全品高考备战2027年数学一轮学生用书09第19讲导数与不等式第3课时放缩法证明不等式【正文】听课手册

/第3课时放缩法证明不等式/放缩法证明不等式,即把要证的不等式一边适当地放大(或缩小),使之得出明显的不等量关系后,再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法.常用的放缩方式有三类:一是利用不等式放缩.根据函数结构,选择不同的不等式,如指数不等式、对数不等式、三角不等式、基本不等式等进行放缩,使函数简单化,从而降低难度.从图象角度看,是以直代曲的思路.二是利用已证结论放缩.解答题的上一问中证明的不等式,或者推导过程中证明出的结论,为后续的证明提供放缩依据,即利用已证结论进行放缩,化繁为简.三是利用参数范围放缩.函数解析式中含有参数,且已知参数范围,证明不等式成立,可以从参数的范围入手,在参数给定的范围内,结合不等式的结构进行第一步放缩,达到减少变量,使函数结构简单的目的.提示:在构造函数证明不等式时,常会用到一些放缩技巧:(1)舍去一些正项(或负项);(2)在和或积中换大(或换小)某些项;(3)扩大(或缩小)分式的分子(或分母);(4)构造基本不等式(通常结合代换法,注意对指数的变换).指对放缩证明一元不等式例1已知函数f(x)=ex,当x>-2时,求证:f(x)>ln(x+2).

总结反思利用导数证明不等式时,经常会遇到ex和lnx与其他代数式结合的问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和lnx进行放缩,使问题简化,简化后再构造函数进行证明.常见的放缩公式如下:(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号;(2)lnx≤x-1,当且仅当x=1时取等号.变式题已知函数f(x)=aex-lnx-1,证明:当a≥1e时,f(x)≥0

指对放缩证明数列不等式例2已知函数f(x)=lnxx(1)求f(x)的最大值;(2)求证:ln(n+1)<212+322+…+n+1n

总结反思用导数方法来证明形如a1+a2+a3+…+an<g(n)(或a1a2a3…an<g(n))的数列型不等式,对于多数同学来说构造是难点,即构造一个不等式,它的一般解题思路为:①令bn=g(n)-g(n-1)(n≥2)注:有时需要简单放缩或变形,若证a1a2a3…an<g(n),则令bn=g(n)g(n-1)(n≥2),其中g(n-1)≠0变式题已知e为自然对数的底数,函数h(x)满足h(0)=0,h'(x)=ex-2ax-1,函数f(x)=ex-x,(1)求函数f(x)的极值点和极值;(2)若h'(x)在[0,+∞)上单调递增,求实数a的最大值;(3)求证:f12+f13+f14+…+f1n+1>n+n4

三角放缩证明不等式例3已知函数f(x)=2xsinx,g(x)=lnx+x+3.求证:(1)直线y=2x+2是曲线y=g(x)的一条切线;(2)当x∈0,π2时,f(x)+π>g(x

总结反思对于含有三角函数的不等式的证明,其三角函数部分可以采用有界性或常见的三角不等式进行放缩处理,为整个不等式的证明创造条件.常见的三角放缩不等式有:(1)x>sinx,x∈(0,+∞);(2)sinx≤x≤tanx,x∈0,π2;(3)sinx≥xcosx,x(4)cosx≥1-x22,x∈R;(5)sinx≥2xπ,变式题已知函数f(x)=xeax+xcosx