全品高考备战2027年数学一轮学生用书08第66讲离散型随机变量的分布列、数字特征【答案】听课手册

第66讲离散型随机变量的分布列、数字特征●课前基础巩固【知识聚焦】1.有限个3.x1p1+x2p2+…+xnpnaE(X)+b[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pna2D(X)平均水平离散程度【对点演练】1.0.2[解析]由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得m解得m=n=0.4,故m-n2=0.22.13[解析]由题意可知P(X=0)+P(X=1)=2a+a=1,解得a=13.10.4[解析]因为E(X)=1×0.1+2×0.3+3×0.4+4×0.1+5×0.1=2.8,所以E(3X+2)=3E(X)+2=3×2.8+2=10.4.4.1,2,3,4,5,6,7[解析]因为取到白球时停止操作,所以最少的取球次数为1,即第一次就取到了白球;最多的取球次数是7,即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以随机变量X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.5.37[解析]因为随机变量X的分布列为P(X=i)=k2i(i=1,2,3),所以k21+k22+k23=1,解得k=87,所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=6.121116[解析]由题意知2c2+12c+12c=1,即2c2+c-1=0,即(2c-1)(c+1)=0,可得c=12.E(X)=0×12+1×14+2×14=34,又E(X2)=02×12+12×14+22×14=54,所以D(X)=E(X27.0.0640.096[解析]当X=0时,表示前三次都没有命中,第四次还要射击,但结果不计,所以P(X=0)=0.43=0.064.当X=1时,表示前两次都没有命中,第三次命中,所以P(X=1)=0.6×0.42=0.096.●课堂考点探究例1[思路点拨](1)根据分布列的性质求出a,再根据随机变量之间的函数关系即可求解.(2)首先根据分布列的性质得到p+q=1,然后利用期望公式求出2pq的值,进而可求出结果.(1)712(2)49[解析](1)由分布列的性质可知a+13+5a+16=1,解得a=112.由Y=2X+1≥5,解得X≥2,由表可知P(X≥2)=512+16=7(2)根据分布列的性质可知p+q=1,所以(p+q)2=p2+q2+2pq=1.因为E(X)=pq+pq=2pq=59,所以p2+q2=1-59=变式题(1)A(2)516[解析](1)由题意,因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.又a+b+c=1,所以b=13,则P(|X|=1)=a+c=23,a=13-d,c=13+d.根据分布列的性质,得0≤13-d≤23,0≤13+d≤23(2)因为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),所以a2+a6+a12+a20=1,故a=54,所以P54<X<134=P(例2[思路点拨](1)首先利用分布列的性质得b的值,然后根据E(12X+2)=9利用期望公式求得a的值,最后根据方差公式计算D(2X+3)的值.(2)根据给定条件,计算数学期望和方差并比较大小.(1)D(2)A[解析](1)依题意得16+b+14+14=1,解得b=13.由E(12X+2)=9,得12E(X)+2=9,解得E(X)=712,则E(X)=-1×16+0×13+a×14+2×14=712,解得a=1,故D(X)=16-1-7122+130-7122+141-7122+142-7(2)依题意得E(X1)=1×p1+0×(1-p1)=p1,E(X2)=1×p2+0×(1-p2)=p2,则E(X1)<E(X2).D(X1)=(1-p1)2p1+p12(1-p1)=p1(1-p1),同理可得D(X2)=p2(1-p2),因为0<p1<p2<12,所以D(X1)-D(X2)=(p1-p2)(1-p1-p2)<0,所以D(X1变式题(1)D(2)1.6[解析](1)由题意知E(X)=1×13+a3+2×13=1+a3,D(X)=1+a3-12×13+1+a3-a2×13+1+a3-22×13(2)由题意知0.2+a+b=1,0×0.2+a+2b=1,解得a=0.6,b=0.2,所以D(X)=(0-1)2例3[思路点拨](1)用频率估计概率即可求解;(2)利用独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的分布列,从而可求其期望;(3)根据题设可分别得关于p1,p2的方程,求出其解后可得p1与p2的大小关系.解:(1)用频率估计概率,从甲校随机抽取1人,这个人做对该题目的概率为80100=0.8(2)设A=“从甲校抽取1人做对”,则P(A)=0.8,P(A)=0.2,设B=“从乙校抽取1人做对”,则P(B)=0.75,P(B)=0.25,设C=“恰有1人做对”,故P(C)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35.X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=P(AB)=0.8×0.75=0.6,所以X的分布列为X012P0.050.350.6故E(X)=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55.(3)设D=“甲校学生掌握该知识点”,因为若甲校同学掌握这个知识点,则有100%的概率做对该题目,未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,所以P(D)+14[1-P(D)]=0.8,即p1+14×(1-p1)=0.8,解得p1=同理有0.85p2+14×(1-p2)=0.75,解得p2=56,故p1<p变式题解:(1)记事件A=“员工所获得的红包数额不低于90元”,事件B=“取到面值为60元的球”,因为球中有2个所标面值为40元,1个为50元,1个为60元,所以P(A)=C21·又P(AB)=C31C42=36=12,所以P(B|A(2)设X为员工所获得的红包数额,则X的可能取值为80,90,100,110,且P(X=80)=1C54=15,P(X=90)=1C54=15,P(X=100)=2C54=25,P(X=110)=1C54=15,所以E(X)=80×15+90×15+100×25+110×15=96,D例4[思路点拨](1)根据对立事件的求法和相互独立事件的乘法公式即可得到答案.(2)(i)首先分别计算出甲、乙参加第一阶段比赛时,甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率P甲,P乙,再作差因式分解即可判断;(ii)先分别求出甲、乙参加第一阶段比赛时,所在队的比赛成绩的所有可能取值,按步骤列出分布列,计算出各自的期望,再作差比较大小即可.解:(1)若甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲在第一阶段比赛中至少投中1次,乙在第二阶段比赛中也至少投中1次,∴甲、乙所在队比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686.(2)(i)若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率P甲=[1-(1-p)3]q3,若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率P乙=[1-(1-q)3]p3.P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=3pq(p-q)(pq-p-q),∵0<p<q<1,∴pq>0,p-q<0,pq-p-q<0,∴P甲-P乙>0,得P甲>P乙,∴应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲参加第一阶段比赛,记甲、乙所在队的比赛成绩为X,则X的所有可能取值为0,5,10,15,P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3,P(X=5)=[1-(1-p)3]C31q·(1-q)2,P(X=10)=[1-(1-p)3]C32q2·(1-q),P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,∴E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2若乙参加第一阶段比赛,记甲、乙所在队的比赛成绩为Y,则Y的所有可能取值为0,5,10,15,同理可得E(Y)=15(q3-3q2+3q)·p.∵E(X)-E(Y)=15pq(p-q)(p+q-3)>0,∴应该由甲参加第一阶段比赛.变式题解:(1)(i)记事件A=“当天处于安静环境”,则A=“当天处于嘈杂环境”,记事件B=“测试结果为语音识别成功”,则P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=0.3×0.9+0.7×0.6=0.69.(ii)P(A|B)=P(P(B|A)(2)设方案一和方案二的测试次数分别为X,Y,则X的可能