全品高考备战2027年数学一轮学生用书09第47讲空间距离及立体几何中的探索性问题【答案】作业手册

第47讲空间距离及立体几何中的探索性问题1.B[解析]由m=(2,1,1),PQ=(3,4,5),得|PQ|2=32+42+52=50,PQ·m=6+4+5=15,|m|=6,所以点Q(2,4,6)到l的距离d=|PQ50-1562=2.B[解析]由题意得AP=(3,-4,4),所以点P(2,-1,4)到α的距离d=|AP·n||3.C[解析]因为A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,1,1),所以AB=(-1,1,-1),AC=(0,1,0),所以AC在向量AB上的投影向量的模为|AC·AB||AB|=13=33,所以点C到直线AB4.B[解析]设O,O1分别是AC,A1C1的中点,连接OO1,OB,O1B1,根据正三棱柱的几何性质可知OB,OC,OO1两两垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),C1(0,1,2),所以CB=(3,-1,0),CA1=(0,-2,2),CC1=(0,0,2).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则n·CB=3x-y=0,n·CA1=-2y+2z=0,令x=1,得n=(1,3,3).因为B1C1∥BC,B1C1⊄平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以B1C1∥平面A1BC5.C[解析]由题得AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,2),AP=(0,-1,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则AB·n=0,AC·n=0,即-x+y=0,-6.AB[解析]以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.由题得A(1,0,0),E0,0,12,F1,1,12,C1(0,1,1),则AE=-1,0,12,FC1=-1,0,12,AE=FC1,所以AE∥FC1,所以A,E,F,C1四点共面,故A正确.由正方体的结构特征知,点B1在平面ADD1A1上的射影为A1,所以AB1在平面ADD1A1上的射影为AA1,故B正确.由A1(1,0,1),B11-232=53,故C错误.设平面AB1E的法向量为m=(x,y,取x=1,则m=(1,-2,2),又AA1=(0,0,1),所以点A1到平面AB1E的距离为|AA1·m||7.2255[解析]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面A1B1C1D1,因为B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以DD1⊥B1D1,又DD1⊥CD,所以DD1是异面直线B1D1与CD的公垂线段,又DD1=2,所以异面直线B1D1与CD的距离为2.连接AD1,BD,因为CD∥AB,CD⊄平面ABD1,AB⊂平面ABD1,所以CD∥平面ABD1,所以CD到平面ABD1的距离就是异面直线BD1与CD的距离,即点D到平面ABD1的距离就是异面直线BD1与CD的距离,设其为h,由题得AD1=22+12=5.因为VD1-ABD=VD-ABD1,所以13×12×2×1×2=138.233[解析]方法一(等体积法):由题得VC-OAB=13S△OAB×OC=13×2×2=43.设O到平面ABC的距离为h,则VC-OAB=VO-ABC=13S△ABC·h,又△ABC为等边三角形,边长为22,所以S△ABC=34×(22)2=23,所以h=423方法二(向量法):设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).由题得AB=(-2,2,0),AC=(-2,0,2),由n⊥AB,n取x=1,则n=(1,1,1),则OA在n上的投影向量的模为|OA·n||n|=23=9.解:(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),D1(0,0,2),E(2,2,1),所以AE=(0,2,1),AD1=(-2,0,2).设平面AD1E的法向量为n=(x,y,则n·AD1=-2x+2z又DD所以点D到平面AD1E的距离d1=|n·DD1|(2)由(1)可得平面AD1E的一个法向量为n=(2,-1,2).因为B(2,2,0),C1(0,2,2),所以BC1=(-2,0,2),则BC1·n=2×(-2)+(-1)×0+2×2=0,所以BC1⊥n,又BC1⊄平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E,所以BC1到平面AD1E的距离可以转化为点B到平面AD1E的距离.由AB=(0,2,0),得BC1到平面AD1E的距离d2=10.C[解析]由题意知,该几何体为长方体,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,3).设N(0,2,t)(0≤t≤3),则AB=(0,2,0),BN=(-2,0,t),BB1=(0,0,3).因为A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABN,AB⊂平面ABN,所以A1B1∥平面ABN,故直线A1B1到平面ABN的距离为B1到平面ABN的距离.设平面ABN的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=0,n·BN=0,即2y=0,-2x+tz=0,取x=t,则n=(t,0,2),所以B11.C[解析]如图所示,连接P'M,BD,设点P关于平面ABCD的对称点为P',延长BB1交平面A1C1D于点E,记点P',B到平面A1C1D的距离分别为d1,d2,易知EB1=BB1.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则B(3,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),C1(0,3,3),DA1=(3,0,3),DC1=(0,3,3),DB=(3,3,0),设平面A1C1D的法向量为m=(x,y,z),则m·DA1=0,m·DC1=0,即3x+3z=0,3y+3z=0,令x=1,则m=(1,1,-1),所以d2=12.AB[解析]如图,以A为原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),M(0,2,1),N(1,1,0),P(x,0,2),0≤x≤2,所以AM=(0,2,1),NP=(x-1,-1,2),因为AM·NP=0,所以AM⊥PN,故A正确;连接BP,由B(2,0,0),C(0,2,0),得BC=(-2,2,0),BP=(x-2,0,2),0≤x≤2,则点P到直线BC的距离d=BP212(x-2)2+4,当x=0时,d取得最大值6,故B正确;易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),设PN与平面ABC所成的角为θ,则sinθ=|cos<sinθ取得最小值63,此时tanθ=2,故C错误;AM=(0,2,1),AP=(x,0,2),设平面AMP的法向量为n=(a,b,c),则2b+c=0,xa+2c=0,令b=x,则c=-2x,a=4,即n=(4,x,-2x),连接AN,又AN=(1,1,0),所以点N到平面AMP的距离为|AN·n||n5x2+16-(x+4)·5x5x2+165x2+16=16-20x(5x2+16)5x2+16,令f'(x)=0,得x=45,当0≤x<45时,f'(13.455[解析]连接A1P,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),E(1,2,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),可得D1E=(1,2,-2),AA1=(0,0,2).设D1P=λD1E=(λ,2λ,-2λ),λ∈[0,1],则P(λ,2λ,2-2λ),因此A1P=(λ(λ5λ2-165=455,当λ=25时,取得最小值455,即点P到直线14.±2[解析]由题得AB=(0,0,c),BC=(-a,b,0),AP=(a,0,0).设平面ABC的法向量为n=(x1,y1,z1),则n·AB=cz1=0,n·BC=-ax1+by1=0,取x1=b,则n=(b,a,0),所以点P到平面ABC的距离d=|AP·n||n|=|ab|a2+b2=|ab|2=1,所以|ab|=2,则a2b2=4,又a215.解:(1)证明:如图,取FN的靠近点N的三等分点H,连接HQ,HM.由于FQ=2QC,H是FN的靠近N的三等分点,因此HQ∥NC,HQ=23NC=2由于MD∥NC,MD=2,因此MD∥HQ,MD=HQ,所以四边形MDQH为平行四边形,故DQ∥MH,又MH⊂平面MEFN,DQ⊄平面MEFN,所以DQ∥平面MEFN.(2)(i)在NC上取点P使得PC=2,连接MP,FP.由于MD∥PC,MD=PC,因此四边形MDCP为平行四边形,所以DC∥MP,故直线FM与直线CD所成的角为∠FMP或其补角.因为MN=AB2-(MP=CD=2,FP=FN2+NP2-2FN所以cos∠FMP=FM12+4-132×23×2=38,故直线(ii)以N为坐标原点,分别以NC,NM的方向为y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则N(0,0,0),M(0,0,3),D(0,2,3),F(3sinθ,3cosθ,0),E(2sinθ,2cosθ,3),Q(sinθ,cosθ+2,0),所以NE=(2sinθ,2cosθ,3),MQ=(sinθ,cosθ+2,-3),MD=(0,2,0).设平面MDQ的法向量为n=(x,y,z),则n即x令x=3,则n=(3,0,sinθ).由于直线NE与平面MDQ所成角的正弦值为32114,因此|cos<NE,n>|=32114=|23sinθ+3sinθ|4sin216.解:(1)证明:由四边形ABCD是直角梯形,AB=23,BC=2AD=4,AB⊥BC,可得DC=4,∠BCD=π3,所以△BCD则BD=4,BD平分∠ADC.又E为CD的中点,所以DE=AD=2,则BD⊥AE,又PB⊥AE,PB∩BD=B,BD⊂平面PBD,PB⊂平面PBD,所以AE⊥平面PBD,又AE⊂平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD.(2)(i)在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC.由(1)得平面PBD⊥平面ABCD.因为平面PBD∩平面ABCD=BD,PO⊂平面PBD,所以PO⊥平面ABCD,所以∠PCO为PC与平面ABCD所成的角,则∠PCO=π4所以OP=OC,因为PB=PD,PO⊥BD,所以O为BD的中点,所以OP=OC=23,且OC⊥BD.又BD=4,所以三棱锥P-BDC的体积V=13×12BD·OC·PO=16×4×23×2(ii)方法一(向量法):如图①,以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(0,23,0),D(-2,0,0),P(0,0,23).假设在侧面PCD内存在点N,使得BN⊥平面PCD成立.设PN=λPD+μPC(λ,μ≥0,λ+μ≤1),由题意得N(-2λ,23μ,-23(λ+μ-1)),BN=(-2λ-2,23μ,-23(λ+μ-1)),PC=(0,23,-23),PD=(-2,0,-23).由BN·PC解得λ=15,μ=因为PC=(0,23,-23),P(0,0,23),则NP=25所以|NP|=4510,|PC|=26,NP·PC=-