北师大版八年级数学下册《5.3分式方程-分式方程的应用》专项练习题（附答案解析）

第页北师大版八年级数学下册《5.3分式方程—分式方程的应用》专项练习题（附答案解析）一、行程问题1．春运期间，某列动车平均提速120km/h．该动车在提速前行驶1000km和提速后行驶1600km的时间相同，求提速前该动车的平均速度是多少？2．已知甲、乙两车分别从相距290km的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多10km．甲车行驶240km(1)求甲、乙两车的速度；(2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢10km/h3．小李从家出发去相距4.5km(1)求小李上班步行的速度和骑自行车的速度．(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5km4．甲、乙两辆汽车从A地出发沿同一公路开往距离A地420 km的B地，甲车的平均行驶速度是x km/h，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多(1)若甲车和乙车同时出发，甲车到达B地用时_____h，乙车到达B地用时_____h，甲车用时是乙车用时的_____倍；(2)若甲车先行60 km，乙车再出发，结果两车同时到达B(3)若甲车和乙车同时出发，甲车行驶了a km（0<a<35）后发现遗漏了行李，立即原速返回A地，取得行李后立即掉头以原来平均行驶速度的1.2倍赶往B地（取行李、掉头的时间均忽略不计），结果两车同时到达B地．则甲车的平均行驶速度是_____km/h．（用含a5．“苏超”期间，为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检，在巡检时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责A段线路的巡检，乙无人机负责B段线路的巡检，已知A段线路单程长60km，B段线路单程长50km，甲无人机与乙无人机的平均巡航速度比是(1)若乙无人机完成B段线路往返巡检的时间比甲无人机完成A段线路往返巡检的时间多0.5h(2)若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的巡航速度较（1）中的速度提升了a%，甲无人机速度不变，求a二、工程问题6．某智能手机代工厂接到生产300万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前27．某村种植合作社共需要采摘茶叶24吨，村民采摘4吨后，政府组织一批志愿者服务队加入一起采摘，已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的1.5倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天．(1)求村民每天采摘茶叶多少吨；(2)已知合作社每天需要支出村民劳务费2000元，志愿者服务队不需要支出劳务费，只需要每天支出饮食费500元，那么志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？8．某盘山公路全长32km，其中上坡路段长21km，其余为下坡路段．周末，一位自行车爱好者进行骑行体验，他骑完全程共用了4h(1)求该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度；(2)若建设这条公路时，某工程队承接了其中3000m路段的建设任务，该工程队在完成6009．某县要修一条通往市区的快速通道，招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天需付甲队工程款4万元，付乙队工程款3万元．现有三种施工方案：（Ⅰ）由甲队单独完成这项工程，恰好如期完工；（Ⅱ）由乙队单独完成这项工程，比规定工期多12天；（Ⅲ）由甲、乙两队∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗，剩下的由乙队单独做，也正好能如期完工．方案（Ⅲ）中“∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗”部分被损毁了．小聪同学设规定工期为x天．依题意列出方程：10×1(1)请将方案（Ⅲ）中“∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗”的部分补充出来；(2)三种施工方案中，哪种方案既能如期完工，又能节省工程款？说明你的理由．10．在某段高速公路修建中需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的1.5倍，若甲、乙两个工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要5天．(1)乙工程队单独完成此项工程需要多少天？(2)经预算甲工程队每天的施工费用是7000元，乙工程队每天的施工费用是4000元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少？三、销售问题11．某商家预测某种水果能够畅销，就用6000元购进了一批这种水果，上市后销售非常好，商家又用14000元购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克进价多了5元．该商家第一批购进这种水果多少千克？12．为助力乡村振兴，山西省出台政策：对农产品网络销售额2万元以上且快递单量达1000单以上的经营主体给予补助．某农产品生产合作社在网络上销售小米，原计划达到2万元的销售额，在实际销售时，每单降价2元，结果销售量变成原计划的6513．某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元．(1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价；(2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？14．2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售．(1)若购进甲型机器人3台，乙型机器人2台，共耗资2.1万元；若购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共耗资2.5万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？(2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入12万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低a万元，乙型号机器人的进价每台降低0.8a万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的25，求a15．列方程解下列问题：“辉煌九秩，筑梦百年”，在建校90周年之际，九年级学生君君制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知1m2材料可制作10个礼盒或50张礼卡，她现有(1)该同学可制作多少件工艺品？(2)首批工艺品投入使用后广受好评，学校计划从企业定制“日新”、“月异”两款书签回馈校友.已知每个“月异”款书签比每个“日新”款书签少0.2元，用4500元购进“月异”款书签的数量，比用4000元购进“日新”款书签的数量多20%四、和差倍分问题16．某校九一、九二为灾区捐款．九一班长说：“我们班捐款1200元，我们班人数比你们班多8人．”九二班长说：“我们班捐款也1200元，我们班比你们班人均捐款多20%．”请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数．17．随着新能源汽车使用的日益普及，某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，本次购买单枪充电桩花费5万元，双枪充电桩花费4.5万元，已知双枪充电桩单价是单枪充电桩单价的1.5倍，若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价．18．随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共1900kg，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少200kg．(1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？(2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的1.2倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？19．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花．(1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天；(2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克．20．【调查活动】小超同学为了完成老师布置的社会活动作业：《岳阳市初中生阅读水平的现状》，随机走访了岳阳市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：①甲、乙两校图书室各藏书18000册；②甲校比乙校人均图书册数多2册；③甲校的学生人数比乙校的人数少10%【交流质疑】小超把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小超同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究．【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”中任选一个，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．参考答案与解析1．200【分析】设提速前该动车的平均速度为xkm/h，根据“该动车在提速前行驶1000km和提速后行驶1600km【详解】解：设提速前该动车的平均速度为x依题意，得：1000解得：x=200经检验：x=200是原方程的解，且符合题意．答：提速前该动车的平均速度为200km/h2．(1)甲的速度为100km/h，乙的速度为(2)共有2次相遇，第一次相遇时间为出发后2h，第二次相遇时间为出发后【分析】（1）设乙车速度为未知数，根据时间相等的条件，结合行程问题中时间=路程÷速度的关系，列分式方程求解即可得到甲乙两车的速度；（2）分情况讨论相遇情况，第一次为出发后相向而行的相遇，根据路程和等于总路程求时间；再计算甲车到达B地后返回，转化为追及问题，计算第二次相遇的时间，判断没有第三次相遇，最终得到结果．【详解】（1）解：设乙车的速度是xkm/h，则甲车的速度是根据题意，得240解得x=45经检验，x=45是原方程的根2x+10=100答：甲车的速度是100km/h，乙车的速度是45（2）解：设从出发开始经过t小时相遇，分情况讨论：当甲乙第一次迎面相遇时，两人路程和为290可得100t+45t=290解得t=2，符合行驶条件，即第一次相遇在出发后2小时计算甲车从A到B的总时间为290100=2.9(h)，即此时乙车行驶的路程为45×2.9=130.5(km)，乙车还未到达甲车返回时速度为100−10=90(设从出发到第二次相遇的时间为tt>2.9，以A为原点建立位置关系，甲车的位置为290−90(t−2.9)，乙车的位置为290−45t，相遇时位置相等因此290−90(t−2.9)=290−45t化简得45t=261解得t=乙车到达A地的总时间为290因此t=295符合题意，即第二次相遇在出发后乙到达A地前，甲车已经返回到达A地，之后两车停止运动，没有第三次相遇．答：共有2次相遇，第一次相遇时间为出发后2h，第二次相遇时间为出发后293．(1)小李上班步行的速度为6km/h，骑自行车的速度为(2)小李跑步的速度至少为6【分析】（1）设小李上班步行的速度为xkm/h，则骑自行车的速度为1.5x（2）先求出小李骑自行车出发1.5km所用的时间，从而得出从出发到上班所用的时间，设小李跑步的速度为m【详解】（1）解：设小李上班步行的速度为xkm/h，则骑自行车的速度为1.5x由题意，得4.5解得x=6．经检验，x=6是原分式方程的解则1.5x=9．答：小李上班步行的速度为6km/h，骑自行车的速度为9（2）解：小李骑自行车出发1.5km所用的时间为1.5÷9=因为小李每天出发的时间都相同所以从出发到上班所用的时间为4.5÷9+10÷60=2设小李跑步的速度为mkm/h由题意，得1.5+解得m≥6．答：小李跑步的速度至少为6km/h4．(1)420(2)甲车的平均行驶速度60km/h(3)1750+10a【分析】本题考查列代数式，分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）由题意得到乙车的平均行驶速度为x+10km/h，利用时间=路程÷（2）根据两车同时到达B地，列出分式方程求解即可；（3）由题意得甲车所用时间为2a+350xh，乙车所用时间为42010+x【详解】（1）解：由题意得到乙车的平均行驶速度为x+10则甲车到达B地用时420xh，乙车到达B甲车用时是乙车用时的420x故答案为：420x（2）解：由题意得420−60x=解得x=60经检验，x=60是原分式方程的解答：甲车的平均行驶速度是60km/h（3）解：由题意得甲车所用时间为：ax+则2a+350解得：x=经检验，x=1750+10a35−a是原分式方程的解，即甲车的平均行驶速度是故答案为：1750+10a35−a5．(1)甲无人机的平均巡航速度为60km/h，乙无人机的平均巡航速度为(2)25【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．（1）设甲无人机的平均巡航速度为3xkm/h，乙无人机的平均巡航速度为2x（2）得出乙无人机的平均巡航速度为40×1+a【详解】（1）解：设甲无人机的平均巡航速度为3xkm/h，乙无人机的平均巡航速度为2xkm/h，50×2解得x=20经检验，x=20是原分式方程的解，并符合题意∴3×20=60∴甲无人机的平均巡航速度为60km/h，乙无人机的平均巡航速度为40（2）解：乙无人机的平均巡航速度为40×∴50×2解得a=25经检验a=25是原分式方程的解，并符合题意∴a的值为25．6．每月实际生产智能手机75万部．【分析】设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机1+50%x万部，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前【详解】解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机1+50%根据题意得：300解得：x=50经检验，x=50是原方程的解，且符合题意则1+50答：每月实际生产智能手机75万部．7．(1)0.8吨(2)25000元【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数混合运算的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．（1）设村民每天采摘茶叶x吨，则志愿者服务队每天采摘1.5x吨，根据题意列出方程，求出x的值即可解答；（2）先求出志愿者服务队采摘的时间，再分别计算志愿者服务队加入前预计支付的费用、志愿者服务队加入后实际支付的费用，两者相减即可得出答案．【详解】（1）解：设村民每天采摘茶叶x吨，则志愿者服务队每天采摘1.5x吨根据题意，得4解得x=0.8经检验：x=0.8是方程的解，且符合题意答：村民每天采摘茶叶0.8吨；（2）解：志愿者服务队采摘的时间为15−42000×24答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省25000元．8．(1)该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度为7(2)该路段的工程原计划每天完成200【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系求解．（1）设该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度为xkm/h，则下坡路段骑行的平均速度为11（2）设该路段的工程原计划每天完成ym【详解】（1）解：设该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度为xkm/h根据题意，得21解得x=7．经检验，x=7是原分式方程的解，且符合题意．答：该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度为7km（2）解：设该路段的工程原计划每天完成ym根据题意，得3000解得y=200．经检验，y=200是原分式方程的解，且符合题意．答：该路段的工程原计划每天完成200m9．(1)合作10天(2)方案（Ⅲ）既能如期完工，又能节省工程款；理由见解析【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是关键．（1）由已知，规定工期为x天，则乙队单独完成这项工程需要x+12天，甲的工作效率是1x，乙的工作效率是1x+12，所以（2）先解分式方程10×1x+【详解】（1）解：由已知，规定工期为x天，则乙队单独完成这项工程需要x+12天，甲的工作效率是1x，乙的工作效率是所以10×1x+1x+12所以方案（Ⅲ）中“∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗”的部分应为：合作10天；（2）解：方案（Ⅲ）既能如期完工，又能节省工程款．理由：解分式方程10×得x=60经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意所以方案（Ⅰ）需要的工程款为：4×60=240（万元）；方案（Ⅱ）不能如期完工，舍去；方案（Ⅲ）需要的工程款为：4×10+3×60=220（万元）<240（万元）；所以方案（Ⅲ）既能如期完工，又能节省工程款．10．(1)45天(2)198000元【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用．（1）设甲工程队需要x天，则乙工程队需要1.5x天，甲、乙两个工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要5天，找相等关系列方程求解；（2）设两个工程队合作完成这项工程需要y天，列方程求出工作的天数，再根据甲、乙两个工程队的费用求出打通这条隧道的施工费用．【详解】（1）解：设甲工程队需要x天，则乙工程队需要1.5x天根据题意可得：15解得：x=30经检验，x=30是分式方程的解∴甲工程队单独施工需要30天∴1.5x=30×1.5=45天答：乙工程队单独完成此项工程需要45天；（2）解：设两个工程队合作完成这项工程需要y天根据题意可得：1解得：y=1818×7000+18×4000=198000(元)答：两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是198000元．11．200千克【分析】设该商家第一批购进这种水果x千克，则第二批购进这种水果2x千克，根据第二批每千克进价比第一批的进价多了5元，列出方程进行求解即可.【详解】解：设该商家第一批购进这种水果x千克，则第二批购进这种水果2x千克根据题意，得14000解得x=200经检验：x=200是原方程的解，且符合题意；答：该商家第一批购进这种水果200千克.12．14元【分析】设实际销售时每单的价格为x元，根据“实际销售量是原计划的65【详解】解：设实际销售时每单的价格为x元，则原计划销售时每单的价格为x+2元根据题意，得20000+1000解得x=14经检验，x=14是原方程的解答：实际销售时每单的价格为14元．13．(1)2.2元(2)购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时总费用最少，最少总费用为335元【分析】（1）设第一批向日葵花苗的单株进价为x元，则第二批向日葵花苗的单株进价为(x+0.2)元，根据用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，列出分式方程进行求解即可；（2）设购进向日葵花苗m株，购买总费用为W元，则购进月季幼苗(200−m)株，根据月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍，列出不等式，求出m的范围，根据总费用是两种幼苗的费用之和列出一次函数解析式，利用性质求最值即可.【详解】（1）解：设第一批向日葵花苗的单株进价为x元，则第二批向日葵花苗的单株进价为(x+0.2)元，由题意，得：3×200解得x=2经检验x=2是原分式方程的解，符合题意；则第二批单株进价为x+0.2=2.2（元）；答：该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元；（2）解：设购进向日葵花苗m株，购买总费用为W元，则购进月季幼苗(200−m)株，由题意，得：200−m≤3m，解得m≥50；∵W=2.2m+1.5(200−m)=0.7m+300∴W随m的增大而增大∴当m=50时，W取得最小值=0.7×50+300=335200−m=150（株）答：购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元.14．(1)甲型机器人的每台进价为0.5万元，乙型机器人的每台进价为0.3万元(2)a的值为0.25【分析】（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为x、y万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可；（2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可．【详解】（1）解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为x、y万元根据题意得：3x+2y=2.1解得：x=0.5答：甲型机器人每台的进价为0.5万元，乙型机器人每台的进价为0.3万元．（2）解：根据题意得：12解得：a=0.25检验：当a=0.25时0.5−a∴a=0.25是原分式方程的解且符合题意．答：a的值为0.25．15．(1)50件(2)3元【分析】（1）制作礼盒用xm2材料，制作礼卡用x+y=810x=（2）设每个“月异”款书签的价格为y元，则每个“日新”款书签的价格为y+0.2元，根据题意，得4000y+0.2【详解】（1）解：制作礼盒用xm2材料，制作礼卡用x+y=8解得x=5故10x=50故该同学可制作50件工艺品；（2）解：设每个“月异”款书签的价格为y元，则每个“日新”款书签的价格为y+0.2元，根据题意，得4000整理，得4800解得y=3经检验，y=3是原方程的根；故每个“月异”款书签的价格是3元．16．九（1）班人均捐款为25元，九（2）班人均捐款为30元【分析】设九一班的人均捐款数为x元，则九二班的人均捐款数为1+20%x元，得到方程：【详解】解：设九一班的人均捐款数为x元，则九二班的人均捐款数为1+20%根据题意，得1200解得：x=25经检验，x=25是原方程的解九二班的人均捐款数为：1+20%答：九一班人均捐款为25元，九二班人均捐款为30元．17．单枪充电桩单价为2500元，则双枪充电桩单价为3750元【分析】根据题意，假设单枪充电桩单价为x元，则双枪充电桩单价为1.5x元，列出分式方程求解即可．【详解】解：假设单枪充电桩单价为x元，则双枪充电桩单价为1.5x元根据题意，得方程50000化简得20000解得x=2500经检验，x=2500是分式方程的解则1.5x=3750答：单枪充电桩单价为2500元，则双枪充电桩单价为3750元．18．(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食(2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键．（1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了1900−x千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少200kg建立方程求解即可；（2）