《基础工程力学》-第四章材料的强度与变形

第一节杆件拉伸式的强度与变形一、强度条件

为了保证构件安全工作，构件横截面上的工作应力不能超过材料的许用应力。这一条件称为强度条件。

拉压杆的强度条件为返回下一页第一节杆件拉伸式的强度与变形【例4-1】某油压机的液压缸如图4-1所示。已知缸内工作油压p=10.5MPa，油缸内径D=200mm，活塞杆直径d=44mm，活塞杆材料的许用应力为[σ]=316MPa，试校核活塞杆的强度。解(1)计算活塞杆的轴力(2)校核强度故活塞杆强度足够上一页返回下一页第一节杆件拉伸式的强度与变形【例4-4】用绳索起吊钢筋混凝土管，如图4-4(a)所示，管子的重量W=10kN绳索的直径d=40mm，容许应力[σ]=10MPa，试校核绳索的强度。解(1)计算绳索的轴力以混凝土管为研究对象，画出其受力图如图4-4(b)所示，根据对称性易知左右两段绳索轴力相等，记为N1，根据静力平衡方程有计算得上一页返回下一页第一节杆件拉伸式的强度与变形(2)校核强度故绳索满足强度条件，能够安全工作。上一页返回下一页第一节杆件拉伸式的强度与变形二、拉压杆的变形和应变杆件在轴向外力作用下，杆的长度和横向尺寸都将发生改变，将杆件沿轴线方向的伸长(或缩短)量，称为轴向变形或纵向变形，将杆件横向尺寸的缩短(或伸长)量，称为横向变形。如图4一5(a)、(b)所示圆截面等直杆，设杆原长为l，直径为d，截面面积为A，在轴向外力F作用下，杆长由l变为l1，直径由d变为d1，则杆件的轴向变形为横向变形为上一页返回下一页第一节杆件拉伸式的强度与变形

杆件拉伸时，△l为正，△d为负;压缩时，△l是为负，△d为正。

△l与△d均为杆件的绝对变形，其大小与原尺寸有关，为了准确地反映杆件的变形情况，消除原尺寸的影响，需要计算单位长度的变形量即相对变形，称为线应变。对于轴力为常量的等截面直杆，杆的纵向变形沿轴线均匀分布，故其轴向线应变为横向线应变为上一页返回第二节圆轴扭转时的强度与变形一、圆轴扭转时横截面上的应力

1.变形现象及假设在研究了圆轴扭转时的扭矩后，下面研究圆轴扭转时横截面上的应力。先从观察圆轴的扭转变形着手，取一等截面圆轴，将左端固定，并在圆轴表面划出一组平行于轴线的纵向线和一组表示圆截面的圆周线，如图4-6(a)所示。在轴的右端面作用一力偶使其变形，如图4-6(b)所示。在小变形的情况下可以看到:

各圆周线的形状、大小及间距均无变化，但绕轴线转动了不同的角度。各纵向线仍近似为直线，只是倾针了同一角度γ，如图4-6(c)所示。返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形由此可得下面结论:由于相邻横截面间距不变，故横截面上没有正应力;由于相邻横截面产生绕轴线的旋转错动，故横截面上有切应力;由于圆周线半径不变，故横截面上切应力的方向垂直于半径。2.横截面的应力可以证明，横截面上任一点的切应力计算公式为由上式可见:各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布规律如图4-7(b)所示上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形显然，圆轴扭转时，横截面边缘上各点的切应力最大，其值为若令则轴的最大切应力τmax上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形3.圆轴截面的极惯性矩Ip

，和抗扭截面系数Wp

极惯性矩Ip与抗扭截面系数Wp表示了截面的儿何性质，其大小与截面的形状和尺寸有关。其横截面如图4-8所示它们的极惯性矩和抗扭截面系数按下式计算:(l)实心圆轴设直径为D，则上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形(2)空心圆轴设外径为D，内径为d,α=π/D，则上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形【例4-5】

如图4-9所示，等截面实心圆轴受一对外力偶作用发生扭转时，横截面上的扭矩T=500N·m,横截面的直径D=50mm。试求该截面上A点(σA=20mm)的切应力及轴的最大切应力。解该截面上A点的切应力得因该轴是等截面轴，故最大切应力发生在最大扭矩所在轴段截面的外边缘上，可得上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形二、圆轴扭转的强度条件和应用与轴向拉(压)杆的强度计算相类似，圆轴扭转时的强度条件是最大工作切应力小于或等于材料的许用切应力「τ]，即圆轴扭转时材料的许用切应力「τ]值是根据试验确定的，可查阅有关设计手册。它与许用拉应力有如下关系:

塑性材料脆性材料上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形

圆轴类零件由于考虑到动载荷等原因，许用切应力的值一般较静载荷作用下的许用拉应力值要低。应用圆轴的扭转强度条件(式4-13)，可以进行强度校核、设计截面尺寸、确定许可载荷三类问题的计算。【例4-6】传动轴为实心圆轴，轴径D=50mm，材料的许用切应力「τ]=100MPa当主动轮A在轴一端和主动轮A在两从动轮之间时，分别校核此轴的强度。解(1)当主动轮A在轴一端时，|T|=2865N·m上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形(2)当主动轮A在两从动轮之间时，|T|=1910N·m

三、圆轴扭转的变形及应用

1.圆轴扭转时的变形圆轴扭转时，任意两截面的相对转角甲，称为扭角，它反映了扭转变形的大小。由观察到的圆轴扭转变形可以看出:两横截面相距越远，它们的相对扭角越大，如图4-13所示。上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形

与轴向拉(压)杆的变形相类似，可以证明:等直圆轴的扭角φ的大小与扭矩T及轴的长度L成正比;与横截面的极惯性矩IP成反比。引人比例常数G，有由此可见，当扭矩T及杆长L一定时，GlP>越大，扭角φ就越小，GlP反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭矩值有变化或直径不同，则应分段计算出相应各段的扭角，然后叠加。工程中常用单位长度扭角φ’来度量扭转变形的程度，即上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形2.圆轴扭转的刚度条件及应用为了保证轴安全正常地工作，除要满足强度条件外，还要求轴不产生过大扭转变形。对轴的扭转变形必须加以限制，也就是要满足刚度条件，即上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形[例4-10]

如图4-14所示传动轴为实心圆轴，已知B轮输人转矩MB=1432.5N.m,A轮输出转矩MA=620.8N.m，轴材料的许用切应力「τ]=60MPa，单位长度许可扭角切变模量G=80GPa。试设计该轴的直径。解(1)计算最大扭矩上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形(2)根据强度条件设计轴径取D=42mm(3)校核刚度。上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形3.提高圆轴强度和刚度的措施(1)提高圆轴强度的措施减小最大扭矩Tmax采用合理截面(2)提高圆轴刚度的措施由圆轴的刚度条件上一页返回下一页第二节圆轴扭转时的强度与变形

扭角φ与扭矩T成正比，与轴的抗扭刚度GIP成反比。降低轴的最大扭矩Tmax，增大抗扭刚度GIP

，均可使扭转变形的扭角减小，从而达到提高轴的抗扭刚度的目的。采用极惯性矩IP较大的截面形状，增大GIP

，可以使圆轴的变形减小。选用G值较大的材料也可提高轴的刚度，但材料的选择常常不只是从提高刚度来考虑，由于各种钢材的G值很接近，如果选用优质钢材来提高轴的刚度，则增加成本，经济性较差。上一页返回第三节梁的强度和变形

一、梁横截面的正应力(纯弯曲)

一般情况下，梁弯曲变形时，横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲称横力弯曲(剪切弯曲)。若梁的某一截面或某段仅有弯矩，剪力为零的弯曲称为纯弯曲。

1.纯弯曲时横截面的正应力分析梁弯曲时横截面的应力，取一矩形截面梁，在梁的表面上作出与梁轴线平行的纵向线aa,bb和与纵向线垂直的横向线nn,qq，如图4-15(a)所示，分别代表平行于梁轴线的纵向纤维和横截面的边枢线。然后，在梁两端施加一对位于纵向对称面的力偶，使梁发生纯弯曲变形，如图4-15(b)所示。返回下一页第三节梁的强度和变形

由于变形的连续性，在凹凸边中间必有一层长度不变，这层称为中性层。中性层与横截面的交线，称为中性轴，如图4-16所示。可以证明，中性轴一定通过横截面的形心。变形时，横截面绕中性轴发生相对转动，中性轴上、下两侧，一侧受拉，另一侧受压。2.横截面上的应力经严密的推导(本书从略)，横截面上任一点的正应力计算公式为上一页返回下一页第三节梁的强度和变形由式(4-17)可得令可得上一页返回下一页第三节梁的强度和变形二、梁的合理截面及变截面梁

1.梁的合理截面从梁的强度要求来看，根据强度条件所选择的梁截面尺J‘，仅仅在若干危险截面上的危险点有可能使其工作应力达到许用应力，而在其他危险截面及其危险截面上的非危险点处，其工作应力比许用应力低许多。在选择材料相同及外力不变的条件下，由正应力强度条件可知，若截面面积不变，抗弯截面模量较大者梁的承载能力高。另一方面，截面面积愈小，自重也小，引起的附加自重应力也小，还有利于安装和现场施工。一般地把梁的抗弯截面模量Wz与其横截面面积A之比作为选定合理截面形状的一个指标。在A不变的条件下，W愈大愈好。上一页返回下一页第三节梁的强度和变形矩形截面的Wz/A比值为截面的形状不同，Wz也就不同，叫见用比值Wz/A来衡量截面形状的合理与经济性具有叫可比性。

上一页返回下一页第三节梁的强度和变形

合理性原则也可以从梁截面的正应力分布规律来说明。在中性轴附近，正应力较小，而在梁截面距中性轴愈远处，正应力愈大。这说明布置在中性轴附近的材料不能充分发挥它们的作用，而把材料布置在距中性轴愈远的地方，则愈能充分发挥它们的作用。这就是在工程实际中，经常采用工字形、圆环形、箱形等截面形式的力学原理，如图4-18(a)、(b)、(c)。上一页返回下一页第三节梁的强度和变形2.变截面梁梁的弯矩图直观地反映了弯矩沿梁轴线的变化情况，梁每一个截面上的最大正应力是随弯矩值变化而变化的;若在弯矩较大的梁段采用较大的截面，在弯矩较小的梁段采用较小的截面，就得到截面尺寸沿梁轴变化的变截面梁。这样可以达到优化截面、节省材料的目的。倘若能让梁的每一个截面上都能达到相等的最大正应力，且等于材料的许用正应力，此时变截面梁成为最理想的形式—等强度梁，由上一页返回下一页第三节梁的强度和变形得到截面的抗弯截面系数应满足下面以矩形截面等强度梁为例，说明如何确定W(x)，如图4-20。设简支梁跨度为l,梁上中点作用有集中荷载P,假设梁截面的宽度b=b0为常数，高度h=h(x)是可以沿轴线变化的，则距A端为x截面上的弯矩上一页返回下一页第三节梁的强度和变形抗弯截面系数为代人式(4-18)，则应有当x=0时，h(x)=0。很明显两端处的高度不能为零，利用该处的剪应力强度条件可以确定该处的最小高度hmin上一页返回下一页第三节梁的强度和变形由即可求得上一页返回下一页第三节梁的强度和变形三、梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件是:梁的最大弯曲正应力不超过材料的许用应力，即对抗拉和抗压性能相同的塑性材料(如碳钢)，其强度条件为上一页返回下一页第三节梁的强度和变形

对抗拉性能与抗压性能不同的脆性材料(如铸铁)，应使最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力同时不超过材料的许用拉应力和许用压应力。即上一页返回下一页第三节梁的强度和变形[例4-11]

如图4-22所示简支梁AB，跨度l=5m，受载荷集度为q=4kN/m的均布力作用。梁的材料为木材，木材顺纹许用应力[τ]=10MPa，梁的横截面为矩形，高度比h/b=2。试设计截面尺寸。解(1)画弯矩图，判断危险截面。最大弯矩在梁跨中点截面上，故为危险截面。最大弯矩值为(2)设计截面尺寸。由强度条件上一页返回下一页第三节梁的强度和变形由矩形截面抗弯截面系数上一页返回下一页第三节梁的强度和变形四、梁弯曲时的变形1.挠曲线及其方程梁发生弯曲变形时，梁的轴线由直线变为连续而光滑的曲线，称为挠曲线。挠曲线的函数表达式称为挠曲线方程，在图4-26所示坐标系中，挠曲线方程为w=f(x)2.梁变形的度量—挠度和转角挠度和转角是度量梁变形的两个基本物理量。如图4-26所示的悬臂梁为例，梁变形前任一横截面n-n的形心C，变形后移至C1点，CC1称为C点的挠度。略去C点沿轴线方向的位移，截面形心沿垂直于轴线方向的位移即该截面形心的挠度，以w表示。在图示坐标中，规定向上的挠度为正，向下的挠度为负。上一页返回下一页第三节梁的强度和变形3.变形表求梁的变形通过繁杂的数学运算，可得梁在各种载荷作用下变形。现将梁在常见的简单载荷作用下的变形列于变形表4-2中。表中EI为梁的抗弯刚度，反映梁抵抗弯曲变形的能力。

【例4-15】若已知标准双杠的抗弯刚度EI，运动员的重量W，双杠尺寸，求运动员在外伸端和双杠中点时的最大挠度。解(1)运动员在外伸端时，如图4-28(a)所示，查相关表知外伸端挠度最大。上一页返回下一页第三节梁的强度和变形(2}当运动员位于双杠中点时，如图428(b)所示，查表知故当运动员位于外伸端时梁的挠度最大上一页返回下一页第三节梁的强度和变形五、提高梁弯曲强度的措施提高梁的强度，就是要在安全性能好、材料消耗少的前提下，尽可能提高梁的承载能力。由梁的正应力强度条件上一页返回下一页第三节梁的强度和变形1.减小最大弯矩(1)合理配置支座AB梁受均布力作用，若采用图4-29(a)所示的支座配置，则最大弯矩为若将两端支座各向里移动0.2L，如图4-29(b)所示，则最大弯矩为上一页返回下一页第三节梁的强度和变形(2)合理配置载荷承受集中力作用的简支梁，力F作用于梁的中点时，如图4-31(a)所示，则最大弯矩值Mmax=FLl4;若载荷靠近支座作用，如图4-31(b)所示，则Mmax=5FL/36。相比之下，后者的最大弯矩减小近一半，而且随着载荷离支座距离的缩小而继续减小。此外，若结构允许把集中力F分散成两个较小的集中力F/2，如图4-32(a)所