全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第37讲等差数列及其前n项和【答案】听课手册

第37讲等差数列及其前n项和●课前基础巩固【知识聚焦】1.an+1-an=daan=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d(n,m∈N*)n(a1+a2.(1)(n-m)d(2)ak+al=am+an(3)md3.(1)dn+a1-d一次函数孤立(2)d2n2+a1孤立【对点演练】1.6[解析]设等差数列{an}的公差为d,则a1+3所以a4=a1+3d=6.2.1[解析]由a2+a4=2a3=6,得a3=3,由S9=9(a1+a9)2=9a5=45,得3.20[解析]设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的距离依次构成首项为4.9,公差为9.8的等差数列,所以4.9t+12t(t-1)×9.8=1960,即4.9t2=1960,可得t=204.5或6[解析]由|a3|=|a9|,得|a1+2d|=|a1+8d|,解得a1=-5d或d=0(舍去),则a1+5d=a6=0,又d<0,所以使前n项和Sn取最大值的正整数n的值是5或6.5.875<d≤325[解析]由题意可得a10>1,a9≤1,6.-10100[解析]设数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20=20×[9+(10-20)]2=-10.令an=0,得n=10,所以当1≤n<10时,an>0,当n>10时,an<0,所以|a1|+|a2|+…+|a20|=(a1+a2+…+a10)-(a11+a12+…+a20)=S10-(S20-S10)=2S●课堂考点探究例1[思路点拨](1)根据已知条件,先求出公差,再结合等差数列的性质,即可求解;(2)由数列的前n项和公式列出关于公差d的方程,求出d,从而利用a7-a4=3d求解即可.(1)B(2)D[解析](1)因为S5=S10,所以S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0,则a8=0,又因为a5=1,所以公差d=a8-a58-5=-13,所以a1=(2)由题意设等差数列{an}的公差为d,因为S55-S22=155a1+5×42d-12(2a1+d)=32d变式题(1)95(2)B[解析](1)设等差数列{an}的公差为d,则a3+a4=2a1+5d=7,3a2+a5=4a1+7d=5,所以a1=-4,d=3,所以S10=10a1+45d=95.(2)设{bn}的公差为d',则b1=2,d'=d4=124=3,所以bn=2+3(n-1)=3n-1.例2[思路点拨]设等差数列{Sn}的公差为d,可用S1,S2求出d,得到{Sn}的通项公式,利用an=Sn-Sn-1可求出{an}的通项公式,从而证明{a证明:设等差数列{Sn}的公差为d,因为a2=3a1,所以S2=a1+a则d=S2-S1=2a1-a1=a1,所以Sn=a1+(n-1)a1=na1,所以当n≥2时,Sn-1=(n-1)2a1②,由①-②得an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1③,n≥2.经检验,当n=1时也满足③,所以an=(2n-1)a1,n∈N*.当n≥2时,an-an-1=(2n-1)a1-(2n-3)a1=2a1,所以数列{an}是等差数列.变式题(1)C[解析]若{an}为等差数列,则设数列{an}的公差为d,可得Sn=na1+n(n-1)2d,则Snn=a1+(n-1)2d,所以Snn为首项为a1,公差为d2的等差数列,即甲是乙的充分条件.反之,若Snn为等差数列,则可设Snn的公差为D,故Snn=S1+(n-1)D,即Sn=nS1+n(n-1)D=na1+n(n-1)D,利用公式an=S1,n=1,Sn-(2)解:①证明:当n=1时,b1=S1,由2b1+1b1=2,解得b当n≥2时,bnbn-1=Sn,代入2Sn+1b所以bn-bn-1=12,所以{bn}是以32为首项,1②由题意得a1=S1=b1=32,由①可得bn=32+(n-1)×12由2Sn+1bn=2,可得S当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1-n所以an=3例3[思路点拨](1)根据等差数列的性质,两式相加得到a1+a20=18,再求S20即可.(2)由已知推出数列{an-3bn}为等差数列,由已知等式求出{an-3bn}的公差d,即可作答.(1)B(2)2029[解析](1)由题得(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=-24+78=54,所以3(a1+a20)=54,所以a1+a20=18,所以S20=202(a1+a20)=10×18=180.故选B(2)因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以数列{an-3bn}也为等差数列,设其公差为d,因为a1-3b1=4,a6-3b6=9,所以5d=a6-3b6-(a1-3b1)=9-4=5,解得d=1,故a2026-3b2026=a1-3b1+2025d=2029.变式题D[解析]因为a1+a5+3a6+2a9=2a5+2a7+3a6=7a6=49,所以a6=7,所以S11=11a6=77.故选D.例4[思路点拨](1)由已知,根据等差数列的性质,把2a6b2(2)思路一:由等差数列前n项和的性质求出a2,a3,进而求出公差d,再利用前n项和公式求解;思路二:由等差数列前n项和的性质知Snn为等差数列,进而求出数列Snn(1)B(2)B[解析](1)因为SnTn=3n+4n+2,所以S11T11=3×11+411+2=3713,又S11T11(2)方法一:因为S3=3a2=6,所以a2=2,因为S5=5a3=-5,所以a3=-1,所以数列{an}的公差d=a3-a2=-3,所以a1=5,所以S6=6a1+15d=6×5-15×3=-15.方法二:因为Sn为等差数列{an}的前n项和,所以Snn为等差数列.设等差数列Snn的公差为d,则S55-S33=2d,解得d=-32,故S66变式题(1)B(2)C[解析](1)易知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以(S9-S6)+S3=2(S6-S3),则S9=3S6-3S3=3×3-3×6=-9.故选B.(2)因为{an}为等差数列,所以a1+a3+…+a2n-1=nan,a3+a5+…+a2n+1=nan+2,则a1+a3+…+a2n-1a3+a5+…+a2例5(1)ACD(2)(24,25)[解析](1)∵S5=S9,∴5a1+5×42d=9a1+9×82d,∴a1=-132d>0,∴d<0,∴an=a1+(n-1)d=-132d+(n-1)d=n-152d,Sn=na1+n(n-1)2d=-132dn+n(n-1)2d=d2(n2-14n).对于A,Sn=d2(n2-14n)=d2[(n-7)2-49],∵d<0,∴当n=7时,Sn取得最大值,∴S7是数列{Sn}中的最大项,故选项A正确;对于B,∵a1>0,d<0,∴等差数列{an}是递减数列,∴数列{an}中的最大项为a1,故选项B错误;对于C,S14=d2(142-14×14)=0,故选项C正确;对于D,∵d<0,∴Sn=d2(n2-14(2)由题意可得,a30<0,a31>0,即-600+24d<0,-600+25变式题(1)C(2)AD[解析](1)因为等差数列{an}的前n项和Sn有最小值,所以a1<0,d>0,所以a9>a8,又a9a8<-1,所以a8<0,a9>0,且a9+a8>0,所以S16=(a1+a16)×162=(a9+a8)×162>0,S15(2)在等差数列{an}中,由a2=-7,a5=-1,得d=2,可得a1=a2-