全品高考备战2027年数学一轮备用题库07第47讲空间角【正文】作业手册

第47讲空间角(时间:45分钟)1.已知平面α的一个法向量为a=(1,2,2),平面β的一个法向量为b=(-1,2,0),则两平面的夹角的余弦值为 ()A.13 B.C.54 D.2.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=2π3,则l与α所成的角为 (A.2π3 B.C.π6 D.3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分别为AC,BC的中点,则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为 ()A.33 B.C.1010 D.4.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在AB,CD上,且AE=2EB,CF=2FD,则平面A1EF与平面C1EF的夹角的余弦值为 ()A.37 B.47 C.37 5.点A,B分别在空间直角坐标系Oxyz的x,y轴的正半轴上,点C(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2),设平面ABC与平面ABO的夹角为θ,则cosθ的值为 ()A.-53 B.53 C.-23 6.[2024·福建十一校联考]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,AD=6,异面直线BD与AC1所成角的余弦值为710,则CC1=7.如图是电商平台售卖的一种木制“升斗”,底部封闭,上部开口,把该升斗看作一个正四棱台,尺寸如图所示,则该四棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为.

8.[2023·全国乙卷]已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C-AB-D的平面角为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为 ()A.15 B.C.35 D.9.如图,在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼,四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱看成正四棱柱,钟面圆心在棱柱侧面中心上),在整点时刻(在0点至12点中取整数点,含0点,不含12点),已知在3点时和9点时,相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直,则在2点时和8点时,相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为 ()A.26 B.14 C.36 10.(多选题)[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则 ()A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°11.(多选题)[2024·温州二模]已知空间两条异面直线a,b所成的角等于60°,过点P与a,b所成的角均为θ的直线有且只有一条,则θ的值可以为 ()A.30° B.45°C.75° D.90°12.已知四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,AB=BC=CD=26,且该四面体的体积为122,则异面直线AD与BC所成角的大小为.

13.[2024·武汉调研]两个有共同底面的正三棱锥P-ABC与Q-ABC,它们的各顶点均在半径为1的球面上,若二面角P-AB-Q的大小为120°,则△ABC的边长为.

14.[2024·长郡中学二模]如图,已知多面体ABC-A1B1C1中,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)求证:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值.15.[2023·新课标Ⅰ卷]如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2∥A2D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.16.[2024·重庆巴蜀中学月考]如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2A1B1=4.(1)求证:平面ABCD⊥平面ACC1A1;(2)若直线B1C与平面ACC1A1所成角的正切值为36,求平面BCC1B1与平面ACC1A1的夹角的正弦值17.[2024·杭州二模]如图,在多面体ABCDPQ中,底面ABCD是平行四边形,∠DAB=60