教学材料《静力学》-第11章

11.1点的应力状态研究点的应力状态，可围绕研究的点切取一个边长趋于零的微小的正六面体作为研究对象，这个微小的正六面体就称为该点的单元体，又称微元体。因为单元体一分微小，故可以认为单元体各面上的应力是均匀分布的，大小等于所研究点在对应截面上的应力;相互平行的截面上的应力大小相等，符号相同。这样，单元体各个面上的应力就是构件相应截面在该点处的应力。单元体的应力状态表示了相应点的应力状态。为了便于研究，通常沿杆件的纵、横截面切取单元体。下一页返回11.1点的应力状态在矩形截面拉杆上取一微元体，其应力状态如图11-1(a)所示，梁纯弯曲时横截面上下边缘召，口的应力状态如图11-1(b)所示。它们的共同特点是微元体左、右两侧面上有正应力，没有剪应力。这种应力状态称为“单向应力状态”。圆轴扭转时，圆轴表面上任意一点C,的单元体及其面上的应力如图11-1(c)所示。其左、右面是横截面上C点附近的微小面，仅有剪应力，其大小等于横截面上C点的剪应力一根据剪应力互等定律，上、下面上有与剪应力符号相反的剪应力，而前、后面上没有剪应力。这种应力状态称为“纯剪应力状态”。上一页返回下一页11.1点的应力状态传动轴横截面最上边缘D点的应力状态如图11-1(d)所示，在左、右截面上，既有正应力又有剪应力根据剪应力互等定律，上、下面上有剪应力，前后面上亦有应力。把一个面上既有正应力又有剪应力的状态，称为“复杂应力状态”。单元体各面上的应力符号为:正应力一拉应力为正，压应力为负;剪应力法线顺时n一转90方向一致为正，反之为负。上一页返回11.2平面应力状态分析的解析法平面应力状态是材料力学中见得最多的应力状态，所以进行平面应力状态分析具有很重要的意义，同时也给三向应力状态分析打下必要的基础。分析平面应力状态的常用方法有两种一解析法和图解法。本节介绍解析法求一点处任意截面上的应力及正应力极值。返回下一页11.2平面应力状态分析的解析法一般平面应力状态下原始单元体各个面上的应力如图11-2(a)所示，设原始单元体各面上的应力分量皆为已知。图11-2(b)为单元体的正投影。这里是法线与二轴平行的面上的正应力和剪应力;是法线与y轴平行的面上的应力。剪应力有两个下标，第一个下标x(或y)表示剪应力作用平面的法线的方向;第二个下标y

(或对则表示剪应力的方向平行于y轴(或二轴)。关于应力的符号，规定为:正应力以拉应力为正而压应力为负;剪应力对单元体内任意点的矩为顺时牛一转向时为正，反之为负。按照上述符号规则，在图11-2(a)中，皆为正，而为负。上一页返回下一页11.2平面应力状态分析的解析法11.2.1斜截面上的应力若ef面的面积为dA(图11-2(d))，则af面的面积是dAsina,ae面的面积为dAcosa。把作用于aef音卜分上的力投影于ef面的外法线n和一切线的方向并考虑其平衡，由由于

，将上式化简后整理得到上一页下一页返回11.2平面应力状态分析的解析法例11-1试用解析法求图11-3(a)中指定截面上的正应力和剪应力，并把结果标在图上。解:根据图中标出的应力知如图11-3(b)所示，画出指定截面的外法线n，它与x轴的正向成60°角，所以a=60°，由式(11-1)和式(11-2)得上一页下一页返回11.2平面应力状态分析的解析法得出的斜截面上的应力标在图11-3(b)所示的斜截面上。上一页下一页返回11.2平面应力状态分析的解析法11.2.2正应力极值由斜截面上的正应力公式可以看出，正应力是有界的，因此它是有极值的。下面推导求正应力极值和它所在的平面的解析式。将式(11-1)对a求导数，得若a=a0，时，能使导数则在a0所确定的截面上，正应力达到极值。以a0代入式(1),上一页下一页返回11.2平面应力状态分析的解析法得到由此得出因为正切函数是周期为180的周期函数，所以由式(11-3)能够算出相差180.的两个2ao，也就算出相差90°的两个a0因此正应力的极值有两个，且分别作用于相差90°的两个截面上(正应力极值的两个作用面互相垂直)。一般a0在士90°范围内选取，若设其中之一为a’0，另一个为a’’0，则有上一页下一页返回11.2平面应力状态分析的解析法若从式(11-3)中求出sin2a和cos2a，代入到式(11-1)中，求得的两个正应力的极值为其他截面上的正应力满足上一页下一页返回11.2平面应力状态分析的解析法由式(11-4)显然有正应力取得极值的作用面上，其剪应力为由式(2)得。这就是说，在正应力取极值的作用面上剪应力为零。例11-3已知一点处的平面应力状态如图11-5(a)所示，试求正应力极值及其作用面。要求图示。上一页返回下一页11.2平面应力状态分析的解析法解:由图11-5(a)所示的应力知先由式(11-3)求出正应力极值所在的平面，即求出a’0和a’’0。因为，上一页返回下一页11.2平面应力状态分析的解析法然后把2a’0和2a’’0代入到式(11-1)中，得到上一页返回下一页11.2平面应力状态分析的解析法如果只关心两个极值应力的大小，则可直接用式(11-4)求出了。上一页返回11.3主应力与最大剪应力可以证明，对于任意一个单元体，都可以找到三个相互垂直的平面一平面上只有正应力，没有剪应力(剪应力为零)。我们把这些单元体上剪应力等于零的平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主应力为单元体上各截面中正应力的极值。三个主应力分别用表示，并按代数值的大小来排列，即所以，一点的应力状态，通常也可以用三个主应力来表示。下一页返回11.3主应力与最大剪应力根据三个主应力的数值是否为零，可将点的应力状态分为三类:在三个主应力中，只有一个主应力不为零的应力状态，称为单向应力状态。有两个主应力不为零的应力状态称为二向应力状态。单向应力状态和二向应力状态统称为平面应力状态。若三个主应力均不为零，则称为三向应力状态，也称为空间应力状态。工程中构件上各点，大多为二向应力状态，二向应力状态的主应力计算式为上一页下一页返回11.3主应力与最大剪应力在讨论主应力方向时，一般以单元体上与横截面对应的平面为参考面，则主平面的方位角为二向应力状态可视为有一个主应力为零的三向应力状态，若，则，而若，则，而。单元体某一截面上将存在最大剪应力上一页下一页返回11.3主应力与最大剪应力例11-4圆轴受力偶矩m=700kNm作用(如图11-6(a))，试求圆轴表面K点的主应力和最大剪应力。解:(1)取单元体。围绕K点，用一对横截面、一对切向截面以及一对径向截面切取一个单元体，如图11-6(b)所示。由圆轴扭转时横截面应力公式可知，单元体左右一对平行横截面上只有剪应力，其值根据剪应力互等定理可知，上下一对平行面上也有剪应力轴扭转时表面沿轴向没有剪应力，故单元体前后表面上没有剪应力。上一页返回下一页11.3主应力与最大剪应力将单元体简化为图11-6(b)所示的平面图形。这种单元体表面只有剪应力而没有正应力的应力状态，称为纯剪切应力状态。(2)求主应力和最大剪应力。将。代入式(11-4)，得主应力:上一页返回下一页11.3主应力与最大剪应力主应力如图11-6(c)所示。上一页返回下一页11.3主应力与最大剪应力由式(11-5)得最大剪应力为在圆轴扭转时，最大剪应力发生在圆轴表面的横截面与纵向截面上。主平面与最大剪应力作用面的夹角为45°所以主应力分别发生在与轴线成45°的斜截面上，大小都分别等于剪应力。上一页返回11.4平面应力状态分析的图解法可以证明，单元体任意斜截面上的应力满足下面方程这是一个以为圆心，半径为的圆的方程。这样得到的圆称为应力圆。圆周上每一点对应着单元体的每一个截面。也就是说，圆周上一个点的纵坐标表示对应截面上的剪应力，横坐标则表示对应截面上的正应力。下一页返回11.4平面应力状态分析的图解法应力圆的画法:(1)建立直角坐标系;(2)在坐标系中作出与图11-7(a)所示单元体基准面的对应点以及与90。面的对应点

(3)连接DE，则DE与二轴的交点C即为圆心，以C为圆心，以CD或CE为半径所作的圆，即为所求的应力圆。由图11-7(b)可以看出，应力圆与横坐标轴的交点为AB，这两点对应单元体截面上的剪应力为零，因此AB两点对应截面就是主平面，它们的横坐标就是主应力。上一页下一页返回11.4平面应力状态分析的图解法

为了计算方便，在作应力圆时，应标出基准点D或倾角为0。的截面，同时还应标出C的横坐标、半径的大小及基准半径CD的倾角。例11-5用图解法求图11-8所示单元体的主平面、主应力及最大剪应力，并作出主平面单元体。应力单位为MPa上一页返回下一页11.4平面应力状态分析的图解法解:(1)建立直角坐标系，作出与单元体对应的应力圆。计算圆心C点的坐标、圆的基准半径CD。根据基准截面(单元体右截面)上的应力值(100,-80)苗出D点，作出应力圆如图11-8(b)所示。上一页返回下一页11.4平面应力状态分析的图解法(2)由图可知，A,B两点对应的截面是主平面。相应主平面方位角ao1=22.5°(单元体上主平面的方位角为应力圆上主应力方位角的一半)相应主平面方位角ao2=-67.5°上一页返回下一页11.4平面应力状态分析的图解法(3)最大剪应力。(4)根据以上结论，画出主平面单元体图，如图11-8(a)所示。上一页返回11.5平面应力状态下的应力一应变关系构件在外力作用下产生变形，组成构件的无数个单元体也同样产生变形，并且构件的变形就来自于单元体的变形。设各向同性材料制成的构件都是在弹性范围内工作，也就是每个单元体都处于弹性变形状态。现在研究在这种变形状态下单元体上的应力和应变之间的关系。在讨论单向拉仲或压缩时，根据实验，曾得到材料在线弹性范围内工作时应力与应变的关系为下一页返回11.5平面应力状态下的应力一应变关系这种变形的应力与应变满足线性关系，把上式所表示的应力与应变的关系称为虎克定律。此外，轴向的变形还将引起横向尺寸的变化，横向应变为而在纯剪切的情况下，由实验结果表明，当剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切虎克定律上一页下一页返回11.5平面应力状态下的应力一应变关系首先讨论

方向的线应变;(图11-9(a))当单元体上只作用

时，在

方向产生的线应变为当单元体上只作用

时，在

方向产生的线应变为当单元体上只作用

时，在

方向产生的线应变为所以当这三个应力同时作用在单元体上时,在

方向产生的线应变可通过叠加得到，即上一页下一页返回11.5平面应力状态下的应力一应变关系同样的办法可得到另外两个主应变经过整理，最后得到上一页下一页返回11.5平面应力状态下的应力一应变关系平面应力状态是最为多见的应力状态。下面讨论这种应力状态下的应力一应变关系。分两种情况:一种情况是牛一对主单元体的;另一种是牛一对平面应力状态的一般情况。对于平面应力状态下的主单元体而言，其三个主应力中一个为零，不妨先假设，由式(11-6)得到上一页下一页返回11.5平面应力状态下的应力一应变关系若不是，而是中的某个为零时，参照式(11-6)便可写出类似于式(11-7)所表示的应力一应变关系。对于平面应力状态的一般情况，如图11-9(b)所示。单元体上有四个侧面不但作用着正应力，同时还作用着剪应力，使得单元体在二轴和y轴方向产生线应变，同时还产生剪应变，且只在二y平面内产生剪应变。上一页下一页返回11.5平面应力状态下的应力一应变关系设单元体x和y方向产生的线应变为，在二y平面内产生的剪应变为

。实验证明对线弹性小变形的各向同性材料而言，线应变只与正应力有关，而剪应变只与剪应力有关。因此可得到如下情况下的应力一应变关系上一页下一页返回11.5平面应力状态下的应力一应变关系现在大家看到了三个弹性常数E,G,u。其实在力学中使用的弹性常数远不止这三个，但独立的弹性常数只有两个。所以E,G和u三者有一定的关系，这种关系为例11-6图11-10为一受扭的圆轴，直径d=20mm，材料的弹性模量为E=200GPa，泊松比,u=0.3，现用应变仪测得圆轴表面与轴线成45。方向的线应变，试求轴的外力偶矩M上一页返回下一页11.5平面应力状态下的应力一应变关系解:解题思路:先取出原始单元体，研究原始单元体上的应力与测得的线应变的关系，求出此应力，再求出外力偶矩。因为所测得线应变与轴线成45°角，所以必须要考虑与轴线成45°角方位的单元体，把已知应变和应力联系起来。

(1)取原始单元体和与轴线成45°角方位的单元体，并建立分别作用在这两个单元体上的应力关系。因为圆轴扭转时，横截面上正应力为零，所以原始单元体上只有剪应力(图11-10(b))，由平面应力状态理论的式(11-1)和式(11-2)进行分析。因为原始单元体上的上一页返回下一页11.5平面应力状态下的应力一应变关系所以当a=45°时当a=-45°时上一页返回下一页11.5平面应力状态下的应力一应变关系由此可知图11-10(c)所示单元体各面上的剪应力都是零，故该单元体为主单元体，45°方向是第一主应力方向，这个截面上作用着主应力

，-45°方向是第三主应力方向，这个截面上作用着主应力。(2)根据平面应力状态下的应力一应变关系，求出

。依题意，45°方向的线应变就是:;方向的线应变，即，所以上一页返回下一页11.5平面应力状态下的应力一应变关系(3)求轴的外力偶矩M。圆轴的扭矩与外力偶矩相等，由圆轴扭转理论知而则上一页返回11.6强度理论简介试验表明，各种材料发生失效的形式是不一样的。塑性材料在轴向拉仲时，当达到屈服极限时，将出现明显的塑性变形或流动现象。在这种情况下，实际构件已不能正常工作，因此出现塑性变形或流动现象就是失效的标志。脆性材料在轴向拉仲载荷作用下，当还没有明显的变形时就突然断裂。这又是另一类失效的标志。可见，材料失效的形式主要有两类:一类是流动失效(又称为屈服失效或塑性失效)，另一类就是断裂失效(又称脆性失效)。下一页返回11.6强度理论简介对材料在各种应力状态下的失效现象进行分析研究时，假设无论是单向应力状态还是复杂应力状态，材料的失效都是由同一因素引起的，从而就可以利用单向应力状态下的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。这种关于引起材料失效原因的假说，就称为强度理论。因为材料的失效形式有两类，故强度在理论也相应分为两大类:一类以断裂为失效标志，提出材料断裂失效的条件;另一类以屈服为失效标志，提出材料发生屈服失效的条件。下面介绍常温、静载条件下常用的几个强度理论。上一页下一页返回11.6强度理论简介

1.最大拉应力理论(第一强度理论)

最大拉应力理论认为最大拉应力是引起材料断裂失效的主要因素。即无论材料处于何种应力状态下，只要构件内任一点处的最大拉应力达到材料在轴向拉仲时的强度极限

，就会发生断裂失效。于是得到发生断裂失效的条件是所以按最大拉应力理论建立的强度条件是上一页下一页返回11.6强度理论简介2.最大伸长线应变理论(第二强度理论)

最大仲长线应变理论认为最大仲长线应变;是引起材料断裂失效的主要因素。即无论是在复杂的应力状态下还是在简单的应力状态下，只要构件内任一点处的最大仲长线应变。达到材料的极限值，就会引起构件断裂失效。根据这一理论，材料发生断裂失效的条件是式中，是最大仲长线应变;。是轴向拉仲时线应变的极限值。上一页下一页返回11.6强度理论简介简单应力状态时线应变的极限值复杂应力状态时最大仲长线应变于是根据最大仲长应变理论建立的强度条件为式中，u为泊松比。上一页下一页返回11.6强度理论简介

3.最大剪应力理论(第三强度理论)

最大剪应力理论认为最大剪应力是引起材料流动失效的主要因素。即材料无论是在复杂应力状态下还是在简单应力状态下，只要构件内任一点处的最大剪应力

达到了材料的极限值，就会引起材料的流动失效。根据这一理论，材料发生流动失效的条件是简单应力状态下剪应力的极限值复杂应力状态下的最大剪应力