9.函数模型的三大实际应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

函数模型的三大实际应用一．基本原理1.指数函数模型：（1）用来刻画增长率（衰减率）恒定的变化过程，比如种群增长，复利模型，碳14（化学物质）的衰减.2.对数函数模型：用来刻画增速比较缓慢的增长模型3.不同函数的增长速度：指数函数快于二次函数，二次函数快于对数函数4.一次函数反映一种线性增长，对应于物理中的匀加速直线运动（速度公式）5.注意梳理课本中出现的一些函数模型二．典例分析★1.已知函数模型进行数据的运算（估算）例1．1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染.主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为.专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年.到2025年4月26日，原有的锶90还剩（

）（参考数据：）A． B．C． D．解析：设年后的锶90的剩余含量为，则，从1986年4月26日到2025年4月26日，经过39年，所以原有的锶90还剩.故选：A例2．把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足.将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（

）(取:)A． B．C． D．解析：的物体经过后的温度为，的物体经过后的温度为，由题可得，，即，解得，所以要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过，故选：B.例3．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川里氏8.0级地震的（

）倍.（精确到1）（参考数据：，，，）A．16 B．32 C．63 D．72解析：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，由题意：，.于是，所以.故选：B.例4．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为_____；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是_________.解析：①由题知，，当时，有，整理得，，因为，所以.②由题知，，即，解得，，所以.由，得，，因为函数为上的增函数，所以，故火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是.★2.根据已有数据（实际情形）进行模型选择例5．从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据：v0406080120Q0781020为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（

）A． B． C． D．解析：依题意以及表中数据画出散点图，可知该函数必须满足三个条件：第一，定义域为；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点.由散点图可知，函数图象不符合函数图象特征，排除A，函数单调递减，排除C，当时，没有意义，排除D，故最符合实际的函数模型为.故选:B．★3.利用分段模型计算函数最值例6.近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完.（1）求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式；（2）2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？（3）若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围.（参考数据：，）解析：（1）当时，；当时，，所以；（2）若，即，当时，万元；若时，，当且仅当时，即时，万元，因为，所以2026年最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得.（3）当时，由，即；即，判别式，该不等式无解.因此，在区间内，无法达到盈利5万元.

当时，由，即，解方程，得两根为，

由于，所以解得综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利5万元.三．习题演练1．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（

）A．浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值B．时，浮萍面积就会超过C．浮萍每周增加的面积都相等D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则解析：由图可得：函数过点，则，解得，即.对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值，故A错误；对于选项B：若时，则，所以浮萍面积不会超过，故B错误；对于选项C：第二周比第一周增加，第三周比第二周增加，即，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C错误；对于选项D：由题意可得：，则，所以，故D正确.故选：D.2．（2025·浙江宁波·一模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（

）（参考数据：，）A． B． C． D．解析：设城区的压强为，四明山的压强为，由题意得，，两式作除法可得，解得，对于目标点，可得，由已知得，两式作除法可得，解得，则，在内，故C正确.故选：C3．一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（

）A．2h B．4h C．20h D．40h解析：设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,由题意，，，，因为，所以，所以，所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.故选：B.4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（

）A．1.12 B．1.13C．1.14 D．1.15解析：由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得，所以，故选：D.5．（多选题）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入，国民消费和国民投资，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：.其中常数表示房租､水电等固定消费，为国民“边际消费倾向”.则（

）A．若固定且，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大B．若固定且，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高C．若，则收入增长量是投资增长量的5倍D．若，则收入增长量是投资增长量的解析：由题意可得固定且，又，所以，所以，由于为定值，所以可得增大时(国民收入越高)，增大(“边际消费倾向”越大)，故A正确；由上可得，为定值，故增大，减小(投资越小)，故B错误；若，由，可得，由导数的定义可得，所以可得收入增长量是投资增长量的倍，故C正确；同C项讨论可得若，可得，因此收入增长量是投资增长量的倍，故D错误.故选：AC.6．（多选题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距