专题8特殊的平行四边形的性质

第一部分基础技能专题篇(夯实三基)专题8特殊的平行四边形的性质1.

矩形的性质如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC、BD相交

于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长

为

⁠.

2.

菱形的性质(1)菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10，则S菱形ABCD

＝

⁠；(2)菱形不具备的性质是(

B

)A.

四条边都相等B.

对角线一定相等C.

是轴对称图形D.

是中心对称图形40B3.

正方形的性质(1)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边

形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝

90°时，如图①，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图

②，AC＝(

A

).A.

B.

2C.

D.

2

A(2)如图③，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且

BP＝BC，则∠ACP＝

⁠.22.5°

4.

已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、

CD边上，BE＝DF，连接CE、AF.

求证：AF＝CE.

证明：在矩形ABCD中，有AD＝BC，∠D＝∠B＝90°∵BE＝DF∴△ADF≌△CBE∴AF＝CE证明：在矩形ABCD中，有AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，∵BE＝DF∴△ADF≌△CBE，∴AF＝CE5.

菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是

(

D

).A.

10B.

8C.

6D.

5D6.

如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝

BF，EF与BC交于点G.

(1)求证：AE＝CF；(1)证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝CB，∠ABC＝90°∴∠ABE＋∠EBC＝90°∵BE⊥BF∴∠CBF＋∠EBC＝90°∴∠ABE＝∠CBF又∵BE＝BF∴△ABE≌△CBF，∴AF＝CF(1)证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝CB，∠ABC＝90°∴∠ABE＋∠EBC＝90°，∵BE⊥BF∴∠CBF＋∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠CBF又∵BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AF＝CF(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小.(2)∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝35°∵BE⊥BF，BE＝BF∴∠BEF＝∠BFE＝45°∴∠EGC＝∠EBC＋∠BEF＝35°＋45°＝80°解：(2)∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝35°∵BE⊥BF，BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE＝45°∴∠EGC＝∠EBC＋∠BEF＝35°＋45°＝80°7.

如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，

点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落

在点D处，BD交OA于E.

(1)求证：△ODE≌△BAE；(1)证明：∵四边形OABC是矩形∴OC＝AB，∠OCB＝∠OAB＝90°由折叠性质可知：OD＝OC，∠D＝∠OCB

∴OD＝AB，∠D＝∠OAB又∵∠OED＝∠BEA，∴△ODE≌△BAE(2)求点E的坐标.解：(2)∵A(8，0)，C(0，4)，∴OA＝8，AB＝OC＝4

设OE＝x，则AE＝OA－OE＝8－x由(1)已证△ODE≌△BAE，∴BE＝OE＝x.在Rt△ABE中，有AE2＋AB2＝BE2∴(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴E(5，0).8.

如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(3，

0)、(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是

⁠

⁠.(－5，

4)

9.

如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的

边AB、AD上，连接BF、DF.

(1)求证：BF＝DF；(1)证明：在正方形ABCD中，有AB＝AD在正方形AEFG中，有∠AEF＝∠AGF＝90°，AE＝AG＝EF＝FG∴∠BEF＝∠DGF＝90°，AB－AE＝AD－AG，即BE＝DG∴∠BEF≌△DGF，∴BF＝DF

10.

如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形

ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长.解：设BE＝x，则AE＝CE＝16－x在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2∴82＋x2＝(16－x)2，解得x＝6，∴AE＝16－6＝10由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE＝10过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6∴FH＝AF－AH＝10－6＝4

11.

如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在AB、AD

上，BE＝DF，连接AC、EF，求证：AC⊥EF.

证明：∵AB＝AD，BE＝DF，∴AE＝AF，又∵∠BAC＝∠DAC，∴AC⊥EF.

证明：∵AB＝AD，BE＝DF，∴AE＝AF，又∵∠BAC＝∠DAC，∴AC⊥EF.

12.

如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，F为CD

上一点，∠EBC＝∠BEF.

(1)求证：BE平分∠AEF；解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵∠EBC＝∠BEF，∴∠AEB＝∠BEF，∴BE平分∠AEF；解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵∠EBC＝∠BEF，∴∠AEB＝∠BEF，∴BE平分∠AEF；(2)求证：AE＋CF＝EF；解：(2)证明：过点B作BH⊥EF于点H，连接BF.

解：(2)证明：过点B作BH⊥EF于点H，连接BF.

∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠BHE＝90°，∵BE平分∠AEF，∴BH＝BA＝BC，∴Rt△HBE≌Rt△ABE(HL)，∴AE＝EH，同理Rt△BFH≌Rt△BFC(HL