2026年高考数学复习讲练测查漏补缺05 空间向量与立体几何（8大考点+31种题型突破）（原卷版）

查漏补缺05空间向量与立体几何

（8大考点+查补知识点+31种题型突破）

内容导航

漏洞扫描通法锤炼能力强化

考点查缺

漏洞扫描精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础

题型突破

考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁

融会贯通

实战淬炼能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合

考点01空间几何体的结构特征

1．多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

图形

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点

侧面形状平行四边形三角形梯形

2．旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

图形

互相平行且相

母线相交于一点延长线交于一点

等，垂直于底面

轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆

侧面展开图矩形扇形扇环

1.画法：常用斜二测画法．

2.规则：

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′

轴所在平面垂直．

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中

保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．

2

（3）直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝22S直观图．

4

空间几何体结构特征的判断技巧：

说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．

1．（25-26高三上·贵州遵义·月考）（多选）下列命题中为真命题的是（）

A．正四棱柱一定是长方体B．斜四棱柱的侧面一定不是矩形

C．正四棱锥所有侧面都一定是正三角形D．正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点

2．（25-26高三上·青海西宁·期中）（多选）下列说法正确的是（）

A．平面的形状是正方形B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆

C．用一个平面去截球得到的图形是个圆D．一个平面的厚度可以是0.2mm

3．（2026·湖北宜昌·模拟预测）（多选）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、

水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水面可能呈现出的几何形状分别为（）

A．圆面B．矩形面C．椭圆面D．三角形面

在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．

1．（25-26高三上·河北邢台·月考）（多选）下列命题不正确的有（）

A．斜二测画法不会改变边长比例

B．一条直线和一个点确定一个平面

C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大

D．用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面

2．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图，正方形OABC的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平

放置的平面图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（）

A．4B．6C．222D．8

3．（25-26高三上·青海西宁·月考）已知ABC的直观图ABC是直角三角形，如图所示，其中

OBABBC2，则AC的长度为（）

A．8B．43

C．42D．4

4．（2025高三上·广东深圳·专题练习）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个

正方形，则原来的图形是（）

A．B．

C．D．

5．（2026·山东·一模）水平放置的ABC，用斜二测画法得到直观图ABC，如图所示，若ABAC2，

则ABC的面积等于．

多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先

观察立体图形的每一个面的形状．

在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．

1．（2026·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三

棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块ABCA1B1C1，ACBC22，AA14，一只蚂蚁从点A1出发，经

过棱CC1、棱BC上某点，再爬到棱BB1的中点P，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（）

A．17B．4C．217D．10

2．（25-26高三上·安徽·月考）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段B1C上的一个动点，则

PAPC1的最小值为．

3．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在正四棱锥SABCD中，SA13，AB4，M是棱BC上一动点，

N是棱AD上一点，且AN3DN，则两线段SM，MN的长度的和的最小值为（）

A．35B．52C．53D．53

4．（2025高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知P为该

圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后

A．16B．162C．8πD．16π

5．（25-26高三上·上海·期末）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P,Q分别是BC,BC1上的动点，

PQQD1的最小值为．

6．（25-26高三上·河北邢台·月考）如图为无盖正四棱台容器ABCDABCD，其中AB2AB2AA4.

现有一只蚂蚁位于正四棱台容器ABCDABCD外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿

AB再从内壁爬到棱CC的中点P处，则它在正四棱台内壁爬行路程为.（容器壁厚度不计）

考点02几何体的表面积、侧面积和体积

圆柱圆锥圆台

侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l

名称

表面积体积

几何体

柱体S表＝S侧＋2S底V＝Sh

1

锥体S表＝S侧＋S底V＝Sh

3

1

台体S表＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋S上S下)h

3

243

球S表＝4πRV＝πR

3

与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．

（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．

（2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．

1．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底

面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为.

2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是

直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）

123

A．B．C．D．2

223

，

3．（2026·福建泉州·二模）已知正三棱台ABCA1B1C1的高为3AB3A1B133，则该棱台的侧面积为（）

A．243B．123C．18D．43

4．（25-26高三上·河南商丘·期末）某圆锥的侧面积与底面积之比为2，则该圆锥外接球的表面积与圆锥的表

面积之比为（）

34916

A．B．C．D．

43169

规则几何体的体积，直接利用公式即可求解.

1．（2026·山东泰安·一模）已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（）

8316

A．πB．83πC．πD．16π

33

6

2．（25-26高三上·陕西安康·期末）把一个圆心角为，半径为5的扇形卷成一个圆锥，此圆锥的体积

5

为.

3.（2026·重庆·模拟预测）若圆锥的母线长为3，则该圆锥体积的最大值为（）

92π8π93π

A．23πB．C．D．

438

5

4．（25-26高三上·山东东营·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆

2

锥内切球的体积为（）

32π27π9π64π

A．B．C．D．

3223

5．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是S1，S2，则4S1S2

取到最小值时，圆台的体积是（）

5π7π7π9π

A．B．C．D．

3322

π

6．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）若一个圆台的高为3，母线与底面所成角为，侧面积为6π，则该圆台

3

的体积为.

组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．

1．（2026高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一

个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（）

A．2253cm2B．10003cm2C．18003cm2D．900＋20003cm2

2．（25-26高三上·北京海淀·月考）下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度

分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为2，则该组合体的表面积为.

3．（2026·云南红河·模拟预测）（多选）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱

的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（）

A．圆锥的母线长为2B．圆锥与圆柱的体积比为1：3

C．该几何体的表面积为5πD．圆锥侧面展开图的圆心角为2π

4．（25-26高三上·江西·月考）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可

以简化为如图2所示的几何体，其中ABCDA1B1C1D1是长方体，且AB6，BCBB14，

A1B1C1D1A2B2C2D2是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，A2B23，棱台的高为2，则该几何体的表面积为

（）

A．11095B．11995C．12595D．14995

组合体的体积的常用方法

把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则

割补法

的几何体补成规则的几何体

通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别

等体积法

是三棱锥的体积

1．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图所示的八面体由两个完全相同的正四棱锥拼接而成，若该八面体的

六个顶点都在球O的球面上，且球O的表面积为16π，则该八面体的体积为（）

1632

A．12B．8C．D．

33

2．（2026·湖南常德·一模）如图，圆柱的轴截面为正方形，AB、CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四

面体ABCD的体积的最大值为36，则该圆柱的侧面积为.

3．（25-26高三上·北京顺义·期末）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），EFEA3,AB1，

M,N分别在EF,FG上，满足EMNG1，则几何体FMBNB1的体积为；A1C.

4．（2026·云南大理·二模）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正

脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，

1

而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（2上袤下袤）广高．如

6

图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为24m，

1

广为12m，上袤是下袤的，ADE和BCF与底面所成角均为，则该刍甍的体积为m3．

34

考点03空间点、直线、平面之间的位置关系

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线

平行直线：在同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

图形语言符号语言公共点

相交a∩α＝A1个

直线与平面

平行a∥α0个

在平面内a⊂α无数个

平面与平面平行α∥β0个

相交α∩β＝l无数个

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′

所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

π

0，

(2)范围：2.

1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．

共面、共线、共点问题的证明

(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．

(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．

(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

1．（25-26高三上·河北·月考）（多选）下列命题不正确的是（）

A．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面

B．没有公共点的两条直线是异面直线

C．过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直

D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥

2．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）

①存在平面，使得，；

②存在平面，使得//，；

③存在直线l，使得l，l；

④存在直线l，使得l//，l//.

A．①④B．②③C．①②D．③④

3．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列

命题为真命题的是（）

A．若m∥n，m，n∥，则∥B．若m，n∥，则m∥n

C．若m，n，则m∥nD．若，，则∥

4．（25-26高三上·天津·月考）设m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，下列说法中错误的为

（）

A．若m,n//，则m//nB．若//,//，则//

C．若m,m,，则D．若m,n//,//，则mn

5．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知m、n是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列结论

一定成立的是（）

A．若，n//，则n//B．若，，则//

C．若m，m，则//D．若m//，n//，则m//n

求异面直线所成角的方法

方法解读

将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的

平移法

平行线或者作平行线，形成三角形求解

在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直

补形法

线相应的位置，形成三角形求解

1．（2025·甘肃·模拟预测）如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABCA1B1C1中，AA13,AC1，则

异面直线A1B与AC所成角的余弦值为.

2．（2026高三上·全国·专题练习）设已知定直线为l，两条动直线a、b与l的夹角分别为a=60,b=37，

则a、b最小夹角为，最大夹角为.

3．（2025·广西南宁·二模）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB与CD分别为该圆柱的上、下底面的

π2

一条直径，若从点A出发绕圆柱的侧面到点C的最小距离为4，则直线AB与直线CD所成的角为（）

9

ππππ

A．B．C．D．

6432

4．（2026·安徽芜湖·一模）正四棱锥PABCD的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则

异面直线PC与AB所成角的余弦值为（）

366636

A．或B．或C．D．

363636

5．（25-26高三上·广东汕尾·期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直

线AM和CN夹角的正弦值为（）

52122

A．B．C．D．

3333

6．（2026·辽宁辽阳·一模）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，ABAP2，

E是PD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为（）

36666

A．B．C．D．

81263

空间几何体的切割(截面)问题

(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；

③凡是相交的平面都要画出它们的交线．

(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．

1．（25-26高三上·河南焦作·月考）已知平面与单位正方体相交得到一个六边形，若该六边形有3个内角

是120，则它的周长为（）

A．3B．32C．33D．26

2．（2025高三·全国·专题练习）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，过M，N，B1

三点的平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面形状为（）

A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形

3．（25-26高三上·河南·月考）在正四棱锥ABCDE中，ABBC2，过A，C，D三点的球的体积最小时，

球被平面BCDE所截截面的面积为（）

1021923

A．B．C．D．

9587

4．（2026·重庆九龙坡·一模）已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，过点B,D1的平面截正方体所得截面为

菱形时，该截面的面积为（）

65

A．B．C．2D．6

24

5．（2025·湖南永州·模拟预测）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6,BC4,E,F分别是棱AB,BC的中点，

E,F,P

点P满足CPCC1(01)，若过点的平面截长方体ABCDA1B1C1D1所得的截面为五边形，则实数

的取值范围是（）

11111

A．,B．0,C．,1D．,2

123333

等角定理的应用：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

1．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（）

A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c

2．（25-26高三上·上海杨浦·月考）已知异面直线a、b所成角为60，过空间内一点P作直线l，使l与a、

b所成角为，则直线l可能有f条，则f.

考点04平行、垂直关系的证明

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线与此a⊄α

判定定理平面内的一条直线平行，b⊂α⇒a∥α

那么该直线与此平面平行a∥b

一条直线与一个平面平

a∥α

行，如果过该直线的平面

性质定理a⊂β⇒a∥b

与此平面相交，那么该直

α∩β＝b

线与交线平行

文字语言图形语言符号语言

a⊂β

如果一个平面内的两条相b⊂β

⇒β∥α

判定定理交直线与另一个平面平行，a∩b＝P

那么这两个平面平行a∥α

b∥α

两个平面平行，如果另一个α∥β

性质定理平面与这两个平面相交，那α∩γ＝a⇒a∥b

么两条交线平行β∩γ＝b

1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.

4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.

(1)直线和平面垂直的定义

一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一条直线与一个平m⊂α

n⊂α

面内的两条相交直线垂

⇒l⊥α

判定定理m∩n＝P

直，那么该直线与此平

l⊥m

面垂直

l⊥n

垂直于同一个平面的两a⊥α

性质定理⇒a∥b

条直线平行b⊥α

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂

直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.

π

0，

(2)范围：2.

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作

垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．

(3)二面角的范围：[0，π]．

(1)平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面过另一个

a⊂α

判定定理平面的垂线，那么这两⇒α⊥β

a⊥β

个平面垂直

两个平面垂直，如果一

α⊥β

个平面内有一直线垂直∩＝

αβa⇒

性质定理于这两个平面的交线，l⊥a

那么这条直线与另一个l⊂β

平面垂直l⊥α

1．三垂线定理

平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

2．三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．

3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

直线与平面平行的判定与性质

(1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点)．

②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．

③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．

④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．

1．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AB,AD,C1D1

的中点，则下列结论正确的是（）

A．直线MN与直线CC1所成角为90B．MN//B1C1

1

C．直线PM//平面ADDAD．三棱锥PAAN的体积为

1113

2．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方体A1B1C1D1ABCD中，点M、N、P分别为A1D1、D1C1和

BC边的中点

(1)画出过M、N、P三点的截面（保留作图痕迹）；

(2)若正方体的棱长为2，求截面的面积；

(3)证明：直线AC//平面MNP

3．（25-26高三上·山西晋中·期末）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACD为正三角形，

ABAD，BCCD，E为棱PD的中点.

(1)求证：AE//平面PBC；

(2)若ABAP2，求平面EAD与平面EBC夹角的余弦值.

4．（25-26高三上·湖北·期末）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高为

4,M,N分别为AB，DD1的中点.

(1)求证：MN//平面A1BCD1；

(2)若P为直线A1B1上的动点，当二面角PMCN的正弦值最大时，求A1P的长.

5．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）如图所示，在多面体ABCDA1C1D1中，四边形ADD1A1,CC1D1D,ABCD

均为正方形，点E在线段A1C1上，且A1EA1C1，过C,D1,E的平面交线段BC1于点F.

(1)证明：A1B//EF；

3

(2)当时，求平面CDEF与平面ACD所成角的余弦值.

411

6．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面PAD，△ADP等腰直角

三角形，APD90，AD//BC，ABAD，AD2，ABBC1.点E在棱PD上.

(1)若CE//平面PAB，求证：E为PD的中点；

(2)在线段DP上是否存在点E使直线CE与平面PAB所成的角为，若存在，请确定点E的位置；若不存在，

6

请说明理由.

平面与平面平行的判定与性质

(1)证明面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理．

②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．

③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．

(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线．

1．（25-26高三上·黑龙江·月考）（多选）已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，，则下列命题

为真命题的是（）

A．若a，b，则a//bB．若a，b，则//

C．若a//，a，则D．若a，b，a//，b//，则//

2．（25-26高三上·海南·期末）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，且平面ABCD平面

CDD1C1，CDDD14，CDD160，E,F分别为棱BB1,CC1的中点．

(1)证明：平面ABF//平面C1D1E；

(2)求平面ABCD与平面C1D1E的夹角的余弦值．

3．（25-26高三上·天津河西·期末）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，

C1D1，B1C1的中点．

(1)求证：面AMN//面EFBD；

(2)求平面EFBD与平面BB1C1C夹角的余弦值；

(3)求四棱锥AEFBD的体积．

4．（2026·河北·模拟预测）如图，该几何体是由半圆锥PO和三棱锥P-ABC组合而成的，H为半圆弧AB的

中点，A，B，C，H四点共面，△PAB是边长为10的正三角形，BC=8，AC=6，在半圆弧AB上取一点F，

使得AF∥BC，连接PF，D，E分别为线段PA，PF的中点．

(1)证明：平面ODE∥平面PBC．

(2)求异面直线BH与OE所成角的余弦值．

5．（2026·河南开封·一模）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，Q是母线PA的中点，

π

点C，D在底面圆周上，且AOC，点M在线段OC上，且直线QM//平面PBD．

3

(1)证明：CD//AB；

(2)若PAB是正三角形，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．

6．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，P分别为A1B，CM的中点.

(1)若点Q在线段AA1上，且A1Q3QA，求证：PQ//平面ABC；

(2)若BABC2，ACCC1CA122，A1BBA，求平面ABC与平面BCC1B1的夹角.

证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行

的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．

1．（25-26高三上·河南驻马店·期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD平面

ABCD，平面PAD平面PAB，ADPD2．

(1)证明：AB平面PAD；

(2)当三棱锥PABC的外接球的表面积为9π时，求平面PBC与平面PAB的夹角的余弦值．

2．（25-26高三上·四川成都·期末）如图，矩形ABCD中，AB2,AD4,E为BC的中点，将CDE沿DE翻

折至△PDE，平面PDE平面ABED.

(1)求证：PD平面PEA；

(2)求直线PD与平面PBA所成角的余弦值.

3．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图，在四棱锥SABCD中，SDAD,SDCD,ADCD,CD//AB，E

1

为SA的中点，DADCDSAB.

2

(1)求证：DE平面SAB；

(2)求平面SAD与平面BDE的夹角的余弦值.

4．（25-26高三上·江西南昌·期末）如图，在五面体ABCDEF中，ABC是等边三角形，AF//BE//CD，CD3，

ABBE2,AF1,平面ABC平面ACDF，AFAB，P是棱DF的中点．

(1)证明：PE//平面ABC．

(2)证明：AF平面ABC．

(3)求平面DEF与平面BCF夹角的余弦值．

π

5．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB1,AB3,ABB,AC

113

平面AA1B1B.

(1)求证：AB1BC；

21

(2)若点A1到平面B1BCC1的距离为，求平面B1BCC1与平面ABC夹角的余弦值.

7

6．（25-26高三上·广东梅州·期末）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，

ABBC2，ABC90，O为AB的中点，A1O2，AA15，且BC平面ABB1A1.

(1)求证：A1O底面ABC；

(2)求平面A1BC1与底面ABC所成夹角的余弦值.

(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．

(2)面面垂直性质的应用

①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个

相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．

1．（25-26高三上·河北邢台·月考）在RtABC中，ABAC，AB1，BC2，S为空间中的一个点，BCSC，

5

SA，则三棱锥SABC体积的最大值为．

2

2．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）如图，在三棱锥PABC中，ABC为边长为2的正三角形，PAAC，

PBPC.

(1)证明：平面PAB平面ABC.

(2)若二面角PBCA的大小为30，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

π

3．（25-26高三上·山东日照·期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，BC23，ABC，

6

AA13．若M,N分别为棱AC,BB1上的动点，且MN25，点N在平面A1ACC1上的射影为点P．

(1)求证：平面BCC1B1平面A1ACC1；

(2)求直线AB与平面MNP所成角的正弦值的取值范围．

4．（25-26高三上·云南昭通·期末）如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，ABAD2，CD4，E

是CD的中点，O是BD与AE的交点，将ADE沿AE折到APE的位置.

(1)证明：平面PBC平面POB；

(2)若POOB，求直线AP与平面PBC所成角的余弦值.

5．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AC，BD交于

点O，P为B1D1的中点，