第十九章 二次根式 单元练习-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章：二次根式一．选择题（共10小题）1．下列二次根式中，化为最简二次根式后能2与合并的是（）A．12 B．4 C．20 D．82．已知n是正整数，27n是整数，则n的最小值是（）A．0 B．1 C．3 D．273．下列计算正确的是（）A．(−a)2=−a C．a3•（﹣a）2＝a4 D．（﹣a2）3＝a64．下列各式计算正确的是（）A．(−1)2=−1 B．﹣（x﹣1）＝﹣xC．2x﹣x＝1 D．（x+1）2＝x2+15．下列计算正确的是（）A．2+3=5C．(−2)2=−2 6．计算(10A．3 B．4 C．7 D．87．下列计算正确的是（）A．a3•4a2＝4a6 B．(−4)×(−9)=C．x2+x3＝2x6 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b68．下列计算正确的是（）A．−a2=−a C．（﹣a）3•a2＝a5 D．（﹣a3）2＝a69．使得式子2x+1x−1有意义的xA．x＞−12，且x≠1 B．C．x≤−12，且x≠﹣1 D．x≥−110．若最简二次根式a2+3a与a+15是同类二次根式，则A．3或﹣5 B．﹣5 C．3 D．﹣3二．填空题（共5小题）11．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|b﹣a|+(a−b)12．计算24−18313．请写出一个使xx−2在实数范围内有意义的x的值：14．计算：(3−2)15．如图，将矩形ABCD的长边AD增加3，宽边AB增加63，得到一个面积为147的正方形AEFG．则原矩形ABCD的面积是三．解答题（共5小题）16．如图，长方形ABCD内有两个相邻的大小不同的正方形，面积为13的正方形EFGH，面积为16的正方形MNCD，其中E点和F点都在边AB上，H点和G点都在边MN上．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？与哪个整数比较接近？（直接写结果）（2）求图中阴影部分的面积；（3）若小正方形边长的整数部分为x，小数部分为y，求(y−1317．计算：（1）12−212−（2）27+18．若x，y是实数，且y=6x−1+1−6x+48，求（6xy19．小鹏在解决问题：已知a=12+3，求2a2a=1∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题：（1）计算：11+（2）若a=1①求3a2﹣12a+1的值；②求2a3﹣10a2+6a+3的值．20．观察下列等式，解答问题：第1个等式：1+13=第2个等式：2+14=第3个等式：3+15=（1）请直接写出第6个等式（不用化简）；（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；（3）请利用（2）的结论计算：1010+1

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列二次根式中，化为最简二次根式后能2与合并的是（）A．12 B．4 C．20 D．8【考点】同类二次根式；最简二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．即可解答．【解答】解：因为12=23，4=2，20=25，8所以化为最简二次根式后能2与合并的是8．故选：D．【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，解决本题的关键是掌握同类二次根式的定义．2．已知n是正整数，27n是整数，则n的最小值是（）A．0 B．1 C．3 D．27【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】先将27n化简，再根据结果为整数的条件确定n的最小值．【解答】解：根据题意可知，27n=33n又∵27n是整数，n是正整数，∴3n必须是整数，即3n为完全平方数，∴n最小为3时，3n＝9是完全平方数，∴n的最小值是3．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是关键．3．下列计算正确的是（）A．(−a)2=−a C．a3•（﹣a）2＝a4 D．（﹣a2）3＝a6【考点】二次根式的性质与化简；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】二次根式；推理能力．【答案】B【分析】分别根据二次根式的性质与化简，立方根的定义，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则逐一计算即可．【解答】解；A、(−a)2=|a|≠−B、3(−a)C、a3•（﹣a）2＝a3•a2＝a3+2＝a5≠a4，原计算错误，不符合题意；D、（﹣a2）3＝﹣a6≠a6，原计算错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，立方根的定义，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．4．下列各式计算正确的是（）A．(−1)2=−1 B．﹣（x﹣1）＝﹣xC．2x﹣x＝1 D．（x+1）2＝x2+1【考点】二次根式的性质与化简；整式的加减；完全平方公式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】运用最基本的运算知识即可解决．【解答】解：根据二次根式的性质、整式的加减运算法则、完全平方公式逐项分析判断如下：A、(−1)B、﹣（x﹣1）＝﹣x+1，原计算正确，符合题意；C、2x﹣x＝x，原计算错误，不符合题意；D、（x+1）2＝x2+2x+1．原计算错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了二次根式的性质、整式的加减运算法则、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键．5．下列计算正确的是（）A．2+3=5C．(−2)2=−2 【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、2与3不能合并，所以A选项错误；B、原式＝22，所以B选项错误；C、原式＝2，所以C选项错误；D、原式=8÷2=2，所以故选：D．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．6．计算(10A．3 B．4 C．7 D．8【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式=(＝10﹣3＝7．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．7．下列计算正确的是（）A．a3•4a2＝4a6 B．(−4)×(−9)=C．x2+x3＝2x6 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6【考点】二次根式的乘除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】根据二次根式的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的运算法则进行判断．【解答】解：A、a3•4a2＝4a3+2＝4a5≠4a6，选项计算错误，不符合题意；B、(−4)×(−9)=36=6，而−4C、x2与x3不是同类项，不能合并，选项计算错误，不符合题意；D、（﹣2ab2）3＝（﹣2）3a3•（b2）3＝﹣8a3b6，选项计算正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，掌握相应的运算法则是关键．8．下列计算正确的是（）A．−a2=−a C．（﹣a）3•a2＝a5 D．（﹣a3）2＝a6【考点】二次根式的性质与化简；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件，立方根的性质，幂的运算法则，逐个计算各选项，即可判断正误．【解答】解：A、∵a2≥0，且二次根式中被开方数非负，﹣a2≥0，∴a2＝0，∴a＝0，结论仅当a＝0成立，对任意非零a不成立，选项计算错误，不符合题意；B、3−a3C、（﹣a）3•a2＝﹣a3•a2＝﹣a3+2＝﹣a5≠a5，选项计算错误，不符合题意；D、（﹣a3）2＝（﹣1）2•（a3）2＝1•a3×2＝a6，选项计算正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键．9．使得式子2x+1x−1有意义的xA．x＞−12，且x≠1 B．C．x≤−12，且x≠﹣1 D．x≥−1【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可得到x的取值范围．【解答】解：根据题意可知，2x+1≥0x−1≠0解不等式2x+1≥0，移项得2x≥﹣1，系数化为1得x≥−1解不等式x﹣1≠0，得x≠1，∴x的取值范围是x≥−12，且故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是关键．10．若最简二次根式a2+3a与a+15是同类二次根式，则A．3或﹣5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【考点】同类二次根式；最简二次根式．【专题】计算题；运算能力．【答案】B【分析】因为最简二次根式a2+3a与a+15是同类二次根式，所以它们的被开方数相等，即：a2+3a＝a+15，因式分解，求出【解答】解：因为最简二次根式a2+3a与所以a2+3a＝a+15，即a2+2a﹣15＝0，即（a﹣3）（a+5）＝0，所以a﹣3＝0或a+5＝0，得：a＝3或a＝﹣5．当a＝3时，不是最简二次根式，故舍去．故选：B．【点评】本题考查了同类二次根式、最简二次根式，解决本题的关键正确理解最简二次根式．二．填空题（共5小题）11．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|b﹣a|+(a−b)2=2【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．【专题】二次根式；运算能力．【答案】2b﹣2a．【分析】先由图得a＜0＜b，则b﹣a＞0，a﹣b＜0，再根据绝对值和算术平方根的性质化简即可求解．【解答】解：根据题意可知，a＜0＜b，∴b﹣a＞0，a﹣b＜0，∴原式＝b﹣a+b﹣a＝2b﹣2a．故答案为：2b﹣2a．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键．12．计算24−183的结果是【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．【专题】二次根式；运算能力．【答案】6．【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可．【解答】解：原式＝26=6故答案为：6．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．13．请写出一个使xx−2在实数范围内有意义的x的值：1（答案不唯一）【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】1（答案不唯一）．【分析】二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负的；分式有意义的条件：分式的分母不能为0，据此解答即可．【解答】解：根据题意可知，x≥0且x﹣2≠0，即x≥0且x≠2，∴写出一个使xx−2在实数范围内有意义的x故答案为：1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是关键．14．计算：(3−2)2019(【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】−3【分析】将原式变形为[(3【解答】解：(=(=[(=(3−4)=(−1)=−1×(3=−3故答案为：−3【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．15．如图，将矩形ABCD的长边AD增加3，宽边AB增加63，得到一个面积为147的正方形AEFG．则原矩形ABCD的面积是18【考点】二次根式的应用．【专题】二次根式；运算能力；应用意识．【答案】18．【分析】求出正方形AEFG的边长为147=73，再求出AD、AB【解答】解：由题意可知，正方形AEFG的边长为147=73∴AD＝73−3=63，AB＝73∴原矩形ABCD的面积＝AD•AB＝63×故答案为：18．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．如图，长方形ABCD内有两个相邻的大小不同的正方形，面积为13的正方形EFGH，面积为16的正方形MNCD，其中E点和F点都在边AB上，H点和G点都在边MN上．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？与哪个整数比较接近？（直接写结果）（2）求图中阴影部分的面积；（3）若小正方形边长的整数部分为x，小数部分为y，求(y−13【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）小正方形的边长在整数3与4之间，与整数4比较接近；（2）413−（3）﹣27．【分析】（1）利用9＜13＜16得到3＜13（2）先确定正方形MNCD的边长为4，然后利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABNM﹣S正方形EFGH进行计算；（3）先利用3＜13＜4得到x＝3，y【解答】解：（1）∵正方形EFGH的面积为13，∴正方形EFGH的边长13，∵9＜13＜16，∴3＜13∴小正方形的边长在整数3与4之间，与整数4比较接近；（2）∵正方形MNCD的面积为16，∴正方形MNCD的边长为4，∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABNM﹣S正方形EFGH＝413−（3）∵3＜13∴小正方形边长的整数部分为3，小数部分为13−即x＝3，y=13∴(y−13)x=（13−3−【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了无理数的估算．17．计算：（1）12−212−（2）27+【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）433+（2）6．【分析】（1）利用二次根式的乘除法则计算后再算加减即可；（2）利用二次根式的乘除法则，平方差公式计算后再算加减即可．【解答】解：（1）原式＝23−2=433（2）原式=9＝3+4+2﹣3＝6．【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．若x，y是实数，且y=6x−1+1−6x+48，求（6xy【考点】二次根式的化简求值；二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】﹣22．【分析】根据二次根式有意义的条件求得x，y的值，然后将原式化简后代入数值计算即可．【解答】解：若x，y是实数，且y=6x−1∵6x﹣1≥0，1﹣6x≥0，∴6x﹣1＝0，解得：x=1则y＝0+0+48＝48，原式＝（6xyx+3y＝6xy+3xy−4xy=−xy=−1＝﹣22．【点评】本题考查二次根式的化简求值，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．19．小鹏在解决问题：已知a=12+3，求2a2a=1∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题：（1）计算：11+（2）若a=1①求3a2﹣12a+1的值；②求2a3﹣10a2+6a+3的值．【考点】二次根式的化简求值；平方差公式；分母有理化．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）2026−（2）①4；②1．【分析】（1）先分母有理化，再算加减法即可；（2）①仿照例题解答即可；②将所求式子变形，再计算即可．【解答】解：（1）1=2−1=2026（2）①∵a=1∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝5，∴a2﹣4a＝1，∴3a2﹣12a+1＝