北京市第四中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第四中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。1.若离散型随机变量X的分布列如下所示，则a的值为（）X12P4a-13aA. B. C. D.2.函数的导函数（

）A. B. C. D.3.函数的单调递减区间是（

）A. B. C. D.4.抛红、蓝两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数.若事件A：红色骰子的点数大于3；事件B：两枚骰子的点数之和等于7，则P（B|A）的值等于（）A. B. C. D.5.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.则第2025行所有数的和为（）

A. B. C. D.6.某人计划周六外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95，0.8，若当天是晴天就乘飞机，否则乘坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（）A.0.62 B.0.84 C.0.92 D.0.987.已知函数，，则“”是“函数无极值点”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（

）A.12种 B.18种 C.24种 D.36种9.在函数f(x)＝ax-2的图象上存在两个不同点A，B，使得A，B关于直线y＝x的对称点A′，B′在函数g(x)＝ex的图象上，则实数a的取值范围是（

）A.(-∞，e) B. C.(0，e) D.(0，e2)10.某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）

工作

效益

机器一二三四五甲1517141715乙2223212020丙913141210丁7911911戊1315141511A.甲只能承担第四项工作 B.乙不能承担第二项工作

C.丙可以不承担第三项工作 D.丁可以承担第三项工作二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

.12.在的展开式中，的系数为

.（用数字作答）13.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少一枚硬币正面向上时，就称这次试验成功，设在3次试验中成功次数为X，则E（X）=

，D（X）=

.14.函数在上单调递增，则实数的取值范围是

.15.设函数f（x）=（x2-3）ex，则

①f（x）有极大值，但无最大值；

②f（x）有极小值，但无最小值；

③若方程f（x）=b有三个不等实根，则；

④∀n∈{0，1，2，3，4，5}，∃b∈R，函数y=|f（x）|的图象与直线y=b恰有n个公共点.

其中正确结论的编号为

.三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求函数在上的最大值与最小值.17.(本小题12分)某食品厂为了检查流水线的生产情况，随机抽取流水线上20件产品作为样本，分别称出它们的重量（单位：克），将数据按照，，，分成5组.制成如右图所示的频率分布直方图.(1)从流水线上抽取3件产品，用频率估计概率，求恰有2件产品的重量超过505克的概率；(2)在样本中重量位于的产品中任取2件，设为重量低于495克的产品数量，求随机变量的分布列和数学期望.18.(本小题12分)某公司准备对，两个项目进行竞标.已知两个项目竞标互不影响，项目资料审核通过即认为竞标成功.每个项目均有两次资料审核的机会，若第一次资料审核未通过，可通过增补资料进行第二次审核，若第一次资料审核通过，则无需进行第二次资料审核.经综合评估判断，该公司在，两个项目上首次资料审核通过的概率分别为，；若第一次没有通过，通过增补资料，第二次，两个项目资料审核通过的概率分别为，.(1)求该公司在第一次资料审核中恰有一个项目审核通过的概率；(2)两个项目中竞标成功的个数记为，求随机变量的分布列；(3)由于资金限制，该公司目前只能对两个项目中的一个进行投资，若，两个项目竞标成功，投资收益分别为220万元、300万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元、30万元的亏损.如果你是公司经理，那么你会选择哪个项目进行投资？请说明理由.19.(本小题12分)已知椭圆的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.20.(本小题14分)已知函数，.(1)若1是的极值点，求实数的值；(2)若，求证：；(3)已知函数在上无零点，求的取值范围.21.(本小题15分)已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足：①；②，；③，；则称集合组，，，具有性质.(1)判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论.集合组，，，；集合组，，，.(2)若集合组，，，具有性质.（i）求证：.（ii）求的最小值.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】2.250.5625．

14.【答案】

15.【答案】①③④．

16.【答案】解：（1）函数的定义域为，且，，且，所以所求切线方程为，即.（2）令，有，.当变化时，，变化如下13+0-0+↗3↘↗19所以函数在单调递减，在，上单调递增，而，，所以，.

17.【答案】解：（1）样本中，重量超过505克的频率为，于是可估计任取一件产品，其重量超过505克的概率为.设恰有2件产品重量超过505克为事件，.（2）样本中重量位于的产品共有件，其中重量低于495克的有3件.所以的可能取值有0，1，2.，，的分布列为012的期望为.

18.【答案】解：（1）设，项目第一次资料审核通过为事件，.恰有一个项目通过为事件，则，，.所以；（2）的可能取值有0，1，2.项目失败的概率为，项目成功的概率为，项目失败的概率为，项目成功的概率为，则，，.所以的分布列为012（3）记为项目的收益，则的可能取值有220，.，，所以（万元）记为项目的收益，则的可能取值有300，.，，所以（万元）因为，所以项目期望收益更大，应该选择项目进行投资.

19.【答案】解：（1）因为，令，得，由已知，又，，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，由题知直线存在斜率设为，则，于是，消得则，得，于是，令，则，设，则，.，所以，得.所以存在点满足题意.

20.【答案】解：（1）函数的定义域为，，因为1是的极值点，所以，即，当时，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以是的极小值点，符合题意，所以.（2）当时，，记.，令，有，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，从而，所以，即.（3）因为，，当，即时，，所以在上单调递减，因为，所以在上无零点，符合题意；当时，令，则，当时，；当时，，所以的单调递减区间是；单调递增区间是，的最小值为，当，即时，无零点，符合题意；当时，有一个零点，不符合题意；当时，，的最小值，因为，所以，使得，不符合题意；综上，.

21.【答案】解：（1）因为，，，所以集合组1具有性质；因为，所以集合组2不具有性质.（2）（i）若，，由抽屉原理，至少有一个集合中含有5个元素，不妨设，由于，，，故，.因此，，矛盾.故.（ii）当时，设，，，中的元素个数分别为，，，，则，，，的所有三元子集共有个.（若存在则）由，知，，，无