2027届新高考数学一轮热点复习指数函数

2027届新高考数学一轮热点复习指数函数知识清单1.指数函数的概念函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.2．指数函数的图象与性质项目

a>10<a<1图象定义域________________值域________________R(0，＋∞)性质过定点________，即x＝0时，y＝1当x>0时，________；当x<0时，________当x<0时，________；当x>0时，________________函数________函数(0，1)y>10<y<1y>10<y<1增减

自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x－1是指数函数．(

)(2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(

)(3)2－3>2－4.(

)(4)若am<an(a>0且a≠1)，则m<n.(

)××√×

答案：C解析：因为y＝－3－x，即－y＝3－x，所以函数y＝－3－x与y＝3x的图象关于原点对称．

答案：A解析：因为1.11.1>1.10.9>1>0.91.1，所以c>b>a.

答案：3·4x

命题点一指数函数的图象及应用例1(链接·2025年全国Ⅰ卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(

)A．x>y>z

B．x>z>yC．y>x>z

D．y>z>x答案：B

方法二设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m-2，y＝3m-3，z＝5m-5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，

作出函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示．易知，随着m的变化可能出现x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.故选B.真题探源

(源自北师大版必修一P92B组T5改编)在同一平面直角坐标系中画出下列各组函数的图象，并讨论它们之间的关系：y＝3x，y＝3x＋3，y＝3x－1.答案：在同一坐标系内作出函数y＝3x，y＝3x+3，y＝3x-1的图象，如图，函数y＝3x+3的图象可看作由函数y＝3x的图象向左平移3个单位而得；函数y＝3x-1的图象可看作由函数y＝3x的图象向右平移1个单位而得．学霸笔记：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．命题点二指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小例2

已知0<a<1<b，则(

)A．ba<ab<aa<bbB．ab<aa<ba<bbC．bb<ab<aa<baD．ab<ba<aa<bb答案：B解析：因为函数y＝ax(0<a<1)是减函数，所以0<ab<aa<1，同理，函数y＝bx(b>1)是增函数，所以1<ba<bb.综上，可得ab<aa<ba<bb.故选B.学霸笔记：(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较．(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小．(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较．跟踪训练

(衔接·人教A版必修一P117例3改编)下列大小关系正确的是(

)A．1.72.5>1.73B．1.70.3<0.93.1C．1.52.5<1.53.2D．0.6－1.2>0.6－1.5答案：C

答案：原不等式可化为2x2－2x－3<2-3(x-1)．∵y＝2x是增函数，∴x2－2x－3<－3(x－1)．整理得x2＋x－6<0，∴－3<x<2，故原不等式的解集为{x|－3<x<2}．学霸笔记：(1)性质法：解形如ax＞ab的不等式，可借助函数y＝ax的单调性求解．如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．(2)隐含性质法：解形如ax＞b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．

答案：(－∞，1]

命题点三指数型函数性质的综合问题例4(1)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)答案：D

答案：A

学霸笔记：(1)函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断，其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解．(2)对于函数y＝f(ax)(a＞0，且a≠1)，一般要通过换元令ax＝t，化为函数y＝g(t)再研究．

答案：D

(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是________．答案：(0，＋∞)解析：函数f(x)＝4x－2x+1＝(2x－1)2－1，令t＝2x(t>0),则y＝(t－1)2－1在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，由t＝2x>1得x>0，而t＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)或．

答案：A

2．如图所示，若0<a<1，函数y＝ax与y＝x＋a的图象可能是(

)答案：C解析：因为0<a<1，所以指数函数y＝ax在R上单调递减，故排除A和D；对于y＝x＋a，当x＝0时，y＝a，所以y＝x＋a的图象过点(0，a)，因为0<a<1，故B错误，C正确．故选C.3．已知a＝1.50.6，b＝1.50.7，c＝0.70.6，则a，b，c的大小关系是(

)A．a>b>c B．c>a>bC．b>a>c D．b>c>a答案：C解析：因为y＝1.5x是增函数，又0<0.6<0.7，所以b>a>1，又y＝0.7x是减函数，所以c＝0.70.6<0.70＝1，则b>a>c.故选C.

答案：A

5．函数f(x)＝0.3x2－2x的单调递增区间是(

)A．(－∞，1)

B．(1，＋∞)C．(0，1)

D．(1，2)答案：A解析：函数f(x)＝0.3x2－2x中，令t＝x2－2x，则函数t＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，而函数y＝0.3t为减函数，因此函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝0.3x2－2x的单调递增区间是(－∞，1)．故选A.

答案：A

7．(2026·石家庄模拟)若函数y＝ax＋b－1(a>0，a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(

)A．0<a<1，且b>0B．a>1，且b>0C．0<a<1，且b<0D．a<1，且b>0答案：C解析：已知函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得0<a<1，指数函数y＝ax过定点(0，1)，则函数y＝ax＋b－1过定点(0，a0＋b－1)，即(0，b)，

8．(2026·南昌二模)若函数

f(x)＝2025|x－a|在区间[2026，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(

)A．[2026，＋∞)

B．(0，2026]C．(－∞，2026)

D．(－∞，2026]答案：D解析：根据函数

f(x)＝2025|x－a|在区间[2026，＋∞)上单调递增，且y＝2025x单调递增，可得y＝|x－a|在区间[2026，＋∞)上单调递增，所以a≤2026.故选D.

答案：AC

对于D，设h(x)＝f(x)－f(－x)＝2－x－2x，函数的定义域为R，关于原点对称，且h(－x)＝2x－2－x＝－h(x)，故h(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数，故D错误．故选AC.

答案：BCD

答案：－1

13．(13分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(－2，9)．(1)求a的值；

14．(15分)已知函数f(x)＝a·2