(4)答案见解析

【分析】（1）根据数列新定义计算判断即可；

（2）结合数列新定义应用累加法计算证明；

（3）根据数列新定义结合，分类讨论使得求解最小值即可.

（4）略

【详解】（1）∵10无法表示，∴数集1,2,3,6,10不具有性质P.

∵211，422，5=1+4，945，∴数集{1,2,4,5,9}具有性质P．

（2）∵集合Aa1,a2,,an具有性质P:即对任意的k2kn，i，j1ijn使得akajai成立，

又1a1a2an，n2，

∴aiak，ajak，

aiak1，ajak1，

∴akaiaj2ak1，

即an12an2，an22an3，a32a2，a22a1，

累加得a2an1an2a1a2an1，

化简得an2a1a2an1．

（3）最小值为75．

首先注意到a11，根据性质P，得到a22a12，

所以易知数集A的元素都是整数，

构造A1,2,3,6,9,18,36或者A1,2,4,5,9,18,36，这两个集合具有性质P，此时元素和为75．下面证明75

是最小的和．

i1

假设数集Aa1,a2,,an(a1a2an,n2)，满足Sai75最小，

n

第一步：首先说明集合Aa1,a2,,an(a1a2an,n2)中至少有7个元素：

由（2）可知，a22a1，a32a2，，又a11，

∴a22，a34，a48，a516，a63236，∴n7．

第二步：证明an118，an29，

若18A，设at18，

i1

∵an361818，为了使Sai最小，

n

在集合A中一定不含有元素ak，使得18ak36，从而an118；

若18A，根据性质P，对an36，有ai，aj，使得an36aiaj，显然aiaj，∴anaiaj72，

此时集合A中至少有4个不同于an，ai，aj的元素，从而Sanaiaj4a176，矛盾，

∴18A，且an118．

同理可证：an29．

至此，我们得到an118，an29，

根据性质P，有ai，aj，使得9aiaj，我们需要考虑如下几种情形：

①ai1，aj8，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素ak，才能得到元素8，则S78；

②ai2，aj7，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak，才能得到元素7，则S78；

③ai3，aj6，此时集合A1,2,3,6,9,18,36，S75；

④ai4，aj5，此时集合A1,2,4,5,9,18,36，S75．

综上所述，若an36，则数集A中所有元素的和的最小值是75．

abc

（4）a2b2c22bccosA,2R

sinAsinBsinC

【例1-2】（2025·北京海淀·三模）设n3和M均为正整数，Q:A1,A2,,An是两两不同的M元集合组成的

集合序列，若存在i,j,k1,2,,n，使得AiAjAjAkAkAi，就称Q中存在“三叶草”，并称i,j,k

为Q中的一片三叶草．

(1)若n5,M2，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草：

Q1:1,3,1,4,2,3,2,4,1,5，

Q2:1,2,2,3,3,4,4,5,1,5；

(2)若n16,M4,Q:A1,A2,,A16满足Aipi,qi,ri,si，其中pi1,2,qi3,4,si5,6，

ri7,8,i1,2,,16，证明：Q中不存在三叶草；

(3)若n2MM!，其中M!MM121，证明：Q中一定存在三叶草．

【答案】(1)Q1存在三叶草，1,2,5；Q2不存在三叶草.

(2)证明过程详见解析

(3)证明过程详见解析

【分析】（1）先找到有共同元素的三个集合，再验证即可得到答案.

（2）每个Ai可以看作一个四维向量，每个维度有固定的取值,然后再研究Q存在三叶草时，各个维度的坐

标需满足的条件，然后用反证法证明.

（3）需要证明当集合数量足够大时，必然存在三叶草，这里可以用鸽巢原理和集合的对称性来证明.

【详解】（1）对于Q1，检查是否存在三个集合使得两两交集相等；

选取三个集合1,2，1,4，2,3，发现交集分别为1，3，3，不满足.

再尝试其他组合，第1，2，5个集合1,3，1,4，1,5，

它们的交集均为1，因此Q1存在三叶草1,2,5.

对于Q2，由于每个元素仅出现在两个集合中，无法找到三个集合共享同一元素，故不存在三叶草.

（2）给定Ai(pi,qi,ri,si)，其中：pi{1,2}，qi{3,4}，ri{7,8}，si{5,6}；

每个Ai可以看作一个四维向量，每个维度有固定的取值.

我们需要证明不存在三个集合Ai,Aj,Ak使得它们两两的交集相同，

假设Q存在三叶草，则需要满足AiAjAjAkAkAi意味着：

Ai和Aj在相同维度上取值相同;

Aj和Ak在相同维度上取值相同;

Ak和Ai在相同维度上取值相同;

这意味着Ai,Aj,Ak在所有维度上的相同性必须一致,

换句话说，对于每个维度，要么三个集合在该维度的取值都相同，要么两两不同;

由于每个维度只有2种取值，三个集合在某个维度上的取值只能是：全部相同（如pipjpk）;

或者两两不同（如pipjpkpi），但这是不可能的，因为每个维度只有2种取值;

因此，三个集合在每个维度上的取值必须相同,

这意味着AiAjAk，但题目要求集合两两不同，矛盾.

因此，Q不存在三叶草.

（3）固定一个集合A1，考虑其他集合Aj与A1的交集A1Aj，

MM

A1的子集有2种可能，因此A1Aj有2种可能；

对于每个Aj，定义fAjA1Ajs，

下面介绍一下鸽巢原理，又叫抽屉原理，

它指的是一个简单事实，如果鸽子的数量比巢穴的数量多，那么至少要有1个鸽巢被两只或多只鸽子占据，

即若有n个鸽巢，n1个鸽子，则至少有1个巢内有至少2个鸽子，

至少数公式：当鸽子数不能被鸽巢数整除时，至少有一个鸽巢中会有（商+1）个鸽子，

另外，规定当xn，n为整数时，xn，当nxn1时，xn1，

其中n2MM!，由鸽巢原理（相当于n1只鸽子飞回2M个巢），

n1

可知存在至少M!个A使得f(Aj)相同，

2Mj

当M1时，由Q是两两不同的一元集合组成的集合序列，

可得A1A2A1A3A2A3,所以存在三叶草.

当M2时，至少存在2个Aj使得f(Aj)相同，假设为A2,A3，

则sA1A2A1A3，同理

对于集合A2也是如此，即sA2A1A2A4,

对于集合A3也是如此，即sA3A1A3A5,

对于集合A4也是如此，即sA4A2A4A6,

找到三个集合Ai,Aj,Ak满足AiAjAjAkAkAi.

当n2MM!时，Q中一定存在三叶草.

特征：题干定义一个或多个陌生概念（新集合、新运算、新关系、新性质），要求在此基础上进行推理、

判断或证明。

总纲：解题过程即“翻译—探究—建模—应用”的循环。关键在于将陌生情境转化为熟悉语言，并用数学工

具进行系统化研究。

，

【变式1-1】（2025·北京·三模）已知整数数列anbn的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质：

①0a1a2amQ,0b1b2bmQ；

②a1a2amb1b2bm.

∣∣∣∣∣∣

记Sa1b1a2b2ambm.

,,,

(1)若m=3，且a11,a37b13b24b36，写出a2,S的值；

∣，∣，

(2)记umaxakbk1km,kZvmaxbkak1km,kZ其中maxA表示集合A中元素的最大值.

（i）若m3，Q5，求uv的最大值；

（ii）当m10时，若S100，求Q的最小值.

【答案】(1)a25，S4；

(2)（i）2；（ii）30.

【分析】（1）直接根据定义性质得1a27346，解出a2，再计算S即可；

（2）（i）取极端情况an为1，3，5；取数列bn为2，3，4，此时uv2；方法一：利用反证法，假

设uv3，最后分析得到与性质②矛盾的点；方法二：一般性证明，设uatbt,vbpap,p,t{1,2,3,,m}，

通过引入Q进行合理放缩即可；方法三：利用枚举法，枚举出所有情况即可；

（ii）考虑极端情况，显然Qm10，分类讨论Q为偶数和Q为奇数即可.

【详解】（1）由题意可得，1a27346a25，

所以S|13||54||76|4.

（2）（i）由②可得，两个数列均值相等，则要使S越大，则可考虑一组数据更集中，

一组数据更分散，作为极端情况来考虑，此时要使uv取到最大值，对应极端情况，取数列an为1，3，5；

取数列bn为2，3，4，

则u211,v541,uv2，

下证：uv的最大值为2：

法1：（反证法）假设uv3，则max{u,v}2，不妨设umax{u,v}2，

若ua1b12：

因为0a1a2a35,0b1b2b35，所以a13,b11，

则a1a2a334512,b1b2b31451012，与性质②矛盾，舍去；若ua2b22：

因为0a1a2a35,0b1b2b35，所以b22,a24，可得a24,a35,b11,b22

则a1a2a314510,b1b2b3125810，与性质②矛盾，舍去；

若ua3b32：

因为0a1a2a35,0b1b2b35，所以b33a35,b11,b22，

则a1a2a31258,b1b2b312368，与性质②矛盾，舍去．

所以u1，同理可得v1，所以uv2.

取数列an为1，3，5；取数列bn为2，3，4，

则u211,v541,uv2成立，所以uv的最大值为2．

法2：（一般性证明）设uatbt,vbpap,p,t{1,2,3,,m}，不妨设pt，

则uvatbtbpapbmbmatbtbpapbmbmbpbtapat，

所以uvQ(mp)t(pt)Qm532，（7分）

取数列an为1，3，5；取数列bn为2，3，4，

则u211,v541,uv2成立，所以uv的最大值为2．

法3：（枚举法）

取an为1，2，3，则bn只能为1，2，3，此时uv0；

取an为1，2，4，则bn只能为1，2，4，此时uv0；

取an为1，2，5，则bn可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时uv0或2；

取an为1，3，4，则bn可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时uv0或2；

取an为1，3，5，则bn可能为1，3，5，也可能为2，3，4，此时uv0或2；

取an为1，4，5，则bn可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时uv0或2；

取an为2，3，4，则bn可能为2，3，4，也可能为1，3，5，此时uv0或2；

取an为2，3，5，则bn可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时uv0或2；

取an为2，4，5，则bn只能为2，4，5，此时uv0；

取an为3，4，5，则bn只能为3，4，5，此时uv0．

综上，uv的最大值为2．

（ii）考虑极端情况，显然Qm10，

若Q为偶数，取an为1,2,3,4,5,Q4,Q3,Q2,Q1,Q，

QQQQQQQQQQ

取b为4,3,2,1,,1,2,3,4,5

n2222222222

QQQQ

则S415Q41Q55Q50100

2222

解得Q30成立；

若Q为奇数，取an为1,2,3,4,5,Q4,Q3,Q2,Q1,Q，

Q9Q7Q5Q3Q1Q1Q3Q5Q7Q9

取bn为,,,,,,,,,

2222222222

Q9Q1Q1Q9

则S15Q4Q5Q50100

2222

解得Q30，与Q为奇数矛盾，舍去，

所以Q的最小值为30，

当an为1,2,3,4,5,26,27,28,29,30,bn为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时取到．

证明：

∣∣

记Akakbk,1km,kZ,Bkbkak,1km,kZ，

则|A||B|m，

Sakbkbkak，设S1akbk,S2bkak

kAkBkAkB

则有S1|A|u,S2|B|v，其中A,B分别表示集合A,B的元素个数

由（i）可得uvQm，

SS

所以12uvQm（＊）

|A||B|

mm

=

又因为S1S2akbk0，所以S1S2，进一步有S2S12S2，

k1k1

将|A||B|m代入（＊）中可得

SSSSSm2mS2S

12，

|A||B|