2027届新高考数学一轮热点复习对数函数

2027届新高考数学一轮热点复习对数函数知识清单1.对数函数(1)定义：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是________．(0，＋∞)(2)图象与性质项目a＞10＜a＜1图象性质定义域：________值域：R图象过定点________，即恒有loga1＝0当x＞1时，恒有y＞0；当0＜x＜1时，恒有y＜0当x＞1时，恒有y＜0；当0＜x＜1时，恒有y＞0______函数______函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论(0，＋∞)(1，0)增减2.反函数：指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，y＝ax与y＝logax的函数图象关于直线________对称．y＝x【常用结论】对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

×√×√

答案：A

3．已知a＝log32，b＝log23，c＝log34，则(

)A．a>c>b

B．c>b>aC．a>b>c

D．b>c>a答案：D

命题点一对数函数的图象及应用例1(1)已知lga＋lgb＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(

)答案：B

答案：AB

学霸笔记：在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．跟踪训练已知函数y＝loga(x－c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论中成立的是(

)A．a>1，c<－1 B．a>1，－1<c<0C．0<a<1，c<－1 D．0<a<1，－1<c<0答案：D解析：由函数的图象知该函数为减函数，∴0<a<1.图象通过第一、二、四象限且图象与x轴的交点横坐标在区间(0，1)内，∴0<c＋1<1，解得－1<c<0.故选D.命题点二对数函数的性质及应用考向1比较对数值的大小例2(1)设a＝log43，b＝log86，c＝log62，则a，b，c的大小关系为(

)A．a<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．c<a<b答案：D

(2)已知实数a，b满足loga2>logb2>1，则(

)A．1<a<2<bB．1<a<b<2C．1<b<a<2D．a<1<b<2答案：B

学霸笔记：(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断．(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较．跟踪训练设a＝log0.20.3，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为(

)A．a>b>cB．c>b>aC．b>a>cD．b>c>a答案：D

答案：A

答案：(－2，－1)∪(4，7)

学霸笔记：(1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；(2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数形式，再借助y＝logax的单调性求解．

答案：B

答案：B

答案：AC

真题探源

(源自人教B版必修二P53B组T9)已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax是偶函数，求a的值．

学霸笔记：(1)与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．(2)函数y＝logaf(x)的值域是R，这说明函数y＝f(x)可以取遍所有大于0的数，而函数y＝logaf(x)的定义域是R，则说明f(x)＞0在R上恒成立．跟踪训练

(1)若函数y＝lg(2＋mx)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为(

)A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)C．[－2，0) D．(0，1]答案：B

答案：C解析：因为f(x)＝log2(x2－8x＋a2)的值域为R，所以y＝x2－8x＋a2的值域包含(0，＋∞)，所以Δ＝(－8)2－4a2≥0，解得－4≤a≤4.故选C.

答案：C

答案：A

答案：B

答案：D

5．不等式log2x<1－x的解集为(

)A．(0，1) B．(1，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－∞，1)答案：A解析：当0<x<1时，log2x<0，1－x>0，则不等式成立；当x＝1时，log2x＝1－x＝0，则不等式不成立；当x>1时，log2x>0，1－x<0，则不等式不成立，∴不等式的解集为{x|0<x<1}．故选A.6．已知函数f(x)＝x(2－2x)，当x＝m时，f(x)取得最大值n，则函数g(x)＝logm|x＋n|的大致图象为(

)答案：A

7．(2026·太原模拟)函数y＝lg(10x－x2)的单调递增区间是(

)A．(0，5) B．(－∞，5)C．(5，10) D．(5，＋∞)答案：A解析：由10x－x2>0，解得0<x<10，由二次函数性质得y＝10x－x2在(0，5)上单调递增，在(5，10)上单调递减，由对数函数性质得y＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，则y＝lg(10x－x2)的单调递增区间是(0，5)，故A正确．故选A.8．(2026·厦门模拟)若函数f(x)＝ln(12－ax)在区间(3，6)上单调递减，则a的取值范围是(

)A．(－∞，0) B．(－2，0)C．(0，2) D．(0，2]答案：D

9．已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝loga(x＋a)的图象必经过(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限答案：AB解析：当0<a<1时，函数f(x)＝loga(x＋a)的图象经过第一、二、四象限；当a>1时，函数f(x)＝loga(x＋a)的图象经过第一、二、三象限．综上可知，函数f(x)＝loga(x＋a)的图象必经过第一、二象限．故选AB.10．已知f(x)＝ln(x＋1)，g(x)＝ln(1－x)，令F(x)＝f(x)－g(x)，则下列结论正确的是(

)A．F(x)的定义域是(－1，1)B．f(x)>g(x)的解集为(0，1)C．F(x)是奇函数D．F(x)在区间(－1，0)上单调递增，在区间(0，1)上单调递减答案：ABC

答案：f(x)＝log2x

12．已知常数a>0，且a≠1，若函数y＝1＋logax的定义域和值域都是[1，2]，则a＝________．答案：2

13．(13分)已知函数f(x)＝|log4x|.(1)求f(x)的单调区间；答案：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当x>1时，f(x)＝log4x；当0<x<1时，f(x)＝－log4x.又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)若a<b，且f(a)＝f(b)，求a＋3b的取值范围．

14．(15分)已知函数f(x＋1)＝lg(x＋3)．(1)求不等式0<f(x)<1的解集；答案：由f(x＋1)＝lg(x＋1＋2)，得f(x)＝lg(x＋2)，由0<f(x)＝lg(x＋2)<1，得1<x＋2<10，即－1<x<8，所以不等式0<f(x)<1的解集为(－1，8)．(2)若函数g(x)＝f(x)＋f(－x＋a－2)的图象经过点(1，lg3)，求g(x)的最大值．答案：由题意得g(x)＝lg(x＋2)＋lg(－x＋a)，由g(1)＝lg3＋lg(a－1)＝lg3，得a＝2，即g(x)