全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第37讲等差数列及其前n项和【正文】听课手册

第37讲等差数列及其前n项和【课标要求】1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.

3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.

4.体会等差数列与一元一次函数的关系.1.等差数列中的有关公式已知等差数列{an}的首项为a1,公差是d,前n项和为Sn,则等差数列定义式(d为常数)

等差中项A=

(A是a与b的等差中项)通项公式或

前n项和公式Sn==

2.等差数列的性质已知{an}是等差数列,其公差为d,Sn是{an}的前n项和.(1)通项公式的推广:an=am+(n,m∈N*).

(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则.

(3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为的等差数列.

(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)Snn3.等差数列与函数的关系(1)等差数列{an}的通项公式可写成an=,当d≠0时,它是关于n的,它的图象是直线y=dx+(a1-d)上横坐标为正整数的均匀分布的一群的点.

(2)前n项和公式可变形为Sn=,当d≠0时,它是关于n的常数项为0的,它的图象是抛物线y=d2x2+a1-d2(3)单调性:当d>0时,{an}是递增数列,若a1<0,则Sn存在最小值;当d<0时,{an}是递减数列,若a1>0,则Sn存在最大值;当d=0时,{an}是常数列.常用结论1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.2.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数),这里公差d=2A.3.若{an},{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn,Tn,则anbn4.若等差数列{an}的项数为偶数2n,则(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);(2)S偶-S奇=nd,S奇S偶5.若等差数列{an}的项数为奇数2n+1,则(1)S2n+1=(2n+1)an+1;(2)S奇S偶题组一常识题1.[教材改编]已知在等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则a4=.

2.[教材改编]设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若a2+a4=6,S9=45,则d=.

3.[教材改编]一物体从1960m的高空降落,如果第1秒降落4.9m,以后每秒比前一秒多降落9.8m,那么经过秒该物体降落到地面.

题组二常错题◆索引:忽视等差数列中项为0的情况;考虑不全公差的取值范围;等差数列中各项的符号判断不正确.4.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是.

5.若一个等差数列的首项为125,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是6.已知等差数列{an}的通项公式为an=10-n,则a1+a2+…+a20=,|a1|+|a2|+…+|a20|=.

等差数列基本量的运算例1(1)[2024·全国甲卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1= ()A.72 B.C.-13 D.-(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S55-S22=6,则a7-a4= A.9 B.10C.11 D.12总结反思解决等差数列基本量运算问题的思想方法(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.变式题(1)[2024·新课标Ⅱ卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=.

(2)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=12,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,组成一个新的等差数列{bn},则bn= ()A.4n-2 B.3n-1C.3n D.2n+1等差数列的判定与证明例2[2025·广州模拟]记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=3a1,且数列{Sn}是等差数列,证明:{an}是等差数列

总结反思判定数列{an}是等差数列的常用方法①定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数.②等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1.③通项公式法:对任意n∈N*,都满足an=pn+q(p,q为常数).④前n项和公式法:对任意n∈N*,都满足Sn=An2+Bn(A,B为常数).变式题(1)[2023·新课标Ⅰ卷]记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:Snn为等差数列,则 (A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件(2)[2025·江苏南通模拟]记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn+1①证明:数列{bn}是等差数列;②求{an}的通项公式.

等差数列性质的应用角度1等差数列项的性质例3(1)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则数列{an}的前20项和等于 ()A.160 B.180 C.200 D.220(2)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1-3b1=4,a6-3b6=9,则a2026-3b2026=.

总结反思在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.变式题[2025·山东泰安模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a5+3a6+2a9=49,则S11= ()A.44 B.33C.66 D.77角度2等差数列前n项和的性质例4(1)[2025·黑龙江鸡西期末]已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若SnTn=3n+4n+2,则A.11113 B.C.11126 D.(2)[2025·全国二卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=6,S5=-5,则S6= ()A.-20 B.-15C.-10 D.-5总结反思1.前n项和的性质:在各项均不为0的等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);②S2n-1=(2n-1)an;③Sk,S2k-Sk,S3k-2.熟练掌握等差数列前n项和的性质是解决此类试题的关键,解题时注意化归与转化思想的合理运用.变式题(1)[2025·江苏南京一调]已知数列{an}为等差数列,前n项和为Sn.若S3=6,S6=3,则S9= ()A.-18 B.-9C.9 D.18(2)已知各项均为正数的等差数列{an}满足a1+a3+…+a2n-1a3+aA.2 B.2024C.1012 D.4048角度3等差数列和的最值例5(1)(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,且S5=S9,则下列说法正确的有 ()A.S7是数列{Sn}中的最大项B.a7是数列{an}中的最大项C.S14=0D.满足Sn>0的n的最大值为13(2)[2025·福州质检]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=-600,当且仅当n=30时Sn取得最小值,则{an}的公差d的取值范围为.

总结反思求等差数列前n项和Sn最值的两种方法:变式题(1)[2025·湖北随州模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn有最小值,若a9a8