2025-2026学年河北省石家庄市实验中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省石家庄市实验中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若一个四位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的四位数个数为（）A.10 B.12 C.15 D.202.若，则n=（）A.4 B.5 C.6 D.73.函数y=x3-3x2-9x（-2＜x＜2）有（）A.极大值5，极小值-27 B.极大值5，极小值-11

C.极大值5，无极小值 D.极小值-27，无极大值4.小明计划从福建到北京旅游，沿途要经过上海中转，已知小明从福建到上海有3种出行方式，从上海到北京有4种出行方式，则小明从福建到北京的出行方式有（）A.6种 B.7种 C.12种 D.18种5.已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A. B.

C. D.6.若将一块体积为8π的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱的表面积最小为（）A. B. C. D.7.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），且当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0，则不等式（x-2024）2f（x-2024）-f（-1）＜0的解集为（）A.（-∞，2025） B.（2023，2025）

C.（-∞，2025）∪（2023，+∞） D.（-∞，2023）∪（2025，+∞）8.已知函数，若不等式f（x）-a（x+1）＞0的解集中有且仅有一个整数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列求导运算正确的是（）A. B.

C. D.10.已知函数f（x）=x3-3x2+1，则（）A.f（x）在（0，2）上单调递减 B.f（x）的极大值为1

C.方程f（x）=-4有两解 D.曲线y=f（x）经过四个象限11.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件A，B存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（）A.第二天去室内健身的概率为

B.第二天去户外运动的概率为

C.若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为

D.若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf'（2）+ex，则f（2）的值等于

.13.若5名学生报名参加数学、物理、化学3个培优小组，每人选报1组，则不同的报名方式有

种.14.拟从5名班干部中选若干人在周一至周五期间值班（每天只需1人值班），要求同一名班干部不连续值班2天，则可能的安排方法有

种.（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛.某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单.

（Ⅰ）一共有多少种不同的出场阵容？

（Ⅱ）若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？16.(本小题15分)

为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统M，该系统内置n（n∈N*，n≥4）个智能识别模块.每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立.

（1）该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了100个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下2×2列联表：正常工作故障合计日常校园环境50555高温潮湿仓库环境351045合计8515100请根据小概率值α=0.01独立性检验，能否认为模块工作状态与测试环境有关联？

附：，n=a+b+c+d.P（χ2≥k）0.050.010.001k3.8416.63510.828（2）当n=4时，系统M中正常工作的模块个数为随机变量X，回答以下问题：

（i）求X的分布列及数学期望E（X）；

（ii）若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善n=4时系统M的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即n=5）提高系统M的可靠性？请给出你的结论并证明.17.(本小题15分)

已知函数f（x）=x2-alnx+1（a∈R）.

（1）讨论函数f（x）在（0，1]上的单调性；

（2）若-2≤a＜0，任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m|-|恒成立，求实数m的取值范围.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=sinx-xcosx+ax,x∈（0，π）.

（1）若a=0，求曲线y=f（x）在点处的切线方程；

（2）若f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若a=-1，证明：f（x）在（0，π）上有且只有一个零点.19.(本小题17分)

已知t∈R，函数f（x）=etx-ex，g（x）=lnx-tx+1．

（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求t的取值范围；

（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有两个正实数根x1，x2（x1＜x2）．

（ⅰ）求t的取值范围；

（ⅱ）证明：f′（x1）+f′（x2）+g′（x1）+g′（x2）＞0．

（注：e=2.71828…是自然对数的底数）

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】-8-2e2

13.【答案】243

14.【答案】1280

15.【答案】解：（I）出场阵容可以分两步确定：第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有=20种，

第2步，从剩下的3名运动员中选出2人参加男双比赛，共有C=3种，

则不同的出场阵容数量为20×3=60种．

（II）队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案，

第1类方案是队员A不参加任务比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出2人分别参加前两场单打比赛，共有A=12种，

第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成：

第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种：

第2步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种：

第3步，从剩下的3名队员中，选出2人参加男双比赛，共有C=3种，

根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有2×4×C=24种，

根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容数量为N=12+24=36种．

16.【答案】认为模块工作状态与测试环境无关联

（i）X的分布列为；E（X）=3；（ii）能，证明如下：

当n=5时记系统M中正常工作的模块数为随机变量Y，则，

记n=4时系统M的可靠性为P1，记n=5时系统M的可靠性为P2．

故，

P2=P（Y=3）+P（Y=4）+P（Y=5）

=

=，

故，

故增加一个模块即n=5，能提高系统M的可靠性

17.【答案】解：（1）依题意可知：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

f′（x）=x-=，

当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，

故f（x）在（0，1]单调递增；

当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞；由f′（x）＜0得0＜x＜；

①0＜a＜1时，f（x）在（0，）递减，在（，1]递增，

②a≥1时，f（x）在（0，1]单调递减；

综上可得，当a≤0时，f（x）在（0，1]上单调递增，

当0＜a＜1时，f（x）在（0，）递减，在（，1]递增，

当a≥1时，f（x）在（0，1]上单调递减．

（2）因为-2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，

不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f（x1）-f（x2）|≤m|-|，

可化为f（x2）+≤f（x1）+，

设h（x）=f（x）+=x2-alnx+1+，则h（x1）≥h（x2），

所以h（x）为[1，2]上的减函数，

即h′（x）=x--≤0在[1，2]上恒成立，

等价于m≥x3-ax在[1，2]上恒成立，

设g（x）=x3-ax，则m≥g（x）max，

因-2≤a＜0，所以g′（x）=3x2-a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，

所以g（x）max=g（2）=8-2a≤12（当且仅当a=-2时等号成立），

所以m≥12，即m的取值范围是[12，+∞）．

18.【答案】；

[0，+∞）；

证明见解析．

19.【答案】解：（Ⅰ）法一：考虑x＞0即可，得etx≥ex，得tx≥1+lnx，，

令，则φ'（x）=0，x=1，

函数y=φ（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，又，

所以t≥φ（x）max=φ（1）=1．

法二：由题意知，考虑x＞0即可，f'（x）=tetx-e，

当t≤0时，f'（x）＜0，f（2）=e2t-2e＜0，矛盾，舍去；

当0＜t＜e时，f'（x）=0，得，

于是f（x）在递减，在递增，则，

得，得1≤t＜e，

当t≥e时，f'（x）=tetx-e≥0，于是f（x）在（0，+∞）递增，所以f（x）＞f（0）=1≥0，

所以当t≥e时，所以恒有f（x）≥0，综上所述，t≥1．

法三：由题意得etx≥ex，考虑x＞0，过原点作y=etx的切线，设切点（x0，y0），

则，又，得，

所以tx0=1，得，又题意知te≥e，得t≥1．

法四：由题意知，令x=1，则et-e≥0，所以t≥1．

下证：当t≥1时，etx-ex≥0．由于g（t）=etx-ex在xt≥1递增，

所以欲证etx-ex≥0，只需证ex-ex≥0，

令G（x）=ex-ex，则G'（x）=ex-e，

令G'（x）=0，则x=1，函数G（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增，

故G（x）≥G（1）=0，证毕．

（Ⅱ）（i）令F（x）=f（x）-g（x）有两零点x1，x2，

令f（x）-g（x）=0，etx-ex-lnx+tx-1=0，

etx+tx=ex+lnex，etx+tx=elnex+lnex，

由y=ex+x在R上递增，则tx=lnex，

所以上述等价于tx=1+lnx有两零点x1，x2，

于是，由（1）知，令，

则φ'（x）=0，x=1，y=φ（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，

又，所以0＜t＜1．

另：考虑x＞0，由f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），

令f（x）=0，得etx=ex，得tx=1+lnx，此时等价于g（x）=0，

所以f（x）=0等价于g（x）=0，

于是，由（1）知，令，

则φ'（x）=0，x=1，函数y=φ（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，

又，

所以t的取值范围为（0，1）．

（ii）法一：证明：由（i）知，已知等价于tx=1+lnx有两个零点x1x2，

于是lnx1+1=tx1，lnx2+1=tx2，所以．

欲证f'（x1）+f'（x2）+g'（x1）+g'（x2）＞0，只需证

只需证，消t得，

一方面，下证：，等价于证明，

令，则等价于证明，等价于证明，

令，则，所以F（μ）在（1，+∞）递