2026届高三模拟考试数学试卷

PAGE2高三数学试卷本试卷满分150分，考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.1．设全集，集合，，则()A. B. C. D.2．在复平面内,复数z对应的点的坐标为,则(

)A. B. C. D.3．使“”成立的一个充分不必要条件是(

)A.或 B. C. D.4．设等差数列的前n项和为,若,则的公差为(

)A.2 B.3 C.4 D.55．函数的最小正周期为,其图象的对称中心可以为(

)A. B. C. D.6．已知向量，，，λ，μ均为实数，且，，则(

)A.25 B.16 C.5 D.47．已知点P为抛物线上的动点，点Q为圆上的动点，点F为抛物线C的焦点，则的最小值为(

)A.8 B.7 C.6 D.58．如图，圆柱的表面积为，，分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体为正四面体，则该正四面体的体积为(

)A. B. C. D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9．已知一组数据的平均数为,将这组数据分别加上它们的平均数,得到一组新数据,则新数据与原数据相比(

)A.极差相同 B.平均数不同 C.方差不同 D.中位数相同10．如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长都为2,且,则下列说法中正确的有(

)A. B.C.异面直线与所成的角为D.11．已知函数及其导函数的定义域均为R，若是偶函数且，则下列说法正确的是(

)A.函数是偶函数 B.C.的图象关于点对称 D.三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.12．已知，则________________.13．已知，若，且，则m的值为________.14．设函数,若是的极大值点,则a取值范围_______.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知a，b，c分别是的角A，B，C所对的边，且.(1)求B；(2)若，，求的面积.16．如图，在四棱锥中，，O，M分别是，中点，底面为菱形，平面平面，，.(1)证明：；(2)求D到平面的距离.OO17．已知椭圆的短轴长为2，离心率为.(1)求C的方程；(2)直线与C有唯一公共点P，过点P且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于点A，B，O为坐标原点，若的面积为，求k.18．某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程n次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为.(1)求随机变量的分布列；(2)设.(ⅰ)用含的式子表示；(ⅱ)证明：是等比数列，并求.19．已知，，且直线与曲线相切.（1）求；（2）若对，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若的最小值为m，证明：方程有唯一的实数根.（其中是自然对数的底数）.数学参考答案1．答案：A解析：由题意知，，又，所以故选A.2．答案：B解析：由题意得,,.3．答案：B解析：由得,等价于,解得,要满足题干条件,应判断选项集合是否为题干解集的真子集,因为是的真子集,所以使“”成立的一个充分不必要条件是“”,故选：B.4．答案：B解析：设公差为d,则,解得.故选:B5．答案：A解析：由题意知,,所以,故.令,,则,,所以该函数的对称中心为,,显然只有A符合.6．答案：C解析：因为，，所以，，得，，所以，故.7．答案：D解析：由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1，过点P作直线，垂足为N，如图所示，由抛物线定义可知，，所以，当点M，P，Q，N在同一直线时，可取到最小值，因为点到直线的距离为6，所以，即的最小值为5.8．答案：B解析：连接，，，因为四面体为正四面体，所以，设，在中，，，，在，，，故圆柱的表面积为，解得.故.9．答案：AB解析：设数据中最大的数为M,最小的数为N,则原数据的极差为,新数据为,则新数据的极差为,因此新数据与原数据的极差相同,故A正确；原数据的平均数为,新数据的平均数为,由于,则新数据与原数据的平均数不同,故B正确；原数据的方差为,新数据的方差为,,则新数据与原数据的方差相同,故C错误；不妨设5个数分别为,则原数据的中位数为1,此时平均数,新数据为,则新数据的中位数为2,则新数据与原数据的中位数不同,故D错误.故选：AB.10．答案：AD解析：对于A:,故A正确;对于B:因为,所以,所以,即,故B错误;对于C:因为,,所以,所以为异面直线与所成的角,即异面直线与所成的角为,故C错误;对于D:因为,,所以,所以,即,故D正确.故选:AD11．答案：ACD解析：对于A：由可得，则有，故函数是偶函数，故A正确；对于B：由是偶函数，，即关于对称，故，又，代入得，即，等式两边求导得：①，由等式两边同时求导得：②，由①和②可得：，令得，故B错误；对于C：由有，即③，又由有④，由③和④可得：，即，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D：由，又由，令得，又，则，，，故，故D正确.故选：ACD.12．答案：解析：因为，左右同时平方得：，所以，则，所以.故答案为：.13．答案：解析：因为，所以，利用二项式定理展开得，即，又因为，对应系数要相等，则又因为且，即，解得.14．答案：解析：函数的定义域为,求导得,由,得,则,当时,由,得;由,得,函数在上单调递增,在上单调递减,是的极大值点,因此;当时,,若,则,函数在上单调递增,函数无极值,不符合题意;若,由,得,由,得,函数在上单调递减,在上单调递增,是的极小值点,不符合题意;若,由,得,由,得,函数在上单调递增,在上单调递减,是的极大值点,符合题意,此时,则,所以a取值范围为.15．答案：(1)(2)解析：(1)由及正弦定理得，所以，由余弦定理得，因为，所以.(2)，因为，，所以，解得，，所以.16．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)连接，，如图一所示，，，∵平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，.(2)由(1)得，又∵O为的中点，，，是正三角形，，，.法一：以O为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则即，取，则，，，∴点D到平面的距离，∴点D到平面的距离为.法二：连接，设点D到平面的距离为h，，，，，M到平面的距离为P到平面距离的，即，，，，∴点D到平面的距离为.17．答案：(1)(2).解析：(1)由短轴长，得.由，得，解得.所以C的方程为(2)联立，得，整理得.由题意知，，则，化简得.设，，，由根与系数的关系可知，，即，所以，所以直线的方程为，令，得，令，得.的面积，整理得，解得，故.18．答案：(1)分布列见解析(2)(ⅰ)(ⅱ)证明见解析解析：(1)根据题意，的可能取值为4，5，6.即二次抽卡均抽到普通卡片，，即二次抽卡恰好抽到一普通一稀有卡片，，即二次抽卡均抽到稀有卡片，，所以的分布列为456P(2)(ⅰ)设第n次抽卡抽到稀有卡片为事件，则，..(ⅱ)由(ⅰ)及，得，，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即.19．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：（1）设直线与曲线的切点为，，所以.所以即（2）由得则在上恒成立.所以令所以法一：利用得出从而在上是增函数.