2025-2026学年北京市朝阳区陈经纶中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市朝阳区陈经纶中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z=(1+i)(2−i)对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是(

)A.AB=CD B.AB+DA=BD3.已知向量a，b不共线，c=3a−tb，d=−2ta+6b，若cA.−3 B.−1 C.3 D.−3或34.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是(

)A. B.

C. D.5.一水平放置的平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′A′=O′C′=2，O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′//y′轴，则四边形OABC的面积为(

)A.18

B.82

C.126.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积记为S，若acosA=bcosB且4S=3A.直角三角形 B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形7.设a、β是空间中两个不同的平面，m是一条直线，且m⊂β.则“m//α”是“α//β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1，D为BC的中点，则直线A.55

B.105

C.9.如图，P是以AB为直径的半圆和△ABC围成的区域内一动点(含边界)，若AB=4，AC=3，且AB⊥AC，则PA⋅PC的最大值为(

)A.8

B.12

C.16

D.1810.如图，在△ABC中，D是AB的中点，O是CD上一点，且CO=2OD，其中所有正确结论的序号是(

)

①OA+OB+OC=0；

②(OA+OB)⋅OC=|OC|2；

③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若CE=34CA，A.①④ B.②③ C.②④ D.①③④二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.i是虚数单位，则|5−i1+i12.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是6dm，则石凳的体积为

dm3．13.已知向量a=(2,−32)，写出一个与a共线的单位向量的坐标

14.在△ABC中，∠A=π6，a=52，若△ABC存在且唯一，则b(b∈Z)的一个取值为

15.如图，某湖泊沿岸有A，B，C，D四个镇，已知A镇与D镇之间的距离为3km，A镇与C镇之间的距离为6km，测得∠DAC=120°，∠BCD=90°，∠BDC=30°，则A，B两镇之间的距离为

km．16.已知e是单位向量，向量bi(i=1,2)满足|e−bi|=e⋅bi，且xb1+yb2=e，其中x，y∈R，且x+y=1.则下列结论中，正确结论的序号是

．

①xe⋅b1三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA=(3b−c)sinB且cosA=13．

(1)求sinC；

(2)若c=3，求△ABC的面积．18.(本小题15分)

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acosB=2c−3b．

(1)求A的大小；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长．

条件①：cosB=32114，b=212；

条件②：a=2，c=23；19.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为棱DD1的中点．

(1)证明：BD1//平面PAC；

(2)取AA1、CC1中点M、20.(本小题15分)

如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠BAD=90°，AB=4，AD=2，DC=3，点E在CD上，且DE=2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G为AE中点．

(1)求证：DG⊥平面ABCE；

(2)求点G到平面ADB的距离；

(3)在线段BD上是否存在点P，使得CP/​/平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．21.(本小题15分)

设m，n∈N∗，已知由自然数组成的集合S={a1,a2,…,an}(a1<a2<⋯<an)，集合S1，S2，…，Sm是S的互不相同的非空子集，定义n×m数表：

X=x11x12…x1mx21x22…x2m⋮⋮⋱⋮xn1xn2…xnm，其中xij=1,ai∈Sj0,ai∉Sj，

设d(ai)=xi1+xi2+⋯+xim(i=1,2,⋯,n)，令d(S)参考答案1.A

2.C

3.A

4.C

5.C

6.C

7.B

8.B

9.D

10.A

11.1312.180

13.(45,−314.5(答案不唯一)

15.516.①③④

17.解：(1)方法一：因为bsinA=(3b−c)sinB且cosA=13，

由正弦定理ab=(3b−c)b，

所以a=3b−c，①

由余弦定理，a2=b2+c2−2bccosA，

即(3b−c)2=b2+c2−2bc×13，

化简得b=23c，②

由①②可得a=3b−c=2c−c=c，

可得A=C，

即cosC=cosA=13，

又C∈(0,π)，

所以sinC=1−cos2C=1−19=223；

(方法二)由题意cosA=13，所以sinA=223，

又由bsinA=(3b−c)sinB，得a+c=3b，

故sinA+sinC=3sin(A+C)=3sinAcosC+3cosAsinC，

解得cosC=13，

从而sinC=1−cos2C=1−19=223；

(2)由(1)知，a=c=3，b=23c=2，

△ABC的面积为S=12absinC=12×3×2×223=22．

18.解：(1)在△ABC中，因为2acosB=2c−3b，

由正弦定理可得2sinAcosB=2sinC−3sinB，

因为A+B+C=π，则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

即2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB−3sinB，

19.(1)证明：设AC∩BD=O，连接OP，则O是BD的中点，

因为点P为棱DD1的中点，

所以OP//BD1，

又OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，

所以BD1//平面PAC．

(2)证明：因为P，M，N分别为DD1，AA1，CC1的中点，

所以PM//AD，PN//CD，

又PM∩PN=P，AD∩CD=D，PM、PN⊂平面PMN，AD、CD⊂平面ABCD，

所以平面PMN//平面ABCD，

而平面BDD1B1∩平面PMN=PQ，平面BDD1B1∩平面ABCD=BD，

所以PQ//BD，

又DD1//BB1，所以四边形PQBD是平行四边形，

所以BQ=PD=12DD1=12BB1，

所以Q为BB1中点．

(3)解：由(1)知OP//BD1，

20.解：(1)证明：因为G为AE中点，AD=DE=2，所以DG⊥AE，

因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，DG⊂平面ADE，

所以DG⊥平面ABCE；

(2)由(1)可得DG⊥平面ABCE，

过G作GF⊥AB于点F，连接DF，

则根据三垂线定理可得AB⊥平面DGF，又AB⊂平面ABD，

所以平面DGF⊥平面ABD，

过G作GH⊥DF，又平面DGF∩平面ABD=DF，

所以GH⊥平面ABD，

所以垂线段GH即为所求，

又易知DG=GF=2，所以DF=2

所以GH=DG×GFDF=2×22=1，

故G到平面ADB的距离为1；

(3)存在点P，使得CP//平面ADE，且BPBD=3：4，

过点C作CF//AE交AB于点F，则AF：FB=1：3，

过点F作FP//AD交DB于点P，连接PC，则DP：PB=1：3，

又因为CF//AE，AE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，

所以CF//平面ADE，

同理FP//平面ADE.又因为CF∩PF=F，

所以平面CFP//平面ADE，

因为CP⊂平面CFP，所以CP//平面ADE21.解：(Ⅰ)根据X=101011100和xij=1,ai∈Sj0,ai∉Sj，

可得1，3∈S1，2∉S1，2∈S2，1，3∉S2，1，2∈S3，3∉S3，

所以S1={1,3}，S2={2}，S3={1,2}，d(S)=2；

(Ⅱ)设ai∈S使得d(ai)=d(S)=3，

则d(ai)=xi1+xi2+…+xim≤m，

所以m≥3，

所以S={1,2,…,n}至少有3个元素个数相同的非空子集，

当n=1时，S={1}，其非空子集只有自身，不符题意；

当n=2时，S={1,2}，其非空子集有{1}，{2}，{1,2}，不符题意；

当n=3时，S={1,2,3}，其