离散数学 课件 5.4 群和子群

5.4群和子群群的定义、性质与子群的判定目录CONTENTS01群的定义与示例群的定义、示例与反例

深入理解群的核心概念02群的基本性质零元、方程解、消去律

幂等元等核心定理03子群的定义与判定子群的定义与判定定理

结合具体实例加深理解本章学习目标掌握群的定义理解群作为一种特殊代数系统的三个核心条件：封闭性、结合律、单位元与逆元的存在性，建立基础认知框架。熟悉群的基本性质深入掌握群中关于单位元唯一性、逆元唯一性、消去律及幂等元的相关重要定理，夯实理论基础。理解子群的概念掌握子群的定义，理解子群与原群的关系，并能熟练运用判定定理快速判断一个子集是否构成子群。能够应用定义和定理具备将理论转化为实践的能力，能灵活运用群论的基本定义和性质，独立解决相关的证明题和选择题。群的定义定义5.18：群(Group)一个代数系统<S,*>，若满足以下三个条件，则称其为一个群：1.封闭性与结合性：运算*是封闭的，且满足结合律。

2.存在幺元：集合中存在一个单位元素e。

3.存在逆元：对任意x∈S，都存在对应的逆元x⁻¹∈S核心关键点：群是特殊的“独异点”，其本质区别在于集合中每一个元素都必须有逆元。群的示例与反例是群Group<Z,+>(整数集上的加法)幺元是0，每个元素x的逆元是-x，满足群的所有定义。<R-{0},×>(非零实数集上的乘法)幺元是1，每个元素x的逆元是1/x，满足群的所有定义。<P(A),⊕>(集合A的幂集上的对称差)幺元是空集∅，每个元素的逆元是其自身。不是群Non-Group<R,×>(实数集上的乘法)虽然乘法运算满足结合律，且幺元为1，但其中包含元素0。对于0，我们无法找到任何实数x，使得0×x=1。因此，元素0不存在乘法逆元，不满足群的定义。代数系统的包含关系这四种代数系统之间存在严格的递进关系，从左至右定义条件逐渐增强，代数结构逐渐完善：{群}⊂{独异点}⊂{半群}⊂{广群}例题讲解5.22(Klein四元群)题目描述设集合G={d,a,b,c}，二元运算*的运算规则如下表所示。请证明代数系统<G,*>构成一个群。dabcddabcaadcbbbcdaccbad群的定义验证1.封闭性：运算表中的结果仅包含d,a,b,c，均属于集合G，故运算封闭。2.结合性：经过逐一验证（略），该二元运算满足结合律。3.幺元存在：元素d与集合中任意元素x运算，均满足d*x=x*d=x，故d是幺元。4.逆元存在：每个元素与自身运算结果均为幺元d。即d⁻¹=d,a⁻¹=a,b⁻¹=b,c⁻¹=c。结论：代数系统<G,*>满足群的所有公理，因此<G,*>构成一个群(Klein四元群)群的性质定理(一)定理5.8GROUPPROPERTIES阶数大于1的群中没有零元。若群G的元素个数|G|>1，则G中不存在元素θ，使得对任意x∈G，均有xθ=θx=θ。证明思路：反证法(ProofbyContradiction)01假设存在：设群G(|G|>1)中存在零元θ。02零元性质：对任意x∈G，必有x*θ=θ≠e。03关键推导：由于|G|>1，幺元e≠θ，故零元θ不存在逆元。得出矛盾：零元不存在逆元，与“群中每个元素都有逆元”的定义冲突，假设不成立。群的性质定理(二)定理5.9：方程解的唯一性设<G,*>是一个群，对于任意的a,b∈G：•必存在唯一的x∈G，使得a*x=b。•必存在唯一的y∈G，使得y*a=b。证明思路：存在性只需构造出满足条件的解即可证明其存在性。令x=a⁻¹*b，将其代入方程`a*x=b`中，利用结合律即可验证等式成立。证明思路：唯一性采用“假设存在，证明相等”的经典反证思路。假设另有一个元素x₁满足方程`a*x₁=b`，将等式两边同时左乘a⁻¹，即可推出x₁=x，从而证明解是唯一的。群的性质定理(三)定理5.10：消去律设<G,*>是一个群，对于任意的a,b,c∈G，满足以下两条性质：左消去律a*b=a*c

⇒b=c右消去律b*a=c*a

⇒b=c证明思路(以左消去律为例)1.已知：a*b=a*c2.两边左乘a⁻¹：a⁻¹*(a*b)=a⁻¹*(a*c)3.应用结合律：(a⁻¹*a)*b=(a⁻¹*a)*c4.应用逆元定义：e*b=e*c5.应用幺元定义：∴b=c群的性质定理(四)定理5.11：运算表的置换性质群<G,*>的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换。01/无重复由群的消去律可知，在运算表的任意一行或一列中，任何一个元素都不会出现重复。02/全覆盖任取行a和元素b，由群的逆元性质可得b=a*(a⁻¹*b)，故b必然出现在a行中，即行包含所有元素。03/结论由于每行/列满足“无重复”和“全覆盖”，这说明行/列与集合G之间存在一个双射，即构成了一个置换。群的性质定理(五)定理5.12：幂等元的唯一性群<G,*>中，除幺元e外，没有其它幂等元。(幂等元定义：满足x*x=x的元素)🔍证明思路(反证法)假设存在元素a≠e且满足幂等性，即a*a=a。推导：a=e*a=(a⁻¹*a)*a=a⁻¹*(a*a)=a⁻¹*a=e结论：这与假设a≠e矛盾，故群中唯一的幂等元是幺元e。子群的定义定义5.21：子群(Subgroup)设<G,*>是一个群，S是G的非空子集。若<S,*>也构成群，则称<S,*>是群<G,*>的一个子群。核心关键点：子群必须继承原群的运算*，且在该运算下自身必须满足群的所有公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）。“整体包含部分，部分映射整体”子群示例：偶数加法群题目：设<Z,+>是整数加法群，ZE是所有偶数的集合。请证明<ZE,+>是<Z,+>的一个子群。1.封闭性偶数与偶数相加的结果仍是偶数，故集合ZE在加法运算下满足封闭性。2.结合性加法运算的结合律在整数集合Z上成立，作为子集的偶数集合ZE自然继承这一性质。3.幺元存在整数加法群的幺元是0，0是偶数，因此0∈ZE，即偶数加法群包含加法幺元。4.逆元存在对任意偶数x，其加法逆元是-x，而-x同样是偶数，故集合ZE中的每个元素都有逆元。结论：<ZE,+>满足群的所有公理，因此它是整数加法群<Z,+>的一个子群。子群的判定定理定理5.15：子群的充要条件设<G,*>是群，S是G的非空子集。则<S,*>是<G,*>的子群当且仅当：对任意a,b∈S，都有a*b⁻¹∈S。01.证幺元任取a∈S，利用条件可得：

e=a*a⁻¹∈S。02.证逆元由e∈S，对任意a∈S：

a⁻¹=e*a⁻¹∈S。03.证封闭性对任意a,b∈S，因b⁻¹∈S，故：

a*b=a*(b⁻¹)⁻¹∈S。核心优势：化繁为简该定理将子群的判定从“验证封闭性、结合律、幺元、逆元”四个条件，简化为只验证一个条件，极大提升了数学推导的效率。例题讲解5.24：子群的交题目：设<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群，试证明<H∩K,*>也是<G,*>的子群。01.非空性证明因为<H,*>和<K,*>均为子群，根据子群的定义，二者都必须包含群G的幺元e。因此，幺元e必然属于H和K的交集，即e∈H∩K，故H∩K非空。02.应用判定定理任取a,b∈H∩K，即a,b同时属于H和K。由H、K的封闭性与逆元存在性可得：b⁻¹∈H,b⁻¹∈K且