离散数学 课件 2.2 命题函数

CHAPTER02谓词逻辑2.2命题函数目录CONTENTS01引言与

基本概念命题与谓词的关系

谓词填式的引入02核心定义

与概念命题函数的定义

n元谓词与命题的转化关系03例题解析

（一）自然语言复杂语句的

谓词逻辑符号化方法04个体域

与量词全总个体域与特性谓词

个体域对命题真值的关键影响05例题解析

（二）基于不同个体域

量词相关命题的真值确定引言：命题函数的核心思想基本构成在命题逻辑的基础上，将简单命题分解为“个体”与“谓词”两部分。单独一个谓词，或者单独的个体，都无法构成一个完整的命题。谓词填式将“谓词字母”后面填入“客体名称”所得到的式子，被称为谓词填式。这是将一个不确定的“命题函数”转化为具有确定真值的“命题”的关键步骤。逻辑联结词在谓词逻辑中，简单命题和复合命题的概念依然适用。在命题演算中介绍的五个常用逻辑联结词（¬,∧,∨,→,↔）的含义和用法，在这里完全适用。命题与谓词的关系：实例解析一元谓词示例(UnaryPredicate)•设定：设H为谓词“能够到达山顶”。•变量形式：H(x)是一个包含变元的“命题函数”。•实例化：H(l)(李四登顶)、H(t)(老虎登顶)成为有真值的具体命题。二元谓词示例(BinaryPredicate)•设定：设L(x,y)表示“x小于y”。•真命题：L(2,3)→“2小于3”，判断为真。•假命题：L(5,1)→“5小于1”，判断为假。逻辑核心：从“函数”到“命题”H(x)、L(x,y)本身并非命题，它们是命题函数(PropositionalFunction)。只有当其中的变元(Variable)被赋予了特定的客体名称(Object)时，才能最终确定一个具有确定真假值的具体命题。定义2.5：命题函数简单命题函数由一个谓词和一些客体变元组成的表达式。💡核心特征：包含至少一个客体变元，未对变元赋值时，不具有确定的真或假。复合命题函数由一个或多个简单命题函数，通过逻辑联结词（如¬、∧、∨、→、↔）组合而成的表达式。💡逻辑规则：其真值取决于内部简单命题函数的真值，以及所使用的逻辑联结词的规则。n元谓词⇋命题•n元谓词：本质上就是含有n个客体变元的命题函数。•0元谓词：当n=0时，谓词中没有客体变元，它本身就构成了一个命题。🔑结论：命题是n元谓词的一种特殊情况。例题2.3：谓词符号化（一）(1)比较关系：身高定义：设H(x,y):x比y长得高；l:李四，c:张三。“李四不比张三长得高”：¬H(l,c)“张三与李四同样高”：¬H(l,c)∧¬H(c,l)(2)逻辑关系：工作与学习定义：设W(x):x工作很好；S(x):x学习很好。“x的工作、学习都很好”：W(x)∧S(x)“若x的学习很好，则x工作得很好”：S(x)→W(x)例题2.3：谓词符号化（二）(3)没有人登上过木星令H(x):x是人|M(x):x登上过木星方法一（不存在性）：对论域中的所有对象，不存在满足条件的人。¬(∃x)(H(x)∧M(x))方法二（全称性）：对所有是人x，x都没有登上过木星。(∀x)(H(x)→¬M(x))(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人令A(x):x是亚洲人|H(x):x是在美国留学的学生方法一（全称否定）：并非所有满足H(x)的对象都满足A(x)。¬(∀x)(H(x)→A(x))方法二（存在性）：存在一个满足H(x)的对象，但不满足A(x)。(∃x)(H(x)∧¬A(x))例题2.3：谓词符号化（三）(5)尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明。符号定义令：

•M(x):x是人(Human)

•C(x):x很聪明(Clever)逻辑符号化(∃x)(M(x)∧C(x))

∧¬(∀x)(M(x)→C(x))（存在合取）∧（全称蕴含的否定）语义解读•(∃x)(M(x)∧C(x))：

存在一些个体是人且聪明。

•¬(∀x)(M(x)→C(x))：

并非对所有个体，若它是人则它聪明。个体域与量词命题函数与个体域•命题函数本身不是命题，只有当客体变元取特定值时才成为命题。•客体变元的取值范围（即论述范围）决定了表达式的命题属性与真值，这个范围被称为个体域。核心概念辨析❖个体域：命题函数中，客体变元的论述范围，是命题真值的基础。❖全总个体域：为了统一起见，将所有可能的个体域综合在一起，构成最广泛的论述范围。❖特性谓词：在使用全总个体域时，用来限制每个客体变元实际变化范围的特定谓词。集合视角下的个体域示意文氏图常被用于直观展示不同个体域间的包含与相交关系，

帮助理解特性谓词对论域的划分作用。例题2.4：个体域对命题真值的影响设R(x)表示：“x是大学生”，观察在不同个体域下命题的真值变化。情况01个体域范围：x∈{某大学的学生}逻辑命题：(∀x)R(x)“所有某大学的学生都是大学生”✅结论：真命题情况02个体域范围：x∈{某中学的学生}逻辑命题：(∀x)¬R(x)“所有某中学的学生都不是大学生”✅结论：真命题情况03个体域范围：x∈{某剧场的观众}•单独的R(x)：真值不确定，故不是命题。•存在量词(∃x)R(x)：“剧场里存在观众是大学生”。💡结论：通常为真命题例题2.5：量词相关的真值确定（一）P(x):x是素数|I(x):x是整数|Q(x,y):x+y=01.(∀x)(I(x)→P(x))含义：所有整数都是素数。真值：假(False)。（例如：4是整数但不是素数）2.(∃x)(I(x)∧P(x))含义：存在一些整数是素数。真值：真(True)。（例如：2,3,5均为整数且是素数）核心辨析•全称量词(∀):要求论域中“所有”元素都满足，只要有一个反例，命题即为假。•存在量词(∃):只要求论域中“至少一个”元素满足，只要找到一个正例，命题即为真。例题2.5：量词相关的真值确定（二）3.(∀x)(∀y)(I(x)∧I(y)→Q(x,y))含义：对于任意的整数x和y，都有x+y=0。即任意两个整数之和一定为零。真值：假(False)反例：取整数x=1,y=2，此时1+2=3≠0，不满足条件。4.(∀x)(I(x)→(∃y)(I(y)∧Q(x,y)))含义：对于任意一个整数x，都存在一个整数y，使得x+y=0。即每个整数都有一个“相反数”。真值：真(True)证明：对于任意整数x，我们总能找到一个对应的整数y=-x，使得x+y=0成立。例题2.5：量词相关的真值确定（三）命题公式：(∃x)(∀y)(I(x)∧(I(y)→Q(x,y)))含义解析在整数论域中，该命题可以被解读为：“存在一个整数x，对于任意的整数y，都有x+y=0成立。”（注：这里I(x)代表x是整数，Q(x,y)代表x+y=0）真值判定假(False)该命题不成立，因为无法找到一个“通用”的整数x，能够满足与所有整数y相加均为0的条件。逻辑推导分析1.假设存在这样一个固定的整数x，对所有y都满足x+y=0。2.当y=1时，必须有x=-1。3.当y=2时，必须有x=-2。结论：x不能同时等于-1和-2，产生矛盾。因此原命题为假。本节总结命题函数由谓词和客体变元组成的表达式，是从谓词到命题的桥梁