高三数学一轮复习课时作业第三章第五节两角和与差的正余弦和正切公式

课时作业A组——基础对点练1．设sin(π－θ)＝eq\f(1,3)，则cos2θ＝()A．±eq\f(4\r(2),9)B.eqB.eq\f(7,9)C．－eq\f(4\r(2),9) D．－eq\f(7,9)解析：因为sin(π－θ)＝sinθ＝eq\f(1,3)，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝eq\f(7,9)，故选B.答案：B2．计算eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值为()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).答案：B3．若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，则tanβ＝()A.eq\f(1,7) B．eq\f(1,6)C.eq\f(5,7) D．eq\f(5,6)解析：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,3)＋tanβ,1－\f(1,3)tanβ)＝eq\f(1,2)，解得tanβ＝eq\f(1,7).答案：A4．(2018·西安质量检测)sin45°cos15°＋cos225°·sin165°＝()A．1 B．eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)解析：sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°cos15°＋(－cos45°)·sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝eq\f(1,2).答案：B5．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝－eq\f(7,8)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的值为()A.eq\f(1,4) B．eq\f(7,8)C．±eq\f(1,4) D．±eq\f(7,8)解析：因为coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝eq\f(7,8)，所以有sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))＝eq\f(1,16)，从而求得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的值为±eq\f(1,4)，故选C.答案：C6．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，则cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝()A．－eq\f(2\r(3),3) B．±eq\f(2\r(3),3)C．－1 D．±1解析：∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，∴cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋cosxcoseq\f(π,3)＋sinxsineq\f(π,3)＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1.答案：C7．已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan(α＋eq\f(π,4))的值为()A．－3 B．3C．－3或3 D．－1或3解析：∵2sin2α＝1＋cos2α，∴4sinαcosα＝1＋2cos2α－1，即2sinαcosα＝cos2α，①当cosα＝0时，α＝kπ＋eq\f(π,2)，此时tan(α＋eq\f(π,4))＝－1，②当cosα≠0时，tanα＝eq\f(1,2)，此时tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝3，综上所述，tan(α＋eq\f(π,4))的值为－1或3.答案：D8．已知sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2(α＋eq\f(π,4))＝()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)cosα－eq\f(\r(2),2)sinα，所以cos2(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)(cosα－sinα)2＝eq\f(1,2)(1－2sinαcosα)＝eq\f(1,2)(1－sin2α)＝eq\f(1,6).答案：A9．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝()A．－eq\f(7,8) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4) D．eq\f(7,8)解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－2α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－2α))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2))＝－eq\f(7,8).答案：A10．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α))的值是()A.eq\f(23,25) B．eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5) D．－eq\f(23,25)解析：∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(23,25).答案：A11．已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，则tan2α＝()A.eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，解得tanα＝3或tanα＝－eq\f(1,3)，代入tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)，得到tan2α＝－eq\f(3,4).答案：C12．若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，则sin2θ＝()A.eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：∵tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(1＋tan2θ,tanθ)＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(2tanθ,4tanθ)＝eq\f(1,2).答案：D13．已知tanα＝3，则cos2α＝________.解析：cos2α＝2cos2α－1＝2·eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)－1＝2×eq\f(1,tan2α＋1)－1＝－eq\f(4,5).答案：－eq\f(4,5)14．(2018·长沙市模拟)已知α－β＝eq\f(π,3)，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为________．解析：由tanα－tanβ＝eq\f(sinαcosβ－cosαsinβ,cosαcosβ)＝eq\f(sinα－β,cosαcosβ)＝3，解得cosαcosβ＝eq\f(\r(3),6)，又cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(1,2)，所以sinαsinβ＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),6)，所以cos(α＋β)＝eq\f(\r(3),3)－eq\f(1,2).答案：eq\f(\r(3),3)－eq\f(1,2)15．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是__________．解析：∵f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x－eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)(1－cos2x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))－eq\r(2)，∴f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.答案：π16．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))的值是__________．解析：∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，∴sineq\f(π,3)cosα＋coseq\f(π,3)sinα＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，∴eq\f(3,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(4\r(3),5)，即eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝eq\f(4,5)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))＝sinαcoseq\f(7π,6)＋cosαsineq\f(7π,6)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinα＋\f(1,2)cosα))＝－eq\f(4,5).答案：－eq\f(4,5)B组——能力提升练1．(2018·洛阳市模拟)设a＝cos50°cos127°＋cos40°·cos37°，b＝eq\f(\r(2),2)(sin56°－cos56°)，c＝eq\f(1－tan239°,1＋tan239°)，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．a＞c＞b解析：a＝sin40°cos127°＋cos40°sin127°＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，b＝eq\f(\r(2),2)(sin56°－cos56°)＝eq\f(\r(2),2)sin56°－eq\f(\r(2),2)cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝eq\f(\f(cos239°－sin239°,cos239°),\f(sin239°＋cos239°,cos239°))＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°，∵sin13°＞sin12°＞sin11°，∴a＞c＞b.答案：D2．(2018·吉林大学附中检测)若α∈(eq\f(π,2)，π)，且3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，则sin2α的值为()A．－eq\f(\r(35),6) B．－eq\f(1,6)C．－eq\f(\r(35),18) D．－eq\f(17,18)解析：∵3cos2α＝sin(eq\f(π,4)－α)，∴3(cos2α－sin2α)＝－eq\f(\r(2),2)(sinα－cosα)，易知sinα≠cosα，故cosα＋sinα＝eq\f(\r(2),6)，1＋sin2α＝eq\f(1,18)，sin2α＝－eq\f(17,18)，故选D.答案：D3．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝eq\f(1,6)，tanα＋tanβ＋eq\r(3)·tanαtanβ＝eq\r(3)，则α，β的大小关系是()A．α<eq\f(π,4)<β B．β<eq\f(π,4)<αC.eq\f(π,4)<α<β D．eq\f(π,4)<β<α解析：∵α为锐角，sinα－cosα＝eq\f(1,6)，∴α>eq\f(π,4).又tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，∴α＋β＝eq\f(π,3)，又α>eq\f(π,4)，∴β<eq\f(π,4)<α.答案：B4．(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sinα＝2cos2α，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝()A.eq\f(1＋3\r(5),8) B．eq\f(1＋5\r(3),8)C.eq\f(1－3\r(5),8) D．eq\f(1－5\r(3),8)解析：由7sinα＝2cos2α得7sinα＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sinα－2＝0，∴sinα＝－2(舍去)或sinα＝eq\f(1,4)，∵α为锐角，∴cosα＝eq\f(\r(15),4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1＋3\r(5),8)，故选A.答案：A5．(2018·贵阳监测)已知sin(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(1,3)，则cos[2(eq\f(π,3)＋α)]的值是()A.eq\f(7,9) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(7,9)解析：∵sin(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(1,3)，∴cos(eq\f(π,3)－2α)＝cos[2(eq\f(π,6)－α)]＝1－2sin2(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(7,9)，∴cos[2(eq\f(π,3)＋α)]＝cos(eq\f(2π,3)＋2α)＝cos[π－(eq\f(π,3)－2α)]＝－cos(eq\f(π,3)－2α)＝－eq\f(7,9).答案：D6．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，cos2α＝eq\f(7,25)，则sinα＝()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)得sinα－cosα＝eq\f(7,5)，①由cos2α＝eq\f(7,25)得cos2α－sin2α＝eq\f(7,25)，所以(cosα－sinα)·(cosα＋sinα)＝eq\f(7,25)，②由①②可得cosα＋sinα＝－eq\f(1,5)，③由①③可得sinα＝eq\f(3,5).答案：C7．已知sin(eq\f(π,6)－α)＝cos(eq\f(π,6)＋α)，则cos2α＝()A．1 B．－1C.eq\f(1,2) D．0解析：∵sin(eq\f(π,6)－α)＝cos(eq\f(π,6)＋α)，∴eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα，即(eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2))sinα＝－(eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2))cosα，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－1，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,tan2α＋1)＝0.答案：D8．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))，f′(x)是f(x)的导函数，则函数y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))解析：由题意，得f′(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))，所以y＝2f(x)＋f′(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，得kπ＋eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(7π,12)(k∈Z)，所以函数y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))，故选A.答案：A9．若tanα＝2taneq\f(π,5)，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sinαcos\f(π,5)＋cosαsin\f(π,5),sinαcos\f(π,5)－cosαsin\f(π,5))＝eq\f(\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3，故选C.答案：C10．若tanα＝3，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))的值为()A．－eq\f(\r(2),10) B．eq\f(\r(2),10)C.eq\f(5\r(2),10) D．eq\f(7\r(2),10)解析：sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(3,5)，cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(4,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sin2α＋eq\f(\r(2),2)cos2α＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))))＝－eq\f(\r(2),10).答案：A11．已知eq\f(1＋sinθ＋cosθ,1＋sinθ－cosθ)＝eq\f(1,2)，则tanθ＝()A.eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：因为eq\f(1＋sinθ＋cosθ,1＋sinθ－cosθ)＝eq\f(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2),2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋2sin2\f(θ,2))＝eq\f(2cos\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2))),2sin\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)＋sin\f(θ,2))))＝eq\f(1,tan\f(θ,2))＝eq\f(1,2)，所以taneq\f(θ,2)＝2，于是tanθ＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝－eq\f(4,3).答案：D12．已知cos4α－sin4α＝eq\f(2,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝__________.解析：∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)·(cos2α－sin2α)＝cos2α＝eq\f(2,3)>0，∴2α∈eq\b\lc