离散数学 课件 5.7 同态与同构

同态与同构5.7代数结构的相似性与等价性分析GROUPTHEORY·抽象代数系列课程目录CONTENTS01同态(Homomorphism)定义、分类与示例

探究映射如何保持代数运算的结构关系02同构(Isomorphism)定义、示例与性质

揭示代数系统在结构上的本质等价性03同态核(Kernel)定义与性质

剖析同态映射中零元素的原像集合同态的定义定义5.28：同态映射(Homomorphism)设V1=<S1,○>和V2=<S2,*>是两个代数系统，若存在映射φ：S1→S2，满足：φ(x○y)=φ(x)*φ(y)则称φ是

V1到

V2的一个同态映射。核心思想运算的象等于象的运算。即在映射前后，运算的结构被“保持”了。理论意义揭示了不同代数结构间的运算保持关系，是分析结构相似性的核心工具。形象类比：齿轮咬合就像两个大小不同的齿轮，虽然形态不同，但它们的“转动”（运算）始终保持一致，互不干扰又紧密相连。同态的核心思想与图示φ(x∘y)=φ(x)*φ(y)——结构保持性的数学表达▍运算映射：左侧集合S₁中的元素x和y经过特定运算∘得到x∘y。▍元素映射：通过同态映射φ，元素x和y分别对应到右侧集合S₂中的φ(x)和φ(y)。▍结果一致性：无论是“先运算再映射”还是“先映射再运算”，最终的结果是完全等价的。▍核心意义：保证了两个不同集合在各自运算规则下的结构相似性。同态的例子例1：实数加法群→实数乘法群•代数系统：实数加法群<R,+>与实数乘法群<R,×>•映射关系：定义指数函数f(x)=2ˣ•同态验证：f(x+y)=2⁽ˣ⁺ʸ⁾=2ˣ×2ʸ=f(x)×f(y)，

完美保持运算结构。例2：整数加法群→模n加法群•代数系统：整数加法群<Z,+>与模n剩余类加法群<Iₙ,+ₙ>•映射关系：定义取模运算φ(i)=imodn•同态验证：φ(i+j)=(i+j)modn=(imodn)+ₙ(jmodn)=φ(i)+ₙφ(j)，加法性质在取模后保持不变。同构的定义定义5.29：同构映射若同态映射φ是S₁到S₂的双射，则称φ为同构映射(Isomorphism)，并称<S₁,∘>和<S₂,*>同构，记作S₁≅S₂。核心意义：同构标志着结构的本质等价性。两个同构的代数系统，除了元素的符号不同，其运算结构完全相同。同构的例子例1：整数加法群与其子群定义集合：设整数集合I的子群H={x|x=dn,n∈I}，其中d为任意固定整数。构造映射：f(n)=dn，这是一个从<I,+>到<H,+>的映射。验证同构：映射f既是保持加法运算的同态，也是一一对应的双射。因此，整数加法群与它的子群同构。例2：正实数乘法群与实数加法群研究对象：正实数集合在乘法下构成的群<R₊,×>，与全体实数在加法下构成的群<R,+>。构造映射：利用自然对数函数，定义映射f(r)=ln(r)。验证同构：f(r₁×r₂)=ln(r₁)+ln(r₂)=f(r₁)+f(r₂)，即f是同态；且ln(r)在正实数域上是严格单调的双射。因此，两个群同构。自同态与自同构定义5.30：自同态与自同构设<A,★>是一个代数系统。•如果映射f是由<A,★>到自身的同态，则称f为自同态(Endomorphism)。•如果映射g是由<A,★>到自身的同构，则称g为自同构(Automorphism)。💡核心解读自同态与自同构是映射关系的“特殊化”场景，即定义域与值域均为同一个代数系统。其中，自同构描述了系统内部结构保持不变的变换，是抽象代数中研究群、环等代数结构的对称性的核心工具。同态保持代数结构定理5.22：同态映射的结构保持性设f是从代数系统<A,★>到代数系统<B,*>的同态映射，则其同态象<f(A),*>继承原系统的关键代数结构：半群(Semigroup)若<A,★>是半群，则同态象<f(A),*>必满足结合律，也构成半群。独异点(Monoid)若<A,★>是独异点，则同态象<f(A),*>必包含单位元，保持独异点结构。群(Group)若<A,★>是群，则同态象<f(A),*>封闭、结合、有单位且可逆，也是群。💡核心解读：同态映射本质上是一种“结构保持映射”。这一性质至关重要，它保证了我们在利用同态简化复杂代数系统时，原有的核心数学性质不会丢失，从而可以通过研究更简单的“象”来推断原系统的特性。同态核的定义定义5.31：同态核设f是由群<G,★>到群<G',*>的同态映射，e'是G'中的幺元。记Ker(f)={x|x∈G且f(x)=e'}称Ker(f)为同态映射f的核(Kernel)。直观理解同态核是原群G中所有被映射到目标群G'幺元的元素的集合，它揭示了同态映射中“归零”的关键结构。同态核的性质定理5.23：同态核是子群设f是由群<G,★>到群<G',*>的同态映射，则f的同态核K是G的子群。01.包含幺元由同态映射的定义可知：

f(e)=e'，所以单位元e必然属于同态核K。02.运算封闭性设k₁,k₂∈K，则：

f(k₁★k₂)=f(k₁)*f