教学材料《静力学》-第14章

14.1点的运动14.1.1自然法在点的运动中，如果点的运动轨迹已知，则在轨迹上任选一点为原点，并规定点的一侧为正向，则另一侧必为负向。在某瞬时，动点的位置可由它至原点的轨迹弧长度来确定。这种以点的轨迹作为自然坐标轴来确定点的位置的方法称为自然法。下一页返回14.1点的运动1.运动方程设动点沿已知轨迹曲线运动，在轨迹上任选一点为参考原点，并沿轨迹在原点两侧沿轨迹规定正负方向，则点在任一瞬时的位置可由具有正负号的弧长来确定，显然，弧长是代数量，称为动点的弧坐标或自然坐标，用、表示。动点沿轨迹运动时，其弧坐标将随时间而改变，因此弧坐标是时间的单值连续函数，即S=F(t)下一页返回上一页14.1点的运动用自然法描述点的运动时，必须具备两个条件:(1)已知运动轨迹

(2)运动方程已知或可以建立下面介绍路程、位移以及弧坐标三者之间的关系。路程是指在某一时间间隔内动点沿轨迹所走过的弧长。它表示在某一时间间隔内动点所走过的距离的绝对值，因此路程随时间的增加而增加，永远是正值，与参照原点的选择无关，弧坐标与路程的概念是不同的，弧坐标表示某瞬时动点在轨迹上的位置，是个代数量，它与参照原点的选择有关。下一页返回上一页14.1点的运动在图14-1中，动点M沿轨迹单向运动，在瞬时t1，动点运动到M1处，弧坐标为s1;，在瞬时t2，动点运动到M2处，弧坐标为S2。在时间间隔t2-t1内，动点的路程所以，当动点沿轨迹单向运动时，某时间间隔内动点弧坐标的增量的绝对值等于路程。动点运动方向改变时路程要分段计算。位移是指动点位置的移动，常用由起始位置指向终止位置的有向线段表示。下一页返回上一页14.1点的运动

2.点的速度速度是表示点运动的快慢程度。设动点沿已知轨迹运动，如图14-1所示，在瞬时t1，动点的弧坐标为s1，在t1-t2时间间隔内，动点由M1运动到M2，矢量是动点在△t，时间内的位移，而位移与时间之比，称为动点在△t时间内的平均速度，以v*表示，即下一页返回上一页14.1点的运动平均速度只能大致说明点在△t时间内的运动情况，显然△t越小平均速度越接近于动点的真实速度。当△t趋于零时，M2趋近于M1,的大小趋近于零，平均速度趋近于某一极限速度值，该极限值就是动点在该位置处的瞬时速度:下一页返回上一页14.1点的运动因为速度是矢量，所以不仅要确定它的大小，还要确定它的方向，平均速度的方向与位移的方向相同，瞬时速度的方向则应与位移趋近于零时的极限方向相同。当∆t趋于零时，M2趋近于M1,的极限方向与M1点的一切线方向重合，指向运动的一方，所以动点瞬时速度方向是沿着轨迹上该点的切线方向，并指向运动的方向。综上所述，瞬时速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数，其方向沿轨迹的切线方向并指向动点运动方向。若v>0，动点沿轨迹的正方向运动;若v>0，则动点沿轨迹的负方向运动。下一页返回上一页14.1点的运动3.点的加速度加速度是表示速度对时间的变化率。一般情况下，动点沿平面曲线运动时，其速度的大小和方向都会发生变化。设动点沿已知的平面曲线运动，在t时刻位于M点，其速度为v经时间间隔∆t，动点运动到M1，其速度为v1;，速度大小和方向都发生变化。一般把加速度分解为两个分量。我们把仅由于速度大小变化引起的速度增量，称为切向加速度，用

表示，它是加速度沿切线方向的一个分量，它表明速度的大小对时间的变化率。可以证明，切向加速度

的大小为下一页返回上一页14.1点的运动。向加速度的方向沿轨迹上点的一线方向，当时，向加速度指向轨迹的正向;当时向加速度指向轨迹的负向。但是一向加速度的正负不能说明点是做加速运动还是做减速运动，只有当切向加速度与速度同号时，点做加速运动，反之，两者异号时，点做减速运动。加速度的另一个分量表示仅由于速度方向改变所引起的速度的增量，这个分量称为法向加速度，也称向心加速度，并以

表示，它是加速度沿法线方向的一个分量，它表明速度的方向对时间的变化率。下一页返回上一页14.1点的运动可以证明，法向加速度的大小为式中，

是曲线上M点处的曲率半径，，k是曲线在M点处的曲率，它表明曲线在M点处l一走的弯曲程度，可由高等数学知识求得。对于圆来说下一页返回上一页14.1点的运动概括起来，点的切向加速度

表明了速度大小的变化率，其大小为dv/dt，方向沿轨迹的一切线;法向力口速度an表明了速度方向的变化率，其大小为v2/p,方向沿轨迹上点的曲率半径并指向曲率中心;点的全加速度a等于切向加速度

和法向加速度an

的矢量和，如图14-2所示。即因为互相垂直，故全加速度的大小为下一页返回上一页14.1点的运动全加速度的方向可由所夹的锐角a来确定，即综上所述，加速度可以分解为切向加速度和法向加速度，切向加速度描述了速度大小随时间的变化率，法向加速度描述了速度方向随时间的变化率，切向加速度与法向加速度在任一瞬时刻都互相垂直。全加速度是切向加速度和法向加速度的矢量和。下一页返回上一页14.1点的运动根据切向加速度和法向加速度的不同取值，点的运动有下列几种特殊情况。(1)变速直线运动:由于直线的曲率半径，因此法向加速度an=0，速度方向也没有改变，全加速度值(2)匀速曲线运动:由于速度为常值，因此，切向加速度，全加速度(3)匀速直线运动:由于速度为一常值，速度的大小和方向不变，因此，全加速度a=0下一页返回上一页14.1点的运动(4)匀变速直线运动:当点做匀变速直线运动时，

为常量,an为零，若已知运动的初始条件，即当t=0时，v=v0S=So，由dv=adt,ds=vdt，积分可得其速度与位移方程为下一页返回上一页14.1点的运动

(劝匀变速曲线运动:当点在做匀变速曲线运动时，at为常量，。若已知运动的初始条件，即当t=0时，v=vo,s=s0，由dv=a0dt,ds=vdt，积分得下一页返回上一页14.1点的运动14.1.2直角坐标法1.运动方程设动点M在平面内做曲线运动，取直角坐标系Oxy作为参照系，则M点在任一瞬时t的位置可由其坐标x，y来确定。如图14-3所示，当动点M运动时，其坐标x，y随时间而变化，因此动点坐标x，y是时间的单值连续函数，即下一页返回上一页14.1点的运动式(14-10)称为点的直角坐标形式的运动方程。由这个方程可以求出任一瞬时动点的坐标x，y，从而便确定了该瞬时点在空间的位置。将不同瞬时的t值代入用直角坐标表示的点的运动方程，求出相应的坐标值，即确定了各瞬时点在空间的位置并将它们连成光滑曲线，就可得到动点的运动轨迹。此外，还可以消去式中的参变量t，得到两坐标间的函数关系由式(14-11)即可画出直角坐标系中动点的轨迹。下一页返回上一页14.1点的运动2.速度设点M在平面内做曲线运动，其运动方程为

如图14-4所示，在瞬时t，动点位于M(x,y);经时间△t动点运动到M‘(x’,y’)，因此在△t内动点的位移为，在瞬时t的速度为下一页返回上一页14.1点的运动由于微位移的极限方向为曲线的切线方向，与轴的夹角的极限值等于M点处切向速度与x轴的夹角。△s在x，y轴上的投影为△x，△y，则于是可得动点在x，y轴方向的速度投影认vx,vy分别为下一页返回上一页14.1点的运动即式(14-12)说明，动点的速度在直角坐标系上的投影，等于其相应坐标对时间的一阶导数。因此，如果已知以直角坐标表示的动点运动方程(如图14-5所示)，即可求得速度的大小和方向下一页返回上一页14.1点的运动3.加速度如图14-6(a)所示，设点在平面内做曲线运动，在瞬时t，动点位于M，其速度为v，经时间∆t，动点位于M'，速度为v’，则在△t时间内动点的速度改变量为动点在瞬时t的加速度为下一页返回上一页14.1点的运动与速度投影的分析过程相类似，由于△v在x，y轴上的投影分别为△vx，△vy且可得加速度在x，y轴上的投影为下一页返回上一页14.1点的运动即式(14-16)说明:动点的加速度在直角坐标轴上的投影，等于其相应速度投影对时间的一阶导数或坐标对时间的二阶导数。下一页返回上一页14.1点的运动若已知ax,ay的大小，如图14-6(b)所示，即可求出加速度的大小和方向分别为下一页返回上一页14.1点的运动例14-1如图14-7(a)所示摇杆套环机构，A为固定铰链，将AB杆与半径为R的固定圆环套在一起，杆AB与铅垂线夹角求点M的运动方程、速度、加速度。解法1:用直角坐标法求解，如图14-7(b)建立直角坐标系Oxy(1)建立点M的运动方程，由图中几何关系，建立运动方程为下一页返回上一页14.1点的运动(2)求点M的速度。下一页返回上一页14.1点的运动((3)求点M的加速度。点M加速度的大小和方向为下一页返回上一页14.1点的运动解法2:用自然法求解。以套环为研究对象，由于环的运动轨迹已知，故采用自然法求解。以圆弧上O’点为弧坐标原点，顺时牛一为弧坐标方向，建立弧坐标轴，如图14-7(a)所示。

(1)建立点的运动方程，由图中几何关系建立运动方程为(2)求点M的速度。下一页返回上一页14.1点的运动(3)求点M的加速度。点M的全加速度为其方向沿MO指向O。下一页返回上一页14.1点的运动14.1.3空间点的运动前面用直角坐标法和自然法在研究点的运动规律时，都是以平面问题为例。对于空间问题，其研究方法与平面问题基本相同，可以把平面问题中的理沦和方法向空间加以延仲和扩展，就可适用于空间问题。用直角坐标法研究空间点的运动规律时，在平面直角坐标系的基础上加一个二轴，将直角坐标系变为空间坐标系，其运动方程相应地变为下一页返回上一页14.1点的运动同理，其速度变为下一页返回上一页14.1点的运动其加速度变为在用自然法研究空间点的运动规律时，把曲线上动点及与动点相近的点的切线所确定的平面称为密切面;与点的切线相垂直的平面称为法平面;两面的交线称为主法线。法平面内与主法线垂直的线称为副法线。我们把切线用:轴表示;主法线用，i轴表示;副法线用b轴表示。下一页返回上一页14.1点的运动用自然法研究空间点的运动规律时，用n,h轴作为坐标轴，其运动方程为其速度为由于加速度沿动点轨迹副法线方向的投影为零，因此其加速度为返回上一页14.2刚体的基本运14.2.1刚体的平行移动在运动过程中，刚体上任一直线始终与它原来的位置保持平行，这种运动称平行移动，简称平动。例如机车车轮连杆的运动，如图14-9所示;曲柄滑块机构中滑块召的运动，如图14-10所示。刚体平动过程中，其上各点的轨迹若是直线，则称刚体做直线平动，如图14-10所示滑块的运动;其上各点的轨迹若是曲线，则称刚体做曲线平动，如上述机车车轮连杆的运动。下面研究平动刚体上各点的运动轨迹、速度、加速度的特征。在平动刚体上任取两点A,B，其运动轨迹如图14-11所示。下一页返回14.2刚体的基本运由图14-11可知，在任一时间间隔内，两点具有相同的位移，从而在任何瞬时，两点的速度都相同。即由于故下一页返回上一页14.2刚体的基本运因为在任何瞬时，A点和召点速度完全相同，所以其速度变化情况也完全相同，因而在任何瞬时，A,B两点的加速度也必然相同，即由于A,B两点是任意选取的，所以可以得出结沦:刚体做平动时，刚体上各点的速度和加速度完全相同，刚体上任一点的运动都能代表整个刚体的运动。因此，在研究刚体的平动时，可用刚体上任一点的运动来表征，刚体的平动问题可归结为点的运动问题来研究。下一页返回上一页14.2刚体的基本运14.2.2刚体绕定轴转动1.转动方程为确定转动刚体在空间的位置，过转轴二作一固定平面丁并选此平面作为参照面，再通过轴线作一假想动平面11固结在转动刚体上，如图14-12所示，这两个平面间的夹角，称为刚体的转角转角，是代数量。转动刚体的位置由转角确定对应一个确定转角，刚体便有一个确定的位置。刚体上各点在相应圆周上所走弧长对应的中心角均等于转角。刚体转动时，转角随时间t而变化。即转角，是t的单值连续函数即下一页返回上一页14.2刚体的基本运式(14-21)称为刚体的转动方程。它表示刚体转动的规律，由转动方程可以确定任一瞬时的转角，也就可以确定任一瞬时刚体在空间的位置。转角的单位为弧度(rad)，规定逆时n一转动时转角为正值，顺时n一转动时转角为负值。

2.角速度角速度是表示刚体转动快慢和转动方向的物理量，常用符号表示，刚体定轴转动的角速度等于转角对时间的一阶导数，即下一页返回上一页14.2刚体的基本运角速度是代数量，它的正负表示刚体的转动方向，当时，刚体逆时牛一转动;反之则顺时牛一转动，角速度的单位是:ads/s

但在工程上常以r/min表示转动的快慢，称为转速，并以表示，则角速度n与转速之间的关系为下一页返回上一页14.2刚体的基本运3.角加速度角加速度是表示角速度随时间的变化率，常用符号表示。刚体角加速度的大小等于角速度对时间的一阶导数或转角对时间的二阶导数:角加速度是代数量。当时，的代数值随时间增大而增大;若，的代数值随时间增大而减小。角加速度的单位是:rad/s2.下一页返回上一页14.2刚体的基本运4.定轴转动刚体上各点的速度、加速度前面研究了定轴转动刚体整体的运动规律，在工程中，还往往需要了解刚体上各点的运动情况。例如，为了保证机器安全运转，在设计带轮时，需要知道轮缘的速度;在车削和铣削工件时，也必须选择合适的切削速度，即转动工件表面上点的速度。下面将讨沦转动刚体上各点的速度、加速度与整个的运动规律之间的关系。下一页返回上一页14.2刚体的基本运刚体定轴转动时，刚体内除转轴以外的各点都做圆周运动，其运动平面与转轴垂直。圆心是运动平面与转轴的交点，转动半径是点到其运动平面的圆心的距离。假设刚体绕z轴转动，其角速度为，角加速度为，如图14-13所示，刚体上M点的速度、切向加速度、法向加速度分别为下一页返回上一页14.2刚体的基本运求得了切向加速度、法向加速度之后，就可求得全加速度的大小和方向。下一页返回上一页14.2刚体的基本运综上所述，可得如下结沦:(1)转动刚体上各点的速度、切向加速度、法向加速度及全加速度均与其转动半径成正比，同一瞬时转动半径上各点的速度，加速度分布规律如图14-14所示。(2)转动刚体上各点的速度方向垂直于转动半径，其指向与角速度的转向一致。(3)转动刚体上各点的切向加速度垂直转动半径，其指向与角加速度转向一致。(4)转动刚体上各点的法向加速度方向沿半径指向转轴。(5)任一瞬时各点的全加速度与转动半径的夹角相同。下一页返回上一页14.2刚体的基本运5.匀速及匀变速转动匀速及匀变速定轴转动是工程中常见的情况，可作为刚体绕定轴转动的特殊情况。(1)匀速定轴转动若刚体做定轴转动时角速度不变，则称为匀速转动。仿照点的匀速运动公式，可得下一页返回上一页14.2刚体的基本运(2)匀变速转动刚体做定轴转动时，角加速度为一常量，此运动称为匀变速转动。仿照点的匀变速运动公式，可得下一页返回上一页14.2刚体的基本运刚体绕定轴转动的基本公式与点的运动的基本公式，在性质和形式上都是相似的。例14-3某汽轮机启动时，转子按转动方程转动，式中，的单位为rad,t的单位为s。试求:(1)启动后第3、时的角加速度;(2)由静止至n=1440r/min所需的时间和转子转过的转数。下一页返回上一页14.2刚体的基本运解:(1)求第3、时的角加速度。由转动方程求一次导数可得角速度角加速度为当t=3s时下一页返回上一页14.2刚体的基本运(2)求由静止至n=1440r/min所需时间。由于将上式代入所得的角加速度式中得所需的时间t下一页返回上一页14.2刚体的基本运(3)求转过的转数。由车专动方程得换算成转数为返回上一页14.3点的合成运动14.3.1点的合成运动的概念在点的运动学中，我们研究了动点对于一个参照系的运动，但是在工程中，常常遇到同时用两个不同的参照系去描述同一点的运动的情况，同一点对于不同的参照系所表现的运动特征虽然不同。但之间又存在联系，例如，无风下雨时雨滴的运动，对于地面的观察者来说，雨滴是垂直向下的，但是对于正在行驶的车上的观察者来说，雨滴是倾斜向后的，如图14-16所示。所以说，动点(雨点)对于不同的观察者来说，其运动特征是不同的，这就是运动的相对性。下一页返回14.3点的合成运动为了能用数学的方法描述物体的运动，常在参照物上固连一坐标系，该坐标系称为参照系。我们把固定于地球表面的参照系称为静参照系，简称静系，常用Oxy表示;而把相对于地面运动的参照系称为动参照系，简称动系，常用O’x’y‘表示。由运动的相对性可知，动点相对于不同的坐标系有不同的运动，其中动点相对于静参照系的运动称为绝对运动;动点相对于动参照系的运动称为相对运动;动参照系相对于静参照系的运动称为牵连运动。如在上面的例子中，如果把行驶的车取为动参照系，则雨滴相对于车沿着与铅直线成a角的直线运动是相对运动，相对于地面的铅直线运动是绝对运动，而车相对地面的直线运动则是牵连运动。下一页返回上一页14.3点的合成运动从上述定义可知，动点的绝对运动和相对运动都是动点的运动，只是相对的参照系不同而已，而牵连运动是动参照系相对于静系的运动，也就是固连着动参照系的刚体的运动，其运动可能是平动、转动或者是其他较复杂的运动。一般而言，做牵连运动的物体上的各个点的运动速度是不相同的，因此，我们引人一个非常重要的概念一牵连点。所谓牵连点，就是在某一瞬时，动系上与动点位置相重合的点。随着动点在动系平面上的运动，牵连点的位置在不断地改变。不同的瞬时有不同的牵连点，各个牵连点在动系平面上所形成的连续曲线即是相对轨迹。下一页返回上一页14.3点的合成运动桥式起重机如图14-17所示，静系固连在地面上，动系固连在起重机小车上，当小车起吊重物并同时水平移动时，重物(动点)相对于地面(静系)的运动为绝对运动，重物(动点)相对于小车(动系)的运动是相对运动，而小车(动系)相对于地面(静系)的运动是牵连运动。在分析上述三种运动时，首先必须确定动点和动参照系，绝对运动可以认为是由相对运动与牵连运动合成的运动，因此相对运动和牵连运动称为分运动，绝对运动是它们的合成运动。下一页返回上一页14.3点的合成运动动点和动参照系的选择必须遵循以下原则:(1)动点和动参照系不能选在同一物体上，即动点对于动参照系必须有相对运动。

(2)动点、动系的选择应以相对轨迹易于辨认为原则，机械中两构件在传递运动时，常以点相接触，如果某一物体上的点M始终与另一物体处于接触位置，则M点称为常接触点;另一个物体的接触点是时刻变化的，称为瞬时接触点(即牵连点)。在研究运动合成时，把常接触点作为动点，把瞬时接触点所在的物体作为动系，瞬时接触点(牵连点)的连线是动点在动系上走过的轨迹，即相对轨迹。下一页返回上一页14.3点的合成运动14.3.2点的速度合成定理动点相对于不同参照系的运动是不同的，因此对不同的参照系，动点的速度也不同，现在我们引人以下定义:

绝对速度一动点相对于静参照系的速度，用va表示。相对速度一动点相对于动参照系的速度，用vr表示。牵连速度牵连点相对于静参照系的速度，用ve表示。下一页返回上一页14.3点的合成运动动点的绝对速度、相对速度和牵连速度之间的关系推导如下。如图14-18所示，运动平面5上有一曲线槽AB,槽内有动点沿槽运动，静参照系Oxy固连在地面上，动参照系O'x'y‘固连在运动平面5上。设在瞬时t动点位于动系O‘x’y‘的M处，经过时间△t后，曲线槽AB随同动参照系运动到A‘B‘位置，而动点也沿曲线槽运动到MB。显然，为绝对位移，为绝对轨迹;为相对位移，为相对轨迹;为牵连位移，

为牵连轨迹。下一页返回上一页14.3点的合成运动由矢量三角形可知上式表明，动点的绝对位移是牵连位移和相对位移的矢量和。将上式两边各除以△t，并取△t--0的极限值，可得下一页返回上一页14.3点的合成运动例14-6如图14-19所示，正弦机构的曲柄OA绕固定轴O匀速转动，通过滑块带动槽杆BC做水平往复平动。已知曲柄OA=r=15cm，角速度，求当时，槽杆BC的速度。解:因为槽杆BC做水平方向的平动，所以只要求得BC上任一点的速度，即为BC杆的速度。取常接触点，即曲柄OA上的滑块A为动点，槽杆BC为动系，地面为静参照系。因此，曲柄上的端点A(即滑块A)绕定轴O转动的线速度是绝对速度;槽杆BC平动速度是牵连速度;滑块A沿槽上下滑动是相对速度。下一页返回上一页14.3点的合成运动现已知绝对速度的大小为，其方向垂直于OA;牵连速度及相对速度的方向为已知;共有4个已知量，可作出速度平行四边形。根据点的速度合成定理，画出速度矢量图，如图14-19所示，可得槽杆BC的速度大小为方向为水平向左。返回上一页14.4刚体的平面运动14.4.1刚体平面运动的运动方程如图14-22所示，一刚体做平面运动，刚体上各点到固定平面丁的距离保持不变，在刚体内任取一个和固定平面丁平行的横截面S，则此横截面S始终在平面11内运动，又过截面S上任意点A作一条与固定平面丁垂直的直线A1A2，由刚体平面运动的定义，可知直线A1A2将做整体的水平运动，并且直线上各点的运动与截面5上的A点的运动完全相同，由此截面5上各点的运动就代表了整个刚体的运动，因此，只需要确定平面图形5在每一瞬时的位置，即可确定刚体平面运动的运动方程。下一页返回14.4刚体的平面运动如图14-23所示，只要确定图形上某一线段的位置，图形的位置也就确定了。在图形上任取线段AO’，则线段AO’的位置由点o‘的两个坐标x’0，y’0及该线段与轴的夹角来确定。当图形S运动时，坐标x’0，y’0和角都将随时间而改变，可以表示为时间t的单值连续函数。下一页返回上一页14.4刚体的平面运动上述平面运动方程中有两种特殊情况:(1)若为常数，即图形5上任一直线在运动过程中保持与原来的位置平行，即刚体做平动。

(2)若为常数，即点O’的位置不变，则刚体只绕通过O’点且垂直于定平面的轴做定轴运动。由此可见，刚体的平动和定轴转动都是平面运动的特殊情况。下一页返回上一页14.4刚体的平面运动14.4.2求平面图形上各点的运动速度的基点法如图14-24所示，静参照系固连于地面，动参照系以o’x’y’固连于图形O点上并随O点做平动。这样，线段AO的运动即为刚体的运动，此时，可以将刚体的运动分解为随动系O’x’y’的平动(牵连运动)和线段AO在动系上绕原点的转动(相对运动)，我们把平动的动系的原点O称为基点。所以，平面运动是平面图形随基点平动和绕基点转动的合成运动。下一页返回上一页14.4刚体的平面运动(1)如果选取点O为基点，这一运动可以看做随基点O平动到O1，再以以为中心逆时转动角度

到位置1-1，其平动位移为OO1，角位移为(2)如果选取A点为基点，这一运动可以看做随基点A平动到A1，再以点A为中心，逆时牛一转动到位置1-1，其平动平移为AA1，因为A2O1//A1O2，故角位移仍为

由此可见，选取不同的基点，平动(牵连运动)规律显然互不相同，而转动(相对运动)规律却相同，即转动角度和转向都相同，所以说，平面运动的平动部分的运动规律与基点的选择有关，而其转动部分的运动规律与基点选择无关。下一页返回上一页14.4刚体的平面运动因为在同一瞬时图形绕任一基点转过的角速度和角加速度都相同，所以称它们为图形的角速度和角加速度。虽然基点可以任意选取，但为了解决问题方便，在解决实际问题时，往往选取运动规律已知的点为基点。现在讨沦怎样用基点法求平面图形上各点的速度。设平面图形S上任一点O的速度v0和转动的角速度，求图形任一点M的速度，如图14-25所示下一页返回上一页14.4刚体的平面运动由于已知O点的速度，故取O点为基点，并将动系固接于O点上，M点的牵连速度v0即为基点的速度vr,M点的相对速度是:朴就是M点绕基点O转动的线速度，根据速度合成定理可得点M绝对速度为式(14-32)表明，平面运动的刚体上任一点的速度，等于基点速度与该点绕基点转动的线速度的矢量和。因此，称这种求平面图形上各点的速度的方法为基点法或速度合成法。下一页返回上一页14.4刚体的平面运动14.4.3求平面图形上各点运动速度的投影法由于平面图形上任意两点A,B的速度之间存在着确定的关系，即根据矢量投影定理把AB连线作为二轴，把上式向轴上投影，如图14-26所示。下一页返回上一页14.4刚体的平面运动因为所以式(14-33)表明，平面图形上任意两点的速度在两点连线上投影相等，称为速度投影定理。速度投影定理在本质上是刚体任意两点距离不变这一性质的一种反映，因为两点的速度在两点连线方向的分量必须相等，否则会产生变形;另外速度投影定理在原理上是基点法的一个投影式。下一页返回上一页14.4刚体的平面运动14.4.4求平面图形上各点运动速度的瞬心法由前所述，平面运动分解时，其平动部分与基点的选择有关。同一瞬时，如选取不同的基点，牵连速度将会不同。假如在平面图形上(或平面图形的延仲部分)能找到某瞬时速度为零的一个点C，并取它为基点，则刚体上任一点M的速度就等于该点绕基点相对转动的速度，即下一页返回上一页14.4刚体的平面运动这样就可避免矢量合成的麻烦。我们把刚体上在某瞬时速度为零的点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。由此可见，以速度瞬心为基点，平面运动的问题就可以看成平面的图形绕速度瞬心的转动问题。平面图形内各点速度大小与该点到瞬心的距离成正比，方向与该点同速度瞬心的连线垂直。也可以说平面运动是由不断变换转动中心的瞬时定轴转动组成的。下一页返回上一页14.4刚体的平面运动综上所述，只要知道图形上任意两点的速度方向，就可以通过这两点作与其速度垂直的两条直线，则这两条直线的交点就是速度瞬心。应该指出:速度瞬心确实存在，而且是唯一的。它可以在平面图形内部，也可以在平面图形外部，不同瞬时，速度瞬心不同，也就是说速度瞬心的位置随时间而发生变化。值得注意的是瞬心的速度等于零，但其加速度不一定等于零。若已知图形的角速度和瞬心位置，利用公式，求出图形上任一点的运动速度的方法称为瞬心法。下一页返回上一页14.4刚体的平面运动(1)已知在某瞬时平面图形上任意两点的速度方向，且这两点的速度方向不平行。如图14-27所示，过A,B两点分别作的垂线，则两垂线的交点C就是图形的瞬心，图形的角速度为下一页返回上一页14.4刚体的平面运动(2)已知某瞬时平面图形上A,B两点速度为

的大小，且这两点的速度方向同时垂直于AB连线，如图14-28所示，瞬心C,在AB的连线与速度矢量;端点连线的交点上。该瞬时的速度为下一页返回上一页14.4刚体的平面运动(3)A,B两点速度方向相同、大小相等。如图14-29所示，则瞬心在无穷远处，此时AC,BC为无穷大，角速度，此瞬时图形上各点的速度都相同，图形做瞬时平动。(4)已知图形沿某固定平面做无滑动滚动，如车轮在地面上做纯滚动时，图形与固定面的接触点C,就是速度的瞬心。如图14-30所示。下一页返回上一页14.4刚体的平面运动例14-9如图14-31(a)所示的曲柄连杆机构，A=AB=L，曲柄OA以均角速度匀速转动，求:当时，滑块的速度及AB杆的角速度。解:在此机构中，OA做定轴转动，AB做平面运动，滑块召做平动，A,B两点的速度方向如图14-31(b)所示，且。因为A点速度方向已知，所以以A点为基点则有下一页返回上一页14.4刚体的平面运动因为由VA，VB，VBA。三者几何关系可得则有下一页返回上一页14.4刚体的平面运动又所以返回上一页14.5科里奥利加速度简介14.5.1动点的绝对加速度，相对加速度和牵连加速度动点相对于静系的加速度称为动点的绝对加速度，以符号aa,表示;动点相对于动系的加速度称为动点的相对加速度，以符号ar表示;牵连点相对于静系的加速度称为动点的牵连加速度，以符号ae表示。下一页返回14.5科里奥利加速度简介14.5.2牵连运动为平动的加速度合成定理当牵连运动为平动时，动点三种加速度之间的关系和其三种速度之间的关系相同，满足下式:aa=ar=ae

式(14-36)表明:动点的绝对加速度等于它的相对加速度和牵连加速度的矢量和。这就是牵连运动为平动时的加速度合成定理