北京市第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an-1+1（n≥2），则a5为（

）A.7 B.15 C.30 D.312.下列求导运算正确的是（）A. B.

C. D.3.已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（

）A.19， B.21， C.15， D.16，4.函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则图象不经过（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则取出的三个小球最大编号为5的概率为（）A. B. C. D.6.函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.7.已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为（）A.25 B.50 C.100 D.不存在8.已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（

）

A.在处取极大值 B.

C.在上存在最小值 D.在上至多有3个零点10.已知等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（

）A.32 B.16 C.12 D.8二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.同时抛掷甲乙两枚质地均匀的骰子，设“甲骰子点数为3”，“两枚骰子点数之和为8”，则

．12.函数在处的切线方程为

．13.已知数列的前项和为，则

，的最小值为

．14.已知函数，，有成立，则的取值范围是

．15.已知函数，给出如下四个结论：①对任意，都不是偶函数；②任取，，在上单调递减；③任取，，在上单调递减；④存在，使得当且时，恒成立；其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)设等差数列的公差不为0，，且．(1)求的通项公式：(2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值．17.(本小题12分)生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：

跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）18.(本小题12分)“诗到清平能动主，花虽富贵不骄人”，以景山公园为首，北京各大公园牡丹陆续进入最佳观赏期，为了解景山公园的未来人流趋势，收集得到旅行平台关于该公园4月1号至12号的网络搜索量（单位：万次）如下：时间1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号11号12号搜索量6.28.16.17.28.17.46.26.56.48.38.16.3假设该公园每天的搜索量变化是相互独立的，用频率估计概率．(1)从2号至11号中任取1天，求当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；(2)在未来的日子里任取3天，记这3天中搜索量数据高于8万的天数为，求随机变量的分布列；(3)在未来的日子里任取3天，求这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据的概率．19.(本小题12分)已知函数．(1)求在上的最大值和最小值；(2)求过原点的切线方程．20.(本小题14分)已知函数．(1)求在处的切线方程；(2)判断的单调性；(3)若不等式在上无解，求的取值范围．21.(本小题15分)已知项数为的实数数列：，，…，，给定正整数，记．如果对于，…，，都有，则称数列“级恒正”，如果对于，…，，都有，则称数列“级恒负”．(1)对于，直接判断是否“2级恒负”，是否“4级恒正”；(2)当时，求证：不存在既“2级恒正”又“7级恒负”的数列：(3)已知，数列既“级恒正”又“级恒负”，求的最大值（用表示）．

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】9

；

1

14.【答案】

15.【答案】①②③

16.【答案】解：（1）设等差数列的公差为，．，，解得或（舍）．所以的通项公式为．（2）由题意可得，令，解得或（舍），故使成立的的最小值为8．

17.【答案】解：（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.（2）因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，所以的所有可能取值为，，所以的分布列为：

所以.（3），证明如下：，，所以.，，所以.数据：，，，，，，，，对应的平均数为，所以，所以.

18.【答案】解：（1）设“当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低”为事件，总天数10天，满足条件的天数为3天（3号、7号、9号），因此．（2）在未来的日子里任取一天，设“当日搜索量数据高于8万”为事件，12天中，搜索量高于8万的有：2号、5号、10号、11号，共4天，用频率估计概率，，，，，．分布列为0123（3）设“这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据”为事件，“第天高于8万”为事件，“第天低于7万”为事件，“第天不低于7万且不高于8万”为事件，，由（2）可得，同理可得，，则．

19.【答案】解：（1）由得，令得或，

，，，，当在上变化时，的变化情况如下表：0230+00因为，所以在上的最大值为，最小值为．（2）因为，所以在定义域上处处可导，即过原点的切线的斜率存在.设过原点的切线与曲线的切点为，则切线斜率，所以切线方程为，由切线过原点得，即，解得或.当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为；当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即．综上，所求切线方程为和．

20.【答案】解：（1）因为，，，所以在处的切线方程为，即.（2）因为，令，则，令，则，又，10+单调递减0单调递增所以在处取得极小值（也是最小值）0，即，所以（当且仅当时为零），因此在上单调递增.（3）不等式无解，即对任意有，即恒成立，令，则，则在上，，单调递减，因此，因此的取值范围是.

21.【答案】解：（1）不是“2级恒负”，是“4级恒正”．因为当时，，所以不是“2级恒负”；当时，

，

，

，所以是“4级恒正”.（2）假设存在“2级恒正”且“7级恒负”的数列．另一方面，，矛盾，所以不存在既是“2级恒正”又是“7级恒负”的数列．（3）的