福建省三明市2025-2026学年高二数学上学期期末质量检测试题(一)【含答案】

福建省三明市2025-2026学年高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为A． B． C． D．2．如图，空间四边形中，是的中点，点在上，且满足，设，，，则（

）A． B．C． D．3．若函数，则（

）A． B． C． D．4．若直线过点且与直线垂直，则的方程是（

）A． B．C． D．5．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（

）A． B．的周长为6C．的最小值为 D．面积的最大值为6．在等差数列中，若，与的等差中项为8，则数列的前11项和（

）A．22 B．44 C．66 D．887．已知O为坐标原点，是椭圆C：的左焦点.若椭圆C上存在关于点O对称的两点A，B，且以为直径的圆过点，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知圆E：，点P是圆C：上的一点，过点P作圆E的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．二、多选题9．已知向量，，，则（

）A． B．C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为10．已知抛物线：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，A，B在直线上的射影分别为，，则（

）A．的最小值是B．是直角C．若，则直线的斜率为D．若，则的周长的最小值为2711．长方体中，，，，E为棱上一点，，F是平面内一动点，，则（

）A．棱上存在两定点M，N，使得B．存在不与，重合的点F，使得平面C．存在点F，使得所在直线与平面所成角为D．点F的轨迹截直线所得弦长为6三、填空题12．已知函数，则曲线在处的切线方程为.13．若直线：被双曲线截得的线段中点的横坐标为-4，则双曲线的一条渐近线方程为.14．已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为.四、解答题15．已知圆C过点，，且圆心在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)求过点且与圆C相切的直线方程.16．已知是公比大于1的等比数列，，且，，成等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.17．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且，G是线段上一动点.(1)求证：平面平面；(2)当A，E，F，G四点共面时，求直线与平面所成角的余弦值.18．在平面直角坐标系中，设，，，直线，相交于点Q，且它们的斜率之积是.(1)求点的轨迹的方程；(2)过点的直线与交于M，N两点，①求面积的最大值；②若P是线段上异于M，N的一点，且满足，证明：.19．已知递增数列的前项和为，，数列具有性质P：对任意的，当时，与两数中至少有一个是集合中的项.(1)若数列单调递增且具有性质，求，；(2)证明：；(3)若数列单调递增且具有性质P.已知，求.

参考答案题号12345678910答案ABBCCBCDBDBCD题号11答案ACD1．A【详解】由直线，则，设直线的倾斜角为，所以，所以.故选：A2．B【详解】在空间四边形中，是的中点，，则.故选：B3．B【详解】函数，求导得，所以.故选：B4．C【详解】注意到，因该直线与垂直，则设的方程为：，代入，得.从而.故选：C5．C【详解】由题可得.对于A，由椭圆方程可得：，则，故A正确；对于B，的周长，由椭圆的定义可得，则，故B正确；对于C，设，因，则，注意到，则，注意到，则，即最小值为1，故C错误；对于D，的面积，注意到，则，故D正确.故选：C6．B【详解】设等差数列公差为，，与的等差中项为，则.则，，从而.故选：B7．C【详解】椭圆C上存在关于点O对称的两点A，B，且以为直径的圆过点，则该圆圆心为，半径为半焦距，因此以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆有公共点，则椭圆短轴的端点在圆上或圆内，即，，则，而，解得，所以椭圆C的离心率的取值范围是.故选：C8．D【详解】圆E：的圆心，半径，圆C：的圆心，半径，，圆与圆外离，由切圆于，得，则，而，当且仅当是线段与圆的交点时取等号，所以.

故选：D9．BD【详解】对于A，，若，则存在实数，使，从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误；对于B，，因，且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确；对于C，，又，则，故C错误；对于D，在上的投影向量为：，故D正确.故选：BD10．BCD【详解】，则焦点为，准线为.对于A，设，将直线方程与抛物线方程联立，消去得：，判别式为：，设，由韦达定理，.由抛物线定义，，则由基本不等式，，当且仅当时取等号，则最小值为，故A错误；对于B，由A分析，，又，则，，从而，故B正确；对于C，由对称性，设在左侧，则.如图过轴垂线，垂足为，易得，又，则，又由A解析可得，则，则，，当在右侧时，类似以上分析可得，综上所述，，故C正确；对于D，，则.由抛物线定义，，则，其中在抛物线准线上，且垂直于准线，三点共线.则，故D正确．故选：BCD11．ACD【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，由，得，整理得，即，点的轨迹是平面内，中心为，即中点，焦点在直线上，长轴长的椭圆，对于A，椭圆的半焦距，由椭圆的定义知，棱上存在两定点M，N，使得，A正确；对于B，平面，要平面，当且仅当，而，则，又，解得，或，点或分别与重合，B错误；对于C，，设平面的法向量，则，取，得，而，由直线与平面所成角为，得，整理得，此方程可化为关于的两个二元一次方程，且时，，即方程表示过点的两条相交直线，又点在椭圆内，则上述每条直线与椭圆都相交，因此存在点F，使得所在直线与平面所成角为，C正确；对于D，直线在平面内，与直线平行且距离为，由，解得或，直线与椭圆交于点，它们间的距离为6，D正确.故选：ACD12．【详解】函数，求导得，则，而，所以曲线在处的切线方程为.故答案为：13．【详解】设直线与双曲线交点为，中点为，原点为，因，则.又，两式相减并化简可得.即，则双曲线渐近线方程为：.故答案为：.14．【详解】由题意可得当时，，解得，当时，可得，作差得，化简得，变形得，因为，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，可得，解得，已知不等式，代入得，化简得，要使不等式成立，即成立，设，当不等式成立时，即，即，得，解得，因为，所以，可得，可知成立，只需成立，解得，即实数的范围为.故答案为：.15．(1)；(2)或.【详解】（1）由点，，可得中点和斜率，则的中垂线方程为：，由圆心既在的中垂线上，又在直线上，联立可得：，解得：，所以圆心坐标，半径，所以圆C的标准方程为；（2）

过点垂直于轴的直线为，圆心到直线的距离，故直线为圆的一条切线，再设过点斜率存在的切线方程为，由直线与圆相切，可得：，解得：，则此时切线方程为，综上，与圆C相切的直线方程为或.16．(1)；(2).【详解】（1）设等比数列的公比为，由，且成等差数列，得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由数列的前n项和为，得当时，，而满足上式，因此，，则，因此，两式相减得，所以.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）在上取点使得，则以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设，则，所以，因为A，E，F，G四点共面，所以存在实数使得，则.解得，所以，所以.设平面的法向量为，则.所以有，令，则，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.所以直线与平面所成角的余弦值为.18．(1)；(2)①；②证明见解析.【详解】（1）设，由题可得，化简后可得：；（2）①由题可得过的直线方程斜率不为0，设过直线方程为：，将直线方程与联立，消去x可得：，判别式为：.设，由韦达定理.不妨设在上方，如图所示，，令，则，，当且仅当，即时取等号；②设在上方，如图所示，设，如图分别过作轴垂线，垂足为，则，从而，则，又在上，则，注意到两点中点为，则在连线的中垂线上，从而.

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