北师大版初中数学九年级下册“确定圆的条件”导学案

北师大版初中数学九年级下册“确定圆的条件”导学案

本导学案旨在依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，深度融合跨学科思维与探究式学习理念，为九年级学生构建一个关于“确定圆的条件”的深度学习框架。九年级学生已具备初步的几何直观、逻辑推理能力，掌握了圆的基本概念、点、线、面位置关系以及三角形、尺规作图等基础知识。本设计以“确定几何图形的基本条件”为宏观主题，引导学生从确定性思维角度探索圆的本质属性，理解数学的严谨性与应用广泛性，培养其空间观念、推理能力和模型思想。教学将贯穿“观察—猜想—验证—应用—拓展”的科学探究路径，强调学生主体地位与教师引导作用的有机结合，利用数字化工具与实物操作相结合的方式，实现从具体感知到抽象概括的思维跃迁。

一、教学背景深度分析

（一）教材体系解构与定位

“确定圆的条件”在北师大版九年级下册数学教材中，隶属于“圆”这一核心章节。从知识脉络看，它前承“圆的基本概念”（如半径、直径、弦、弧等）和“轴对称性”，后启“直线与圆的位置关系”、“三角形的内切圆与外接圆”以及“圆与正多边形”等内容。本节内容处于几何知识从静态性质向动态关系过渡的关键节点，是学生首次系统地从“确定一个几何图形所需最少条件”这一公理化思想角度研究圆，为后续学习圆锥曲线、解析几何乃至高等数学中的轨迹思想埋下伏笔。教材通过“想一想”、“做一做”等栏目引导学生探究，但本设计将在此基础上，深度融合工程制图、天体运行轨道初步等跨学科情境，提升知识的综合应用价值。

（二）学情精准剖析

九年级学生的认知发展处于形式运算阶段初期，具备一定的抽象逻辑思维能力，但几何空间想象能力和严谨的演绎推理能力仍有待强化。其知识储备包括：熟练掌握尺规作线段垂直平分线、作已知角的平分线；理解圆的定义（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形）；知晓两点确定一条直线等基本几何事实。潜在学习障碍可能在于：对“确定”一词的数学内涵（存在性与唯一性）理解模糊；对“三点共线”与“三点不共线”情形的分类讨论意识不强；尺规作图的精确性与规范性不足。因此，教学需通过多层次、可视化的探究活动，搭建思维脚手架，化解这些难点。

（三）核心素养培育指向

本节课旨在针对性发展以下数学核心素养：

1.几何直观与空间观念：通过动手作图、动态软件演示，直观感知点、圆之间的位置关系，构建从具体操作到空间想象的桥梁。

2.逻辑推理：经历“提出猜想—实验验证—推理论证”的完整过程，理解定理得出的必然性，培养严谨的推理习惯。

3.模型思想：抽象出“不在同一直线上的三点确定一个圆”这一数学模型，并能在实际情境（如考古定位、机械加工）中识别和应用该模型。

4.应用意识与创新意识：联系物理、工程等领域的相关问题，鼓励设计性、方案性学习，激发创新思维。

二、教学目标精细化设定

（一）知识与技能

1.经历探索过程，理解并掌握“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的基本事实。

2.能够熟练运用尺规作图，作出过不在同一直线上三点的圆，并掌握确定该圆的圆心和半径的方法。

3.理解三角形的外接圆、外心的概念，掌握三角形外心的位置（锐角三角形在形内、直角三角形在斜边中点、钝角三角形在形外）及其性质（到三角形三个顶点的距离相等）。

4.能运用确定圆的条件解决简单的几何证明和实际应用问题。

（二）过程与方法

1.通过从“一点”、“两点”到“三点”的渐进式探究活动，体验数学研究中从特殊到一般、分类讨论的思想方法。

2.在尺规作图与软件验证的对比实践中，提升动手操作能力与数字化探究能力。

3.通过小组协作、辩论交流，发展数学语言表达能力和合作学习能力。

（三）情感态度与价值观

1.在探究中感受数学的确定性与美感，增强学习几何的兴趣和自信心。

2.通过了解确定圆的条件在历史（如古希腊几何学）与现实（如GPS定位原理基础）中的应用，体会数学的文化价值和应用价值。

3.养成细致、严谨、实事求是的科学态度和理性精神。

三、教学重难点及突破策略

（一）教学重点

“不在同一直线上的三个点确定一个圆”这一基本事实的探索与理解，以及三角形的外接圆作图与外心性质。

（二）教学难点

1.对“确定”一词数学内涵（存在且唯一）的深刻理解。

2.探究“三点共线”时为何不能确定圆（或理解为确定的是一个无限大的圆或直线）的逻辑理解。

3.三角形外心位置随三角形形状变化的动态认知。

（三）突破策略

针对难点一，采用对比辨析法：将“确定一条直线”（两点）与“确定一个圆”进行类比与对比，明确“确定”意味着“可以作出，并且只有一个”。

针对难点二，利用几何画板动态演示：当三点无限接近共线时，所作圆的圆心趋向无穷远，半径趋向无穷大，直观呈现“退化”情形，辅以反证法进行逻辑说明。

针对难点三，设计分类作图活动：学生分组绘制锐角、直角、钝角三角形的外接圆，通过测量、观察、归纳，自主发现外心位置规律，再利用几何画板动态拖拽三角形顶点进行验证。

四、教学准备与资源整合

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（内含问题情境、探究指引、动画演示、文化背景资料）。

2.3.几何画板动态课件（预设“点动圆随”的交互演示）。

3.4.实物教具：多个带孔木板和细绳（用于模拟找圆心）、不同形状的三角形模型。

4.5.精心设计的导学案（含探究任务单、分层练习卷）。

6.学生准备：

1.7.圆规、直尺、量角器、三角板等绘图工具。

2.8.课前复习圆的相关定义及线段垂直平分线的作法。

3.9.分组（4-6人一组，异质分组）。

五、教学过程实施详案

本节教学过程规划为两课时（共90分钟），第一课时聚焦定理的探究与得出，第二课时侧重定理的应用与外心性质。以下为整合后的详细流程。

第一课时：定理的发现与验证（45分钟）

（一）情境创设，问题驱动（预计时间：5分钟）

教师活动：

1.展示一组图片：完美圆形的车轮、古代青铜器上的圆纹、天体运行轨道示意图、圆形广场的规划设计图。

2.提出问题链：“这些‘圆’是如何被精确地创造或描述出来的？”“在几何学中，我们常说‘两点确定一条直线’，那么，类比地，要‘确定’一个圆，至少需要几个点？需要满足什么条件？”

3.引出课题：“今天，我们就化身几何侦探，一起探寻‘确定圆的条件’。”

4.明确探究总任务：探究过一个点、两个点、三个点分别能否确定一个圆？如何确定？

学生活动：

观察图片，思考问题，产生认知冲突（已知圆的定义需要圆心和半径，但如何从“点”的角度确定？），明确本课学习目标。

设计意图：

从跨学科（历史、工程、天文）的丰富情境引入，激发好奇心和探究欲。通过类比“确定直线”，自然引出核心问题，明确探究方向。

（二）分层探究，构建新知（预计时间：30分钟）

探究活动一：过一个点A，能确定一个圆吗？

学生操作：

1.在学案上任意画一点A。

2.尝试用圆规画出经过点A的圆。看能画出多少个？

小组交流与发现：

学生迅速发现可以画出无数个大小不一的圆。

教师引导与提升：

提问：“这些圆的圆心和半径有什么特点？”引导学生用数学语言描述：圆心可以是除A点外的任意一点，半径是圆心到点A的距离。因此，“过一个点”不能唯一确定一个圆（不确定性）。

探究活动二：过两个点A、B，能确定一个圆吗？

学生操作：

1.在学案上画两个点A、B。

2.尝试用尺规画出同时经过A、B两点的圆。思考：如何确定圆心才能保证圆同时经过A、B两点？

关键引导：

教师提示：“回顾圆的定义，圆上的点到圆心的距离相等。如果圆要经过A和B，那么圆心到A和B的距离应该怎样？”引导学生得出：圆心必须在线段AB的垂直平分线上。

学生再操作与发现：

在线段AB的垂直平分线上任选一点作为圆心，以该点到A（或B）的距离为半径画圆，都能经过A、B两点。由于垂直平分线上的点有无数个，因此可以画出无数个圆。

教师深化：

利用几何画板动态演示：在AB垂直平分线上移动圆心，圆随之变化，但始终经过A、B两点。强化“过两点”仍不能唯一确定一个圆，但圆心被限制在一条直线上（确定性增加）。

探究活动三：过三个点A、B、C，能确定一个圆吗？（核心探究）

步骤1：大胆猜想

教师提问：“基于前面的探究，过三个点情况会如何？请大家先大胆猜想，并说明理由。”学生可能猜想“能确定一个”或“可能不能”，鼓励说出想法。

步骤2：实验验证（分类讨论）

任务一：请画出一个锐角三角形ABC，尝试作出经过它的三个顶点的圆。

学生自主尝试

：学生可能直接尝试找圆心。教师巡视，提示：“要同时经过A、B、C，圆心需要满足什么条件？”引导学生将两点情况下的结论推广：圆心需在AB的垂直平分线上，也需在BC（或AC）的垂直平分线上。因此，圆心应该是这两条垂直平分线的交点。

学生作图

：作出AB和BC的垂直平分线，找到交点O，以OA为半径画圆。验证是否经过C点（通过测量OC与OA的长度）。

任务二：请画出三点几乎在一条直线上的情形，尝试作图。

任务三：请画出一个直角三角形和一个钝角三角形，重复上述作图过程。

步骤3：归纳结论

小组合作，汇总四种情况（三点不共线构成锐角、直角、钝角三角形；三点共线）下的作图结果，填写探究报告：

情形1：三点不共线

——两条垂直平分线有唯一交点O，以O为圆心，OA为半径可作唯一一个圆。

情形2：三点共线

——尝试作图发现，无法找到同时到三点距离相等的点（或理解为垂直平分线平行，无交点）。

步骤4：推理论证（提升思维严谨性）

教师引导学生进行简要的逻辑说理：

存在性

：若三点A、B、C不共线，则线段AB、BC的垂直平分线不平行（因为AB与BC不平行），故必相交于一点O。根据垂直平分线性质，OA=OB，OB=OC，故OA=OB=OC。所以以O为圆心，OA为半径的圆必经过A、B、C。

唯一性

：假设存在另一个圆心O’和半径r’的圆也经过A、B、C，则O’必须同时在AB和BC的垂直平分线上（理由同前），因此O’与O重合，半径也相等。故圆唯一。

三点共线时

：假设存在这样的圆，圆心O需在AB和BC的垂直平分线上，但此时两条垂直平分线平行或重合，没有公共点，矛盾。

步骤5：形成定理

师生共同提炼、板书定理：“不在同一条直线上的三个点确定一个圆。”强调关键词：“不在同一直线上”（条件）、“确定”（含义：存在且唯一）。

设计意图：

此环节是本节课的核心，通过层层递进的探究，让学生亲历知识生成过程。从操作感知到理性思辨，从特殊到一般，从实验归纳到逻辑证明，全方位培养学生的探究能力和推理能力。分类讨论的引入，确保了思维的严密性。

（三）初步应用，巩固理解（预计时间：8分钟）

应用1：概念辨析

判断题（学生口答，说明理由）：

1.经过任意三点一定可以作一个圆。（错误，需强调不共线）

2.一个三角形有且只有一个外接圆。（正确，因为三角形三个顶点不共线）

3.圆有且只有一个内接三角形。（错误，一个圆可以内接无数个三角形）

应用2：简单作图

已知：直线l及l外一点P。

求作：一个圆，使它经过点P，且与直线l相切于点Q（Q为l上任意指定点）。

（提示：转化思想——要确定圆，需找圆心。圆心需满足哪些条件？既在过Q且垂直于l的直线上，又在PQ的垂直平分线上吗？此题为后续学习埋下伏笔，学生可初步尝试。）

应用3：实际问题

考古现场发现三个古墓遗址点A、B、C（不共线），专家推测它们可能曾是一个圆形祭祀广场的边缘。你能帮助确定这个圆形广场可能的位置和大小吗？简述你的方法。

（引导学生抽象为数学问题：找过三点的圆的圆心和半径。）

设计意图：

通过多层次应用，及时巩固对定理的理解，辨析易错点，并初步体会其应用价值，实现学以致用。

（四）课堂小结与反思（预计时间：2分钟）

引导学生以思维导图或关键词的形式回顾本课探索历程：一点（无数）→两点（无数，圆心在垂直平分线上）→三点（不共线：唯一；共线：不能）。强调探究中的数学思想方法。

第二课时：定理的深化与应用（45分钟）

（一）回顾导入，衔接新知（预计时间：3分钟）

快速回顾上节课定理。提问：“我们知道了不在同一直线上的三点确定一个圆。如果这三点恰好是一个三角形的三个顶点呢？”自然引出“三角形的外接圆”与“外心”概念。

（二）概念形成与性质探究（预计时间：20分钟）

1.概念学习

定义：经过三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。

教师强调外心是三角形三条边垂直平分线的交点。

2.操作探究：外心的位置

活动：学生分组，每组负责一种类型的三角形（锐角、直角、钝角）。

任务：

(1)用尺规准确作出三角形的外接圆，标记外心O。

(2)测量外心O到三角形三个顶点的距离，你有什么发现？

(3)观察外心O与三角形的位置关系（在形内、形上、形外？）

各组汇报发现，全班汇总：

性质1

：外心到三角形三个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。

性质2

：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。

教师利用几何画板动态验证：拖拽改变三角形的形状，学生观察外心位置如何动态变化，直观建立联系。

3.推理深化

引导学生思考：为什么直角三角形的外心在斜边中点？

提示

：在Rt△ABC中，∠C=90°，作出AB、BC的垂直平分线。试证明AB的垂直平分线（即斜边中线所在的直线）也经过BC垂直平分线与AC垂直平分线的交点。

简要思路

：取AB中点D，连接CD，则CD=AD=BD（直角三角形斜边中线定理），故D到A、B、C距离相等，因此D就是外心。

此环节将代数证明（勾股定理、距离公式）与几何证明结合，体现数形结合。

设计意图：

将定理具体化到三角形情境，通过操作、测量、观察、推理，自主发现外心的两个核心性质，并借助动态技术深化理解，突破难点。

（三）综合应用与能力提升（预计时间：18分钟）

本环节设计分层练习，满足不同层次学生需求。

基础巩固层：

1.已知△ABC，AB=5，BC=12，AC=13。判断△ABC的形状，并指出其外心的位置。求出外接圆的半径。

2.如图，破残的轮片上，如何用尺规找到原轮片的圆心？（实质是找圆弧上任意三点所确定的圆的圆心）

能力提升层：

3.（跨学科联系）在平面直角坐标系中，已知三点A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)。

(1)求△ABC外接圆的圆心坐标和半径。

(2)若一点P(x,y)到A、B、C三点的距离相等，求点P的坐标。比较(1)(2)的结论。

（此题引入解析法，为高中学习圆的标准方程做铺垫。）

4.工程问题：要安装一个圆形井盖，使其完全盖住一个三角形的检修口（三角形三边已知）。这个圆形井盖的最小直径至少是多少？如何确定安装中心？

（引导学生理解：当外接圆是能完全覆盖三角形的最小圆吗？引申出后续可能学习的“最小覆盖圆”问题，激发思考。）

拓展探究层：

5.四边形有外接圆吗？需要满足什么条件？（引导学有余力的学生探究“四点共圆”的条件，如对角互补等，建立知识联系。）

6.设计一个方案：仅用一把直角尺（没有刻度，只能画直角和直线），能否找到一个圆的圆心？简述步骤和原理。

设计意图：

应用环节紧密联系定理与外心性质，从基础到综合，从几何到解析，从数学到实际，层层递进。拓展问题为学有余力者提供挑战，体现差异化教学。

（四）课堂总结与体系构建（预计时间：3分钟）

引导学生从知识、方法、思想三个维度总结：

知识：确定圆的条件（定理）、三角形的外接圆与外心（概念、性质、位置）。

方法：探究问题的方法（从特殊到一般、分类讨论、操作验证、逻辑推理）、解决问题的方法（转化、数形结合）。

思想：公理化思想（确定几何图形的基本条件）、模型思想、应用思想。

布置作业（见下文）。

（五）作业设计（分层布置）

必做题：

1.课本对应习题。

2.绘制本章节关于“确定圆的条件”及“外心”的知识结构图。

3.实践作业：寻找生活中“确定一个圆”的实例（如固定三脚架的相机云台旋转轨迹、三颗卫星定位原理基础等），并尝试用本节课知识进行解释，形成一个小报告或简图。

选做题：

1.探究：过一个已知点并与一条已知直线相切的圆，有多少个？如何确定其圆心？

2.研究数学史：查阅欧几里得《几何原本》中关于圆的相关命题，了解古希腊人是如何研究圆的。

六、板书设计规划

板书采用“主干-分支”式结构，清晰呈现思维脉络与知识要点。

（左侧主板书区）

课题：确定圆的条件

一、探究历程

1.一点→无数圆（不确定性）

2.两点→无数圆（圆心在两点连线的垂直平分线上）

3.三点

（1）不