2025-2026学年湖南省长沙市铁路第一中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省长沙市铁路第一中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.集合的子集个数为（）A.16 B.32 C.64 D.1282.已知复数z=，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知函数f（x）=sinx+ex-e-x+1，则f（1）+f（-1）=（）A.0 B.1 C.2 D.44.若，且tanα=3tanβ，则sin（α-β）=（）A. B. C. D.5.已知两个非零向量，满足，，则=（）A. B. C. D.6.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（）A. B.y=cos2x

C. D.y=-sin8x7.已知正数a,b满足，则的最小值为（）A.17 B.21 C.25 D.298.若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（）A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形

C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.函数的图象（）A.关于原点对称 B.关于y轴对称 C.在R上单调递增 D.在R上单调递减10.若平面向量，，其中n,m∈R，则下列说法正确的是（）A.若，则

B.若在上的投影向量为（2，4），则m+n=8

C.若n=1，且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围为（-2，2）∪（2，+∞）

D.若，则z=2m+4n的最小值为211.如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N分别是AD，CC1的中点，P是线段AB上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面PMN截正方体所得的截面可能是五边形

B.△MPN一定是锐角三角形

C.当点P与A点重合时，平面PMN截正方体所得的截面面积为

D.|MP|+|NP|的最小值是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设复数z1，z2满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，则=

.13.已知奇函数f（x）的周期为2，且当x∈（1，2）时，f（x）=2x+1，则=

.14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台甲、乙的母线长分别为2（r2-r1），3（r2-r1），则圆台甲与乙的体积之比为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知sinC=cosB，a2+b2-c2=.

（1）求B；

（2）若△ABC的面积为3+，求c.16.(本小题15分)

已知函数.

（1）求函数y=f（x）的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图像；

（2）求函数y=f（x）的最大值、最小值及相应的x的值；

（3）若，求函数y=f（x）的取值范围.17.(本小题15分)

如图，在等腰三角形ABC中，AC=CB=2AB，D，E分别为边AC，BC上靠近A，B的四等分点，将△DEC沿DE翻折至△PDE，使得平面PAB⊥平面ADEB，O，M分别是AB，PE的中点.

（1）求直线PE与平面ADEB所成角的正弦值；

（2）求证：OE⊥BM；

（3）求二面角A-PE-O的余弦值.18.(本小题15分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且sin2B+sin2C+cos2A=1.

（1）求角A；

（2）若bc=6，设点P为△ABC的费马点，求；

（3）设点P为△ABC的费马点，求的最小值.19.(本小题17分)

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是CC1，A1D1上的点，且CE=1，A1F=2.

（1）求直线A1B与EF所成角的余弦值.

（2）设G是线段EF上的动点（含端点）.

（i）判断三棱锥G-A1BD的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值.

（ii）当CG∥平面A1BD时，求的值.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】AD

12.【答案】1．

13.【答案】-4．

14.【答案】

15.【答案】解：（1）因为+-=ab，所以由余弦定理得C===，

而C(0,)，因此C=.

又因为C=B，所以=B，即=B，解得B=，

而B(0,)，因此B=.

（2）由（1）知：B=，C=，因此A=-B-C=--=.

因为ABC的面积为3+，所以abC=3+，即ab=3+，解得.

又因为由正弦定理得，，所以，

即，

即，解得（舍去）.

16.