全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第58讲用样本估计总体【正文】听课手册

第58讲用样本估计总体【课标要求】1.能根据实际问题的特点,选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述,体会合理使用统计图表的重要性.

2.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义.

3.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),理解离散程度参数的统计含义.

4.结合实例,能用样本估计总体的取值规律.

5.结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.1.数据的可视化描述(1)各类统计图的特点类型作用频率分布直方图主要以面积的形式描述数据落在各个小组的频率的大小,可以估计总体数据的分布趋势(续表)类型作用扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例条形图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率,尤其是离散型的数据折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势(2)作频率分布直方图的步骤

作频率分布直方图→第一步:求极差,即求一组数据中2.数据的数字特征(1)平均数:如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组数的平均数为x=,简记为x=1n∑i=1(2)中位数:把一组数据按的顺序排列,处在位置的一个数据(或两个数据的平均数).

(3)众数:一组数据中,出现次数的数据.

(4)百分位数①定义:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据这个值,且至少有(100-p)%的数据这个值.

②计算一组n个数据的第p百分位数的步骤:第1步,按排列原始数据.

第2步,计算i=.

第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的.

③四分位数:第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数.其中:第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.(5)方差和标准差如果数据x1,x2,…,xn的平均数为x,则其方差s2=1n∑i=1n(xi-x)2=1n∑注:方差越大,说明数据的离散程度或波动幅度越大,反之数据越集中,其单位是原始数据单位的平方.常用结论1.样本的平均数与方差性质:已知数据x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为s2.(1)平均数具有线性性质:ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为ax+b.(2)方差具有倍缩性质:ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2.(3)方差与平均数的计算关系s2=1n2.众数、中位数(百分位数)、平均数与频率分布直方图的关系:(1)众数:最高的小矩形底边中点的横坐标.(2)中位数:从左侧开始满足小矩形面积之和为0.5的横坐标的值;根据百分位数的定义,求第p百分位数同样转化为从左侧求小矩形的累计面积之和满足的条件.(3)平均数:每个小矩形底边中点的横坐标与对应频率的积之和.题组一常识题1.[教材改编]从某城市随机抽取14台自动售货机,对其销售额进行统计,数据如下:8,8,10,12,20,22,23,23,31,32,34,34,42,43.则这14台自动售货机的销售额的中位数,80%分位数分别是,.

2.[教材改编]某学校为了调查学生生活方面的日支出情况,抽取了一个容量为n的样本,将所得日支出数据(单位:元)按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成5组,绘制成如图所示的频率分布直方图,则a=.要从日支出在[50,70]内的样本中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人,则日支出在[60,70]内的样本中被抽取的个体数为.

3.甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表:甲乙丙丁平均成绩8.58.88.88方差3.53.52.18.5则参加运动会的最佳人选应为.

题组二常错题◆索引:挖掘不出统计图表反映的信息;不理解数字特征的统计含义;不理解百分位数的计算步骤;混淆均值和方差的性质.4.某校为了普及消防知识,举行了一次消防知识竞赛,满分为10分,有10名同学代表班级参加比赛,已知学生得分均为整数,比赛结束后统计这10名同学得分情况绘制折线图如图所示,则这10名同学成绩的极差为,75%分位数是.

5.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生的成绩(均为整数),其成绩的频率分布直方图如图所示,由此估计此次考试成绩的中位数,众数和平均数分别是、、.

6.已知数据x1,x2…,xn的平均数x=3,方差s2=4,则数据3x1+7,3x2+7,…,3xn+7的平均数和标准差分别为、.

常见统计图表的识读与直观应用例1(1)[2025·湖北孝感八校三联]某保险公司销售某种保险产品,根据2024年全年该产品的销售额(单位:万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比,绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图,下列说法正确的是 ()A.2024年第四季度的销售额为280万元B.2024年上半年的总销售额为500万元C.2024年2月份的销售额为60万元D.2024年12个月的月销售额的众数为50万元(2)某地自2018年起实行湖长制后,境内湖泊水质不断提升.为了解治理成效,环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查,得到的数据如图所示,并且五年来,该地通过退耕还湖,湖泊总量由160个增加至200个.下列说法正确的是 ()A.估计该地水质差的湖泊总量逐年递增B.估计该地水质好的湖泊总量逐年递增C.该地平均每年新增8个湖泊D.估计该地平均每年新增45个水质好的湖泊总结反思扇形图、条形图、折线图的关注点(1)扇形图能清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.(2)条形图的长度表示各类别频数的多少,宽度是固定的类别,与频率分布直方图不同.(3)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.变式题(1)(多选题)如图所示是某款新能源汽车在速度、稳定性、安全性、易用性、续航能力这五个方面的综合评分的雷达图,则下列结论正确的是 ()A.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分B.这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等C.这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低D.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分(2)[2025·四川绵阳三诊]某家电公司生产了A,B两种不同型号的空调,公司统计了某地区2025年的前6个月这两种型号空调的销售情况,得到销售量的折线统计图如图所示,分析这6个月的销售数据,下列说法错误的是 ()A.A型号空调月销售量的极差比B型号空调月销售量的极差大B.A型号空调月平均销售量比B型号空调月平均销售量大C.A型号空调月销售量的上四分位数比B型号空调销售量的上四分位数大D.A型号空调月销售量的方差比B型号空调月销售量的方差小样本的数字特征的求解与应用例2(1)(多选题)为了丰富学生的课余生活,减轻学生的学习压力,某校提倡师生全民健身.该校跳绳社团组织学生校内跳绳比赛,得到10名同学的跳绳数(单位:个)分别为180,166,190,176,180,200,170,198,160,220,则这组数据的 ()A.极差为60B.平均数是184C.方差为400D.60%分位数是185(2)[2024·新课标Ⅱ卷]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)都在[900,1200)内,并整理得到下表:亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)频数61218302410根据表中数据,下列结论正确的是 ()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg到300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg到1000kg之间(3)[2025·湖北鄂州一模]随着春节申遗成功,世界对中国文化的理解和认同进一步加深,某学校为了解学生对春节习俗的认知情况,随机抽取了100名学生进行了测试,将他们的成绩适当分组后,画出的频率分布直方图如图所示,则下列数据一定不位于区间[80,85)内的是 ()A.众数 B.第70百分位数C.中位数 D.平均数总结反思(1)通过频率分布直方图求中位数时,若小矩形的面积之和不恰为0.5,则可按比例求其余部分.(2)求方差时,勿忘乘1n,方差是各数据与其中心(平均数)距离的平方的平均数变式题(1)(多选题)[2025·广东广州调研]一组数据x1,x2,…,x10是公差为d(d≠0)的等差数列,去掉首末两项后得到一组新数据,则 ()A.两组数据的极差相同B.两组数据的中位数相同C.两组数据的平均数相同D.两组数据的上四分位数相同(2)某市政府为了减少水资源的浪费,计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价,即确定一户居民月均用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.通过抽样获得了100户居民的月均用水量数据(单位:t),制成如图所示的频率分布表.分组[1.2,4.2)[4.2,7.2)[7.2,10.2)[10.2,13.2)[13.2,16.2)[16.2,19.2)[19.2,22.2)[22.2,25.2)[25.2,28.2]频率0.230.320.130.090.090.050.030.040.02如果以居民月均用水量不超过a的占80%,大于a的占20%为标准,根据频率分布表估计,下列数最接近a的是 ()A.15 B.14C.13 D.12用样本的数字特征估计总体的数字特征例3(1)(多选题)为弘扬中华优秀传统文化,树立正确的价值导向,落实立德树人的根本任务,某校组织全体高一年级学生进行古典诗词知识测试,从中随机抽取100名学生,记录他们的分数,整理得到频率分布直方图如图(各组区间除最后一组为闭区间外,其余各组均为左闭右开区间),则以下说法正确的是 ()A.a=0.025B.估计此次测试学生分数的众数为95C.估计此次测试学生分数的中位数为90D.估计此次测试学生分数的下四分位数为85(2)某市为了解新高三年级学生的数学学习情况,以便为即将展开的一轮复习提供准确的数据,在开学初该市教体局组织高三年级学生进行了一次摸底考试,现从参加考试的学生中随机抽取200名,根据统计结果,将他们的数学成绩(满分150分)分为[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]共8组,得到如图所示的频率分布直方图.①设事件A=“从参加考试的学生中随机抽取1名学生,该学生的成绩不低于110分”,估计事件A发生的概率(用频率估计概率);②利用所给数据估计本次数学考试成绩的平均数及方差(各组数据以其中点值作代表).参考数据:(x1-x)2=998.56,(x2-x)2=466.56,(x3-x)2=134.56,(x4-x)2=2.56,(x5-x)2=70.56,(x6-x)2=338.56,(x7-x)2=806.56,(x8-x)2=1474.56,其中xi(i=1,2,…,8)为第i组数据的中点值.

总结反思用样本的数字特征估计总体的数字特征常常是以频率分布直方图等为工具,应用平均数、方差、中位数等进行分析,解决问题时要注意准确建立统计模型,准确计算各个数字特征.变式题(1)(多选题)某中学学生会对本校高二年级1000名学生的睡觉时间情况进行调查,随机抽取了50名高二年级学生调查其睡眠时间,将所得数据分组整理后,列表如下:一星期内23:00后睡觉的天数01234567人数所占百分比4%4%8%m%20%24%16%10%从表中可以得出正确的结论为 ()A.表中m的值为14B.估计该校高二年级学生中一星期内23:00后睡觉的天数不超过3的有160人C.估计该校高二年级学生中一星期内23:00后睡觉的天数的众数为5D.估计该校高二年级学生中一星期内23:00后睡觉的天数的第80百分位数为6(2)(多选题)[2025·西南名校联盟诊断]某中学九年级在体能测试后,为分析学生的跳绳成