2025-2026学年湖南省株洲四中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages33页2025-2026学年湖南省株洲四中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设全集U={x|0＜x＜6，x∈Z}，集合A={1，2，3}，则∁UA=（）A.{4，5} B.{4，5，6} C.{1，2，3} D.{x|3＜x＜6}2.已知正项数列{an}是公比不为1的等比数列，，则m+n=（）A.8 B.10 C.12 D.163.曲线在点处的切线方程为（）A.2x+πy-π=0 B.2x-πy-π=0 C. D.4.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下零件数x（个）2345加工时间y（分钟）26a4954根据上表可得回归方程，则实数a的值为（）A.37.3 B.38 C.39 D.39.55.，则a1+a2+a3+a4=（）A.16 B.65 C.80 D.816.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（λ＞0且λ≠1），则点P的轨迹是个圆.在平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（3，0），若直线上存在点M与点O，A的距离之比为，则实数b的取值范围是（）A.（-5，3） B.[-5，3] C.（-3，5） D.[-3，5]7.已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，则P（B）=（）A. B. C. D.8.已知f（x）是定义在区间（0，+∞）上的函数，且x4f′（x）+4x3f（x）=（x+2）ex，f（1）=2e,则（）A.f（x）只有1个零点

B.f（x）有2个零点

C.∀x∈（0，+∞），f（x）≥3x

D.∀x∈（0，+∞），二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（）月份x12345利润y58101215A.

B.可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元

C.可以估计10月份的利润为26.8万元

D.5月份利润的残差为0.4万元10.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F也是椭圆的一个焦点，过点（-1，1）作C的两条切线，斜率分别为k1，k2，对应的切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），则（）A. B.（i=1，2）

C.点F在直线MN上 D.MN的中点到y轴的距离为11.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，BB1=4，M，N分别是AB，CC1的中点，点P在A1D1上运动（含端点），则（）A.该长方体外接球的表面积为24π

B.点P到平面ABN的距离的最大值为

C.过D1，M，N三点的平面截该长方体所得截面图形的周长为

D.过D1，M，N三点的平面截该长方体所得截面图形的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分X（单位：分）服从正态分布X～N（60，σ2），若P（X＜70）=0.75，则得分高于50分的人数约为

.13.勒让德猜想是数论中最著名的猜想之一，内容如下：对于任意正整数n,存在质数p,满足n2＜p＜（n+1）2，我们把区间（n2，（n+1）2）称为正整数n的质数分布区间.现从集合{1，2，3，4，5，6}中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案有

种.（用数字作答）14.函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是

，焦距是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为.

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）记，求数列{bn}的前n项和.16.(本小题15分)

在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以ξ表示抽取的指令中成功完成的个数.

（1）求ξ的分布列和数学期望；

（2）另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为p,若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求p的值.17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为边长为2的正三角形，PA⊥AC，PB=PC.

（1）证明：平面PAB⊥平面ABC.

（2）已知PA=1，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=alnx-（x-1）ex，其中a∈R.

（1）若a≤0，求f（x）的单调区间；

（2）若a＞e,

（i）证明：f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点；

（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞1，证明：x0+2lnx0＞x1.19.(本小题17分)

已知点R是圆O：x2+y2=4上的动点，过点R作x轴的垂线段RD，D为垂足，T为线段RD的中点.

（1）求点T的轨迹方程E；

（2）过点M（4，0）的直线l与曲线E交于A，B两点.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）若曲线E与x轴交于A1，A2两点，直线A1A，A2B分别与直线x=4相交于P，Q两点，求的值.

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】7500

13.【答案】4

14.【答案】8

15.【答案】解：（1）因为数列的前n项和为，

当n=1时，，

当n≥2时，，

所以，

又当n=1时，an=n也成立，

所以数列{an}的通项公式为an=n.

（2）由（1）可得，

设数列{bn}的前n项和为Tn，

则Tn=b1+b2+b3+⋯+bn

=．

16.【答案】分布列为：ξ234P

0.25

17.【答案】取BC的中点D，连接AD，PD，

∵△ABC为边长为2的正三角形，∴AD⊥BC，

∵PB=PC，∴PD⊥BC，

∵PD∩AD=D，PD，AD⊂平面PAD，∴BC⊥平面PAD，

∵PA⊂平面PAD，∴BC⊥PA，

∵PA⊥AC，AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥平面ABC，

∵PA⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABC

18.【答案】（1）解：已知函数f（x）=alnx-（x-1）ex，

求导得：，

因为a≤0，对任意x＞0，都有，

因此f（x）=alnx-（x-1）ex的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；

（2）（i）证明：f（x）=alnx-（x-1）ex，，a>e,x>1,

令g（x）=a-，a>e,x>1,

当x＞1时，g′（x）=（-2x-x2）ex=-x（x+2）ex＜0，

故g（x）在（1，+∞）上单调递减，

因为a＞e,因此g（a）=a-a2ea=a（1-aea）＜0，

又g（1）=a-e>0，故g（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点m,且m∈（1，a）；

因此当x∈（1，m）时，g(x)>0，，

当x∈（m,+∞）时，g(x)<0，，

因此f（x）在x∈（1，m）单调递增，在x∈（m,+∞）单调递减，

又f（1）=aln1-（1-1）e1=0，则f（m）＞f（1）=0，当x→+∞，f（x）→-∞，

故f（x）在（1，m）没有零点，在（m,+∞）内有且仅有1个零点，

综上，f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点；

（ii）解:由题意可知：，

消a可得