初中数学九年级中考二轮专题复习课：动点几何背景下的二次函数综合探究教学设计

初中数学九年级中考二轮专题复习课：动点几何背景下的二次函数综合探究教学设计

  一、教材与学情分析

  本专题设计立足于人民教育出版社《义务教育数学课程标准（2022年版）》对初中阶段“图形与几何”以及“函数”两大核心内容领域的综合要求。教材中，二次函数的学习为描述现实世界变量间的非线性关系提供了强大工具，而几何图形的性质，特别是三角形、四边形、圆的基本定理，是构建数学模型的基础。将两者结合，探究在几何图形运动变化过程中引发的函数关系问题，是中考数学能力考查的制高点，集中体现了数形结合、转化与化归、函数与方程、分类讨论等核心数学思想。

  授课对象为九年级下学期学生，正处于中考二轮专题复习的关键阶段。经过一轮系统复习，学生已具备以下基础：1.熟练掌握二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性）；2.理解并能够运用三角形全等与相似、勾股定理、锐角三角函数、特殊四边形性质、圆的基本性质等重要几何知识；3.初步接触过动点产生线段、面积等基本量的变化问题。然而，学生普遍存在的瓶颈在于：1.知识割裂：难以主动、灵活地将几何条件“翻译”为函数关系式中的参数或约束条件；2.动态想象匮乏：对图形在运动过程中的连续变化状态缺乏清晰的表象认识，无法准确界定自变量（通常是动点位置、运动时间）的取值范围及其对应的图形临界状态；3.建模能力薄弱：面对复杂背景，难以剥离干扰信息，构建起从几何情境到函数解析式的清晰逻辑链条；4.综合运用僵化：在求得函数关系式后，对利用函数性质解决最值、存在性等问题的路径单一，缺乏策略性。本设计旨在通过精选的、具有思维梯度的探究序列，引导学生突破上述瓶颈，实现从知识点的机械复现到数学思想方法自觉运用的跨越，提升解决复杂、新颖问题的综合素养。

  二、教学目标

  （一）知识与技能

  1.能够准确分析动态几何问题中的变量与不变量，合理设定自变量，建立因变量（如线段长度、图形面积、角度关系等）关于自变量的二次函数模型。

  2.熟练掌握在动态背景下求函数解析式的方法，特别是运用几何定理（如相似、勾股定理、面积法）进行代数表达与转化。

  3.能根据所建立的二次函数模型，结合自变量取值范围，运用配方法、公式法或图象分析法，求解面积最值、线段最值、图形形状判定（如等腰、直角、相似存在性）等综合问题。

  （二）过程与方法

  1.经历“情境感知→分析变量→建立模型→求解验证→拓展反思”的完整数学建模过程，体会模型思想在解决复杂问题中的威力。

  2.通过动手画图、几何画板动态演示、思维导图构建等多种方式，增强空间想象能力和运动变化观念，深化数形结合思想的理解与应用。

  3.在解决开放性、探究性问题的过程中，学会运用分析、综合、类比、分类讨论等逻辑思维方法，提升思维的条理性和深刻性。

  （三）情感、态度与价值观

  1.在挑战复杂问题的过程中，培养不畏难、善钻研的科学探索精神，体验数学的内在和谐与逻辑之美。

  2.通过小组合作探究与交流，增强团队协作意识，学会倾听、表达与反思，形成理性、严谨的数学交流习惯。

  3.感悟数学源于生活又服务于生活的价值，体会用数学工具解决几何动态问题的实用性与创造性。

  （四）核心素养导向目标

  本设计着力发展学生的以下数学核心素养：数学抽象（从动态几何情境中抽象出函数关系）、逻辑推理（严谨推导函数解析式及论证存在性）、数学建模（构建并求解动态几何的函数模型）、直观想象（想象图形运动过程并关联函数图象）、数学运算（准确进行代数推导与求解）、数据分析（分析函数性质作出合理论断）。

  三、教学重难点

  教学重点：1.引导学生掌握在几何图形运动背景下寻找等量关系，建立二次函数模型的一般思路与方法。2.训练学生综合利用几何性质与函数性质，解决动态问题中的最值与存在性问题。

  教学难点：1.如何引导学生突破思维定势，灵活选择自变量和因变量，并准确表达动态变化中的几何量。2.如何帮助学生理解和处理自变量取值范围受几何图形约束的条件，特别是运动过程中的临界状态识别与分类讨论。3.在综合探究中，如何整合多知识模块，形成清晰的、可迁移的问题解决策略。

  四、教学准备

  1.教师准备：精心设计探究学案，制作包含动态演示的几何画板课件（如动点在线段、射线、折线、圆弧上运动，引起三角形、四边形面积变化等系列动画），预设课堂追问与点拨的关键问题链，准备实物投影仪用于展示学生解题过程。

  2.学生准备：复习二次函数与相关几何核心知识，准备直尺、圆规、坐标纸等作图工具，预习学案中的基础回顾部分。

  3.环境准备：多媒体教室，便于分组讨论的座位布局。

  五、教学实施过程（总时长：约2-3课时，180分钟）

  （一）第一课时：模型初构与基础探究（60分钟）

  环节一：情境驱动，问题导入（约8分钟）

  师：（利用几何画板动态演示）如图，在平面直角坐标系中，已知定点A(0,3)，B(4,0)。点P是x轴正半轴上的一个动点（点P不与点B重合），连接AP。过点P作PQ⊥AP，交y轴于点Q。请同学们观察，当点P从原点附近向右侧移动时，线段OQ的长度是如何变化的？你能用一个数学关系来描述这种变化吗？

  （学生观察、思考、窃窃私语）

  生1：OQ的长度好像在变化，好像先变长后变短？

  生2：看起来△AOP和△POQ好像有点关系……

  师：观察得很仔细！这里的几何图形（直角三角形、垂直关系）是“静态”的框架，但点P的运动带来了整个图形相关部分（如OQ）的“动态”变化。我们的任务，就是用函数的眼光来捕捉这种变化规律。这就是我们今天要深入研究的“动点几何背景下的函数综合问题”。核心步骤是：分析动态几何→确定变量关系→建立函数模型→利用模型求解。

  环节二：原型剖析，方法奠基（约25分钟）

  探究活动一：单动点与线段长度函数

  呈现问题原型：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发，沿AB边以每秒2cm的速度向点B运动；同时，点Q从点C出发，沿CB边以每秒1cm的速度向点B运动。设运动时间为t秒（0<t<4），连接PQ。

  任务1：用含t的代数式表示线段CP的长度。

  任务2：设△CPQ的面积为Scm²，求S关于t的函数关系式。

  任务3：求S的最大值。

  （学生独立完成任务1、2，教师巡视，选取典型解法用实物投影展示）

  生3展示任务1：由勾股定理AB=10cm。AP=2t，则PB=10-2t。过P作PD⊥BC于D。易证△PBD∽△ABC，可得PD/AC=PB/AB，即PD/6=(10-2t)/10，PD=6-(6/5)t。又CD=BC-BD=8-(8/5)t？这里计算有点乱……

  师：思路正确，但表达CP直接些更好。注意点P在斜边AB上运动，CP是斜边上的线段，直接表达不便。我们可以换个角度看：面积S是核心，CP是△CPQ的底吗？谁是更合适的底和高？

  生4：可以以CQ为底，因为它容易表示：CQ=t。高是点P到BC的距离，就是过P作BC垂线段的长度。同生3，PD=6-(6/5)t。

  师：很好！抓住了关键——选择易于表示的几何量作为函数模型的组成部分。请生4完成S的表达式。

  生4：S=(1/2)×CQ×PD=(1/2)×t×(6-(6/5)t)=3t-(3/5)t²。

  师：S=3t-(3/5)t²。这是一个什么函数？自变量t的取值范围如何确定？

  生（齐）：二次函数。t>0，且P在AB上，AP<10，所以2t<10，t<5。同时Q在CB上，t<8。综合得0<t<4（因为P先到终点）。

  师：分析严谨！接下来任务3，求此二次函数在0<t<4内的最大值。

  生5：S=-(3/5)(t²-5t)=-(3/5)[(t-2.5)²-6.25]=-(3/5)(t-2.5)²+3.75。因为-3/5<0，开口向下，对称轴t=2.5在区间(0,4)内，所以当t=2.5时，S有最大值3.75cm²。

  方法提炼（师生共同总结）：

  1.变量选择：通常选择运动时间或与动点位置直接相关的线段长为自变量。

  2.关系转化：将目标量（如面积S）表示为自变量的函数，关键是利用几何性质（相似、勾股、三角函数、面积公式）寻找等量关系，实现“几何量”到“代数式”的翻译。

  3.范围界定：自变量取值范围必须结合几何图形存在性（点在线段、射线、边上运动）和运动过程（谁先到终点）共同确定，这是函数定义域不可或缺的部分。

  4.模型求解：建立函数模型后，利用二次函数的图象与性质（配方求顶点、结合定义域）解决最值等问题。

  环节三：变式迁移，巩固内化（约22分钟）

  探究活动二：动点与图形面积函数（四边形）

  变式问题：接上题，当点P、Q运动时，设四边形APQC的面积为ycm²。

  任务1：求y关于t的函数关系式。

  任务2：是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的一半？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。

  （学生小组合作，教师引导不同思路）

  组1：我们用“总面积减空白”法。y=S△ABC-S△PBQ。S△ABC=24，S△PBQ=(1/2)×PB×QB×sin∠B。PB=10-2t，QB=8-t，sin∠B=AC/AB=6/10=0.6。所以S△PBQ=0.5×(10-2t)×(8-t)×0.6=0.3×(80-26t+2t²)=0.6t²-7.8t+24。则y=24-(0.6t²-7.8t+24)=-0.6t²+7.8t。

  组2：我们直接分割四边形APQC为△AQC和△APC。S△AQC=(1/2)×AQ×CQ？AQ不易直接得。改为△APC和△PQC？△APC面积=(1/2)×AC×（P到AC距离）…似乎更复杂。还是组1的方法简单。

  师：对比两种思路，哪种更具普适性？“补形法”（用整体减部分）在处理不规则图形面积时常常更有效。请验证定义域和函数形式。

  生：y=-0.6t²+7.8t(0<t<4)，是二次函数。

  任务2：转化为解方程-0.6t²+7.8t=12。即t²-13t+20=0，解得t1=(13-√89)/2≈2.8，t2=(13+√89)/2≈10.2。t2不在0<t<4内，舍去。所以存在t≈2.8秒，使四边形面积为△ABC面积的一半。

  师：这里体现了函数与方程思想的结合。先建模（函数），后根据特定要求列方程求解。

  课堂小结与布置思考题（约5分钟）

  师：第一课时，我们掌握了处理单动点或双动点引起线段长、三角形、四边形面积变化的函数建模基本流程。关键是把几何图形运动中的“变”与“不变”分析透，选择合适的代数化路径。课后思考：若上题中点Q的运动速度改为每秒acm(a>0)，其他条件不变，探究△CPQ的面积S是否存在最大值？若有，请求出（用含a的式子表示）；若没有，请说明理由。（为下节课含参问题铺垫）

  （二）第二课时：能力进阶与含参探究（60分钟）

  环节一：反馈提升，引入含参（约15分钟）

  师：我们首先来分析上节课留下的思考题。速度参数a的引入，使得函数模型和结论变得不确定，这正是中考压轴题的常见特点——从定量研究走向定性分析。

  （学生分组讨论，教师点拨）

  组3：我们仿照上节课方法，CQ=at，PD=6-(6/5)t（此式与a无关，因为P点速度未变）。S=(1/2)×at×(6-(6/5)t)=(3a)t-(3a/5)t²。定义域需讨论：P运动时间t<5，Q运动时间t<8/a。所以t<min(5,8/a)。

  师：很好，定义域与参数a有关了。那S的最大值呢？

  生6：S是二次函数，系数A=-3a/5。因为a>0，所以A<0，抛物线开口向下，理论上在顶点处取得最大值。对称轴t=-b/(2A)=(3a)/(2*(3a/5))=2.5。咦？对称轴与a无关！

  生7：但是最大值能否取到，要看顶点横坐标t=2.5是否在定义域内。所以需要比较2.5和min(5,8/a)的大小。

  师：精彩！这就是分类讨论的源头。请同学们系统阐述。

  生8：分三种情况。①当2.5<min(5,8/a)，即2.5<8/a（因为2.5<5恒成立），解得a<3.2时，对称轴在定义域内，最大值在t=2.5处取得，S_max=…（代入计算）。②当2.5≥min(5,8/a)，此时又分：若5≤8/a，即a≤1.6，则定义域为(0,5)，对称轴在右侧，最大值在t=5处取得？不对，t=5取不到（端点开区间），但t可以无限接近5，没有最大值？不对，要考虑实际，t<5，那最大值是当t无限接近5时的极限值？这好像超出了初中范围…③若8/a<5，即a>1.6，且2.5≥8/a，即a≥3.2，则定义域为(0,8/a)，对称轴在定义域右侧或边界上，函数在定义域内单调递增，最大值在t无限接近8/a时取得？同样不是确定的最大值。

  师：同学们的思考已经触及了问题的核心。在实际物理背景下，运动时间t有明确的上限（P或Q到达终点）。我们需要更严谨地处理定义域。通常，定义域是一个左开右闭或左闭右开区间，端点对应运动的起始与终止时刻。假设t=0时开始，当其中一个点到达终点时运动停止。那么定义域是0<t≤T，T为运动结束时间。T由谁先到达决定：P到达时间t1=5，Q到达时间t2=8/a。所以运动总时间t=min(5,8/a)。若8/a<5，即a>1.6，则Q先到，运动在t=8/a时停止；若8/a≥5，即a≤1.6，则P先到，运动在t=5时停止。因此，定义域是(0,T]，其中T=min(5,8/a)。这是一个半开半闭区间。在闭端点处，函数值是可以取到的。

  （师生共同完成分类讨论）

  1.当a≤1.6时，T=5，定义域为(0,5]。对称轴t=2.5在定义域内，故当t=2.5时，S取得最大值S_max=(15a)/4。

  2.当a>1.6时，T=8/a。此时需比较对称轴t=2.5与T=8/a的大小。

    (1)若1.6<a<3.2，则8/a>2.5，对称轴在定义域内，当t=2.5时，S取得最大值S_max=(15a)/4。

    (2)若a=3.2，则8/a=2.5，对称轴与右边界重合，当t=2.5（即t=T）时，S取得最大值S_max=(15a)/4=12。

    (3)若a>3.2，则8/a<2.5，对称轴在定义域右侧，函数在(0,T]上单调递增，当t=T=8/a时，S取得最大值S_max=(1/2)×a×(8/a)×[6-(6/5)×(8/a)]=4×(6-48/(5a))=24-192/(5a)。

  师：通过这个含参问题的探究，我们得到了一个重要的思维提升：在动态几何函数模型中，参数会影响函数的定义域和最值点的位置，必须进行严谨的分类讨论。分类的依据往往是对称轴与定义域端点（特别是动态的端点）的相对位置。

  环节二：综合探究，存在性问题（约30分钟）

  探究活动三：动点与图形形状存在性（直角三角形）

  例题：如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（A在B左），与y轴交于点C。点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点。

  任务1：求A、B、C三点坐标及直线BC的解析式。

  任务2：连接CD、BD。设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值。

  任务3：在抛物线上是否存在点D，使得△BCD是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

  （学生解决任务1、2，教师重点关注任务2中面积表达的多样性及最值求解）

  生9：A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)。直线BC：y=-x+3。

  生10：S△BCD，可以用“水平宽×铅垂高”法。过D作DH//y轴交BC于H。则H(m,-m+3)，D(m,-m²+2m+3)。DH=(-m²+2m+3)-(-m+3)=-m²+3m。水平宽指B、C两点在水平方向的距离，即B、C的横坐标差的绝对值：3-0=3。所以S=(1/2)×3×|DH|=(3/2)(-m²+3m)=-(3/2)m²+(9/2)m。因为D在BC上方，所以-m²+3m>0，得0<m<3。配方求最值，当m=1.5时，S最大=27/8。

  师：“水平宽铅垂高”是求坐标系中三角形面积的利器，尤其当一边不与坐标轴平行时。请务必掌握其原理（转化到以与坐标轴平行的线段为底）。现在看任务3，这是典型的直角三角形存在性问题。我们需要在动态的抛物线背景下，寻找满足特定几何条件（∠BCD=90°或∠CBD=90°）的点D。如何将几何条件“直角”转化为代数条件？

  生11：可以用勾股定理逆定理。假设∠BCD=90°，那么CD²+BC²=BD²。分别用m表示出C、D、B、D的坐标，计算各线段长的平方，列方程。

  生12：也可以用斜率（或向量）垂直的条件。如果两直线垂直，它们的斜率k1·k2=-1（前提是斜率都存在）。直线BC的斜率k_BC=-1。设直线CD的斜率为k_CD，若∠BCD=90°，则BC⊥CD，有k_BC·k_CD=-1，可求k_CD=1。再根据C、D坐标求出k_CD关于m的表达式，令其等于1解方程。同理处理∠CBD=90°的情况。

  师：两种方法都是有效的代数化途径。勾股定理法计算量可能稍大，但思路直接；斜率法简洁，但需注意斜率不存在的情况（本题中不会出现）。请同学们选择一种方法，分组完成计算。

  （学生计算，教师巡视。发现计算错误及时纠正。）

  组4（用勾股法求∠BCD=90°）：C(0,3)，D(m,-m²+2m+3)，B(3,0)。CD²=(m-0)²+[(-m²+2m+3)-3]²=m²+(-m²+2m)²=m²+m^4-4m^3+4m²=m^4-4m^3+5m²。BC²=18。BD²=(m-3)²+(-m²+2m+3-0)²=(m-3)²+(-m²+2m+3)²。列方程CD²+BC²=BD²，化简得…（过程略）最后得到m(m^3-4m^2+6m-4)=0。因m≠0（否则D与C重合），解m^3-4m^2+6m-4=0，尝试因式分解，(m-2)(m^2-2m+2)=0，得m=2（因为m^2-2m+2=0无实根）。所以D(2,3)。

  组5（用斜率法求∠BCD=90°）：k_BC=-1。k_CD=[(-m²+2m+3)-3]/(m-0)=(-m²+2m)/m=-m+2(m≠0)。由BC⊥CD得(-1)×(-m+2)=-1，解得m=1？哦不对，应该是乘积等于-1。所以(-1)×(-m+2)=-1=>m-2=-1=>m=1。等等，和组4结果不一样。

  师：出现了分歧！哪一组可能有问题？请大家检查。

  生13：组5的斜率法计算简单，我验算一下：当m=1时，D(1,4)。此时计算k_BC=-1，k_CD=(4-3)/(1-0)=1，乘积(-1)×1=-1，确实垂直。组4的m=2，D(2,3)，k_CD=(3-3)/(2-0)=0，乘积(-1)×0=0≠-1，不垂直。看来组4的计算可能出错了。

  （师生共同复查组4的勾股方程计算。发现BD²展开时，(-m²+2m+3)²展开有误，应为m^4-4m^3-2m^2?重新计算后，修正方程为…，最终解得m=1。）

  师：计算失误是难免的，关键是掌握方法并养成检查习惯。同样方法可求∠CBD=90°对应的点D。请完成。

  生14：若∠CBD=90°，则CB⊥BD。k_CB=-1，则k_BD=1。k_BD=[(-m²+2m+3)-0]/(m-3)=1。解得方程(-m²+2m+3)=m-3，即m²-m-6=0，得m=3或m=-2。m=3时D与B重合舍去，所以m=-2，D(-2,-5)。

  师：所以存在两个点D满足条件：(1,4)和(-2,-5)。回顾解题过程，我们将“直角”这一几何条件，通过斜率垂直转化为关于动点横坐标m的方程，从而利用代数方法解决了几何存在性问题。这是“几何问题代数化”的典范。

  环节三：归纳升华，形成策略（约15分钟）

  师：通过本节课的含参讨论和存在性探究，我们对这类问题的解决策略有了更深的认识。请同学们以思维导图的形式，总结“动点几何背景下的二次函数综合题”的一般分析框架。

  （学生小组合作绘制，教师展示优秀成果并引导完善）

  通用分析框架：

  1.审题与构图：明确已知定点、定线、动点及其运动轨迹（路径），画出初始及典型位置示意图，必要时利用动态工具辅助想象。

  2.变量与模型：

    (1)选择合适的自变量（如时间t、动点横/纵坐标、某线段长）。

    (2)确定目标因变量（线段长、面积、角度关系等）。

    (3)利用几何性质（全等、相似、勾股、三角比、面积关系等）建立因变量关于自变量的函数关系式（常为二次函数）。这是核心步骤，常需作辅助线（如垂线）构造相似或直角三角形。

  3.定义域确定：结合动点运动范围（点在线段、射线、曲线上的约束）、图形存在性（如三角形非退化）以及实际运动过程（同时出发的相遇、追及问题），确定自变量的取值范围。特别注意含参时的分类讨论。

  4.模型求解与应用：

    (1)最值问题：对二次函数，通过配方或公式求顶点坐标，结合定义域判断最值点（顶点在定义域内？在边界？）。

    (2)存在性问题（等腰、直角、相似、平行四边形等）：

      a)几何法：先尝试利用几何性质确定特殊位置（如利用圆、中垂线、一线三等角模型等），再计算验证。

      b)代数法（通法）：将几何条件（如两边相等、勾股定理、夹角相等、对边平行且相等）转化为关于自变量的方程（组）。若有多个动点，可能需设多个参数。解方程（组），并根据定义域及合理性检验，确定是否存在及具体坐标。

    (3)定值问题：证明某量在运动过程中不变。通常需建立该量的函数表达式，通过化简推导，证明其结果与自变量无关。

  5.检验与作答：将数学解还原到几何情境中，检验合理性（如点是否在指定区域、图形是否成立），并给出最终答案。

  （三）第三课时：拓展应用与创新测评（60分钟）

  环节一：模型拓展，探究新境（约20分钟）

  探究活动四：动点与圆的相关函数问题

  问题：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8。点P从点A出发，沿AD向点D运动，速度为每秒1单位；点Q从点C同时出发，沿CB向点B运动，速度为每秒2单位。当一点到达终点时，两点同时停止运动。连接BP、PQ。设运动时间为t秒。

  任务1：当t为何值时，BP=PQ？

  任务2：以B为圆心，BP长为半径作⊙B。在运动过程中，探究直线PQ与⊙B的位置关系（相交、相切、相离），并给出证明。

  （学生思考，教师引导：任务1是等式问题，直接几何转化列方程。任务2涉及圆与直线的位置关系，核心是比较圆心B到直线PQ的距离d与半径BP的大小。而d和BP都可以用t表示。）

  生15：建立坐标系或以几何法解。设A为原点，AD为x轴正方向，AB为y轴正方向。则B(0,6)，C(8,6)，D(8,0)。P(t,0)（0≤t≤8），Q(8-2t?,等等，Q从C(8,6)向B(0,6)运动，速度2，所以Q(8-2t,6)（0≤t≤4，因为Q先到终点）。BP²=t²+36。PQ²=[(8-2t)-t]²+(6-0)²=(8-3t)²+36。令BP=PQ，即t²+36=(8-3t)²+36，得t²=(8-3t)²，所以t=8-3t或t=3t-8。解得t=2或t=4。t=4时Q正好到B点，此时P(4,0)，PQ是线段？需要检验图形，但数学上解成立。

  师：注意t=4时，Q与B重合，P、Q、B共线，BP=PQ=？从表达式看确实相等，但此时“线段PQ”退化为点B？需注意问题中对“线段PQ”的约定。通常我们认为两点不重合，所以t=4可能需斟酌。但t=2是符合的。

  任务2分析：圆心B(0,6)到直线PQ的距离d。需要先求直线PQ的方程。P(t,0)，Q(8-2t,6)。直线PQ斜率k=(6-0)/((8-2t)-t)=6/(8-3t)。方程：y-0=k(x-t)。化为一般式：kx-y-kt=0。距离d=|k*0-6-kt|/√(k²+1)=|-6-kt|/√(k²+1)。半径r=BP=√(t²+36)。比较d与r的大小关系。由于表达式复杂，可以引导学生思考特殊位置（如t=2时，BP=PQ，此时PQ是⊙B的弦？）。或者转而分析d²与r²的差值的符号。这涉及到复杂的代数运算，但思路是明确的。教师可利用几何画板演示d与r随t变化的关系，让学生直观感受，并指出定量计算是可行的但繁琐，中考中此类问题常设计为直接求相切时刻的t值。

  师：我们简化任务2为：是否存在某个时刻t，使得直线PQ与⊙B相切？若存在，求出t；若不存在，说明理由。这就将动态关系判定问题，转化为了特定的存在性方程问题。请同学们列方程。

  生16：相切时d=r，即d²=r²。代入得[-6-kt]²/(k²+1)=t²+36。其中k=6/(8-3t)。代入化简…（过程复杂，教师可引导利用几何意义：相切时，BP⊥PQ？不，切线垂直于过切点的半径。如果切点恰好是P？不可能，因为P在圆上，但直线PQ不一定。如果切点是P，则BP⊥PQ。计算k_BP×k_PQ=-1？k_BP=(0-6)/(t-0)=-6/t。令(-6/t)×[6/(8-3t)]=-1，得36/[t(8-3t)]=1，即t(8-3t)=36，3t