全品高考备战2027年数学一轮备用题库07培优专训(四)数列中的交汇与创新问题【正文】作业手册

培优专训(四)数列中的交汇与创新问题(时间:45分钟)1.[2024·武汉新洲区质检]已知一次函数y=f(x)的图象在坐标轴上的截距相等且不为零,且经过点P(1,-2),令an=f(n)f(n+1),n∈N*,记数列1an的前n项和为Sn,当Sn=511时,n的值为 (A.19 B.20C.21 D.222.将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,…,2018,从第二行起,每一个数都等于它“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M= ()A.2018×22015 B.2019×22016C.2018×22016 D.2019×220173.(多选题)给定数列{an},定义差分运算:Δan=an+1-an,Δ2an=Δan+1-Δan,n∈N*.若数列{an}满足an=n2+n,数列{bn}的首项为1,且Δbn=(n+2)·2n-1,n∈N*,则 ()A.存在M>0,使得Δan<M恒成立B.存在M>0,使得Δ2an<M恒成立C.对任意M>0,总存在n∈N*,使得bn>MD.对任意M>0,总存在n∈N*,使得Δ24.[2025·东北三省联考]二进制是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统,在这一系统中通常用两个不同的符号0,1来表示数.如果十进制中的整数n=ak·2k+ak-1·2k-1+…+a1·2+a0(∈{0,1},i=0,1,…,k),则这个数在二进制下记为akak-1…a1a0,即(n)10=(akak-1…a1a0)2.记十进制下的整数n在二进制表示下的各位数字之和为φ(n),即φ(1)计算φ(7);(2)证明:φ(4n+3)=φ(2n+1)+1;(3)求数列{φ(3·2n-1)}的前n项和Sn.5.[2024·江苏海门调研]对于无穷数列{an}与{bn},记A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=bn,n∈N*},若同时满足条件:①{an},{bn}均递增;②A∩B=⌀且A∪B=N*,则称{an}与{bn}是无穷互补数列.(1)若an=2n-1,bn=4n-2,判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列,并说明理由;(2)若an=2n,且{an}与{bn}是无穷互补数列,求数列{bn}的前16项和;(3)若{an}与{bn}是无穷互补数列,{an}为等差数列,且a16=36,求{an}与{bn}的通项公式.6.在人教版高中数学教材选择性必修三中,我们探究过“杨辉三角”(如图所示)所蕴含的二项式系数性质,也了解到在我国古代“杨辉三角”是解决很多数学问题的有力工具.(1)把“杨辉三角”中第三斜列各数取出,并按原来的顺序排列可得一数列{an}:1,3,6,10,15,…,请写出an与an-1(n∈N*,n≥2)的递推关系式,并求出数列{an}的通项公式;(2)设bn=an(n+1)·2n-1,证明:b1+b2+b7.已知各项均为正数的数列{an}中,a1=6,点An(an,an+1)在抛物线y2=x+1上.数列{bn}中,点Bn(n,bn)在经过点(0,1)且以m=(1,2)为方向向量的直线l(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)若f(n)=an(n为