2.函数的四大性质及应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

函数的四大性质与应用★一．基本原理1.函数的单调性定义的熟悉与理解，主要考察形式就是分段函数的单调性问题.2.判断或证明函数单调性的常见方法①.定义法：了解，但这里需要达到的目标是应该掌握高中课本上所有至少花了一个课时研究的函数（二次函数，母函数，指数，对数函数，三角函数，“飘带”函数，“对钩”函数）②.运算性质法：在①的基础上，增函数加增函数还是增函数等.通过运算性质，能够判断上述函数的简单组合后的单调性.③.图像法：要学好这个方法需要两个前提：一个是做到①中的熟记，另一个是掌握常见的图像变换形式及其在解析式中的体现.④.复合函数单调性与同增异减法则⑤.导数法，万能通法.3.单调性的常见应用（基本类型）①.比较大小（可与奇偶性结合）②.已知单调性求参数（1）基本原理：已知函数在区间上单增，则，反之亦然.（2）同构出函数单调性后求参数（3）分段函数单调性问题要注意③.利用单调性解不等式（高中阶段的不等式问题都可以利用函数单调性解决，这是通法，4.单调性的常见应用（压轴类型）5.奇偶性中的主要结论★结论1.（苏教版必修一P119）．已知函数的定义域为.（1）求证：函数为上的偶函数；（2）求证：函数为上的奇函数；（3）试判断：定义在上的函数能否表示为一个奇函数和一个偶函数的和.解析：（1）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又，所以函数为上的偶函数；（2）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又，所以函数为上的奇函数；（3）因为函数的定义域为.令，，则，又由（1）得为上的偶函数，由（2）得为上的奇函数，且，所以定义在上的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.由证明可知，上述结论函数的定义域可以是任意对称区间.比如.都是奇函数.证明：令，，由基本原理（2）可证.★结论2.奇偶函数的四则运算奇×奇为偶；奇×偶为奇；等等，类似进行加减乘除运算即可.★结论3.奇函数的精致结论若为奇函数，则对定义域内的任意实数恒成立，那么设，则，特别地，.6地，我们有：6.1.轴对称:函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时.我们就称函数关于对称.代数表示:（1）.（2）.即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.6.2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.用代数式表示：（1）.（2）.一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.6.3注释:对称性的作用:知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.（1）.利用对称性求得函数在某点的函数值.（2）.利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.（3）.对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.6.4.三次函数的对称中心：图象的对称中心为..原因如下：设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有，即，即.又，代入上式化简得对任意的恒成立，故，，即.综上所述，图象的对称中心为.6.5.指数型函数的对称中心（1）.函数的对称中心为：证明：设对称中心为，那么 对所有成立.代入可得：.进一步，有：①令，因此方程①是：②对任意成立.两边乘以分母：，比较的系数：若，则.比较常数项：代入：，即两边减去可得.若，则，所以，故因此对称中心为.（2）7.（1）.已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称.（2）.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称.8.奇偶性（对称性）与导函数若，即轴对称函数的导函数为中心对称函数，反之亦然，若9.周期性（1）.定义:对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.（2）.函数周期性有关结论:设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，则函数是周期函数，且是它的一个周期.(1).(2).(3).(4).（3）.函数的对称性与周期性性质1.若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.性质2.若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.性质3.若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.二．典例分析★考点1.已知单调性求参数1．（2023·全国·高考真题新高考1卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．解析：函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D2．（2024年新课标全国1卷）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围是（

）A． B． C． D．解析：因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即的范围是.故选：B.3．（2023·全国·高考真题新高考2卷）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（

）．A． B．e C． D．解析：依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即的最小值为．故选：C．4．（2023·全国·高考真题乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是__________.（凌晨讲数学，更多优质资料，请前往公众号下载）解析：由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.★考点2.利用单调性比较大小5．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．解析：因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：B6．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．解析：由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D7．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（

）A． B． C． D．解析：因为，故.故答案为：C.8．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．解析：，，，，，，.故选：D.9.（2019年全国3卷）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）解析：是定义域为的偶函数，所以，因为，，所以，又在上单调递减，所以.故选C．★考点3.利用单调性解不等式10.（2017江苏）已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数的取值范围是．解析：因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为．(2016年天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.解析：由是偶函数可知，单调递增；单调递减，又，，可得，即．12．（2023·全国·高考真题乙卷）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2解析：因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.13．（2023·全国·高考真题新高考2卷）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1解析：因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.14．（2023·全国·高考真题甲卷）若为偶函数，则______.解析：因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.15．（2021年新高考1卷）已知函数是偶函数，则_________.解析：因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：116．（2021年全国乙卷）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．解析：由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B17.（2016年全国卷文科）已知函数满足，若函数的图象与函数的图象的交点为,则()A.B.C.D.18.（2016年全国卷理科）已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则A.B.C.D.解析：若两函数的图象分别关于直线轴对称或者关于点中心对称，则函数的图象的所有的交点也都关于直线轴对称或者关于点中心对称.于是两题均选B.19.（2017年全国3卷）已知函数有唯一零点，则解析：此题若懂得前面的常见函数及性质就很容易下手，若不懂，借助导数与零点来实现，可能就做不出来！注意到的构造，跟偶函数长得很像，所以我们会发现是关于直线对称的，而也是关于直线对称的，这样的话，，如此的唯一零点便在处取得，代入可得：.20．已知函数，若在有唯一的零点，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4解析：由于，所以是偶函数，要使在−1,1有唯一的零点，则，即，解得，故选：A21．（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．解析：因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.22．（2021全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．解析：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．23．已知函数，则__________.解析：由题设.24.已知函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，，则等于（

）A． B． C． D．解析：因为函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，，所以，故选：B三．习题演练1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．2．已知函数，则满足不等式的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．4．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．5．已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（

）．A． B．C． D．6．已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．7．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．9．已知函数，则不等式的解集为.10．已知定义在R上的奇函数的导函数为，且当时，恒有．若有，则实数t的取值范围为．11．已知定义在上的函数满足为奇函数，为偶函数．若，则（

）A． B．0 C．2 D．202412．已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（

）A．-3 B．-1 C．1D．313．（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．14．已知函数的定义域为，，且为奇函数，为偶函数，则（

）A．23 B． C． D．315.已知定义域为的奇函数满足，且时，，则的值为（

）A． B． C． D．参考答案1．【详解】因为在上单调递增，所以即；因为为增函数，故即；因为为减函数，故即，综上.故选：A.2．【详解】函数的定义域为，且，所以，（公众号：凌晨讲数学，更多优质资料，请前往公众号下载），所以关于直线成轴对称，因为，当且仅当，时取等号，令，，则，，当时，，，单调递增，单调递增，所以，，所以，所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减，又当时，，所以，当或时，，所以，且，所以要使得成立，则，解得，故不等式的取值范围为．故选：B．3．【详解】假设,又因为,可得,设,,单调递增，,恒成立,所以,即可得.故选：B.4．【详解】不等式等价于，即，构造函数，所以，因为时，，所以对恒成立，所以在单调递减，又因为，所以不等式等价于，所以，即的解集为.故选：A.5．【详解】设，则，由于当时，，则当时，，在单调递减，又为奇函数，,则，则函数为偶函数，可得函数在上单调递增，又，则，当时，由，可得，即，解得；当时，由，可得，即，解得；综上，不等式的解集为,,．选：B．6．【详解】由题意知，当时