2025-2026学年北京市顺义区第一中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市顺义区第一中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。1.已知随机变量X的分布列如表：（其中a为常数）X012345P0.20.1a0.30.20.1则P（1≤X≤3）等于（）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.72.已知数列{an}的前n项和，则a3=（）A.16 B.32 C.48 D.643.从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（）A.50 B.70 C.80 D.1404.若曲线y=f（x）在某点（x0，f（x0））处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（）A. B.y=sinx C.y=xex D.y=x+lnx5.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（）A. B. C. D.6.在“五一”假期，小铭买了1本计算机书，1本文艺书，1本体育书，2本不同的数学书.打算把它们放在同一层书架上，两本数学书放在一起，不同的摆放种数有（）A.48 B.96 C.120 D.2407.已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是A.－84 B.－14 C.14 D.848.已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.f（x1）＞f（x3）

B.x2是极大值点

C.f（x）的图象在点x=x1处的切线的斜率等于0

D.f（x）在区间（a,b）内一定有2个极值点9.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（）A. B. C. D.10.若函数f（x）=2x2-ax+2lnx在（1，2）上有最小值，则实数a的取值范围为（）A.（0，3） B.（6，9）

C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.数列{an}的前n项和为Sn，若an=，则S5=______．12.若函数f（x）=x3+ax2+2在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是

．13.已知多项式，则a1=

；a2+a3+a4=

.14.已知a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组a1，a2，a3的值依次为

.15.已知函数给出下列四个结论：

①存在实数a,使得函数f（x）的最小值为0

②存在实数a＜0，使得函数f（x）的最小值为-1

③存在实数a,使得函数f（x）恰有2个零点

④存在实数a,使得函数f（x）恰有4个零点

其中所有正确结论的序号是

.三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知（）n（n∈）的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36．

（1）求n的值；

（2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项．17.(本小题14分)

某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.

（Ⅰ）设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；

（Ⅱ）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望.18.(本小题14分)

在等差数列{an}中，a2=6，a4=14.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若{bn-an}是公比为2的等比数列，b1=6，求数列{bn}的通项及前n项和Sn.19.(本小题14分)

某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：

男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；

女生：5，5，6，7，8，9，11，13.

假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立.

（Ⅰ）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；

（Ⅱ）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记X为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；

（Ⅲ）现增加一名女生A得到新的女生样本.记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为.若女生A的阅读量为8本，写出方差与的大小关系.（结论不要求证明）20.(本小题14分)

已知函数.

（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；

（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；

（3）若对于任意的x∈[2，+∞），有f（x）≥0，求a的取值范围.21.(本小题15分)

已知各项均为正整数的有穷数列An：a1，a2，⋯，an（n＞3）满足∀1≤i＜j≤n,有ai≠aj，若an等于ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数，则称数列An具有性质P.

（Ⅰ）判断下列数列是否具有性质P，并说明理由；

①A4：3，1，7，5；

②A5：2，4，6，8，10.

（Ⅱ）已知数列A7：2，4，6，8，10，12，m具有性质P，求出m的所有可能取值；

（Ⅲ）若一个数列A2026：a1，a2，⋯，a2026具有性质P，则a2026是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】

12.【答案】[-，+∞）

13.【答案】510．

14.【答案】1，-2，4（答案不唯一）

15.【答案】①③

16.【答案】解：（1）由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为，

+=n+=36，

∴n2+n-72=0，n=8或n=-9（舍去）．

（2）（）n=（）8的通项公式为：

​​​​​​​Tr+1=•（-2）r•，

令4-=，求得r=1，

故展开式中含的项为T2=-16．

又由n=8可知，第5项的二项式系数最大，此时T5=1120x-6.

17.【答案】（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4．

，

，

，

．

∴ξ分布列为：

（Ⅱ）∵，∴

由题意可知η=2300-100ξ

∴Eη=2300-100Eξ=2300-200=2100元

18.【答案】解：（1）设公差为d,则a4-a2=2d=8，解得d=4，

则a2=a1+4=6，所以a1=2，

所以；

（2）b1-a1=4，

因为{bn-an}是公比为2的等比数列，

所以，

所以，

所以

=．

19.【答案】解：（Ⅰ）共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本，

所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为；

（Ⅱ）由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为，

从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为，

由题设，X的可能取值为0，1，2，

且，

，

，

所以X的分布列为：

X

0

1

2

P

X的数学期望；

（Ⅲ）．

理由：设原女生的8个阅读量分别为xi，i∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，

原女生阅读量的平均数为，新增一名女生后，平均数依然为8，

则，

所以．

20.【答案】x+y+2=0；

当0＜a＜e时，f（x）在（-∞，lna）和（1，+∞）上递增，在（lna，1）上递减；

当a=e时，f（x）在（-∞，+∞）上递增；

当a＞e时，f（x）在（-∞，1）和（lna，+∞）上递增，在（1，lna）上递减；

（-∞，e2]．

21.【答案】①具有，②不具有，理由如下