25.空间垂直的证明的常见解法-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

25.全国卷空间垂直证明中的一些重要构型一般的空间垂直（线面垂直或者面面垂直）基本都是一个平面垂直加一个线面或者面面垂直得到，关于平面垂直，注意到通常以四棱锥，三棱柱，四棱柱为主，前者底面为四边形，后者的侧面为平行四边形，如此的话，我们需要关注一些特殊四边形中的垂直，这些垂直都是常出现在空间垂直的证明过程中的.平面四边形中的一些重要垂直关系1.等腰梯形：如图1，我们可以证得，这是底边为等腰梯形的四棱锥中常出现的垂直情形.图1图22.内角为的菱形，如图2，，为中点，则.3.内角为的平行四边形，如图3，，，则.图3图44.如图4，正方形中（边长为1:1的矩形），为中点，则.5.如图5，边长为2:3的矩形，可以看做是4的推广，有.图5例1.(2022年全国甲卷)·第18题)在四棱锥中，底面．（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．解析：考察图1（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以.例2．(2021年高考浙江卷）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解析：考察图3解析:（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．例3．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?解析：考察图4.因为，所以．又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则．又因为，所以．又因为，所以平面．又因为平面，所以．例4．如图，在三棱柱中，已知底面，，，，D为的中点，点F在棱上，且，E为线段上的动点.（1）证明：；（2）若直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.解析：考察图5解析：在三棱柱中，底面，所以三棱柱是直三棱柱，则，因为，所以，又因为，D为的中点，所以,又，所以平面，则，易知，则，因为，三条，则，即，又，所以平面，所以；二．一些常见的空间垂直模型模型1.“筝形翻折模型”结论：如图，，设为中点，则，故面，则.模型2.面面垂直找交线，找到交线引垂线.下面的例6-例8均考察上述模型1：“筝形翻折模型”例6.(2022年全国乙卷数学)如图，四面体中，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．解析：（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面．例7．(2021年新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．解析：（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD，因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为平面BCD，所以AO⊥CD（2）作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM，因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD，所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC，因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF则为二面角E-BC-D的平面角,，因为,为正三角形,所以为直角三角形，因为,，从而EF=FM=，平面BCD,所以例8．（2017新课标3卷）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．（1）证明：平面⊥平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．解析：（1）由题设可得，，从而.又是直角三角形，所以.取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于是正三角形，故.所以为二面角的平面角.在中，.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC.下面的例9考察了面面垂直模型：面面垂直找交线，找到交线引垂线例9.如图，边长为的正方形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧上异于的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．证明：由题设知，平面平面，交线为因为，平面，所以平面，故因为为上异于的点，且为直径，所以又，所以平面而平面，故平面平面．三．习题演练一、单选题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项是正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则.2．已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（

）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对3．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为矩形，，则四棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题4．如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则下列结论成立的是（

）A． B．C．平面平面 D．平面平面5．是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（

）A．如果m⊥n,m⊥α,n//βB．如果m⊥α,n//αC．如果，那么D．如果m//n,α//β，那么与所成的角和与所成的角相等6．如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面B．C．平面D．平面7．已知m，n是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（

）A．若，，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，则第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、解答题8．如图1，在矩形中，，，为上一点，且．将沿折起，使得平面平面，如图2，点是线段的中点．

(1)求证：平面平面；(2)过点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①平面；②．请说明理由．9．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等边三角形．

(1)求证：；(2)若为边上的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论．10．如图所示，四棱锥中，是矩形，三角形为等腰直角三角形，，面⊥面，，，，分别为和的中点.

(1)求证：平面；(2)证明：平面⊥平面；(3)求四棱锥的体积.参考答案1．C【分析】由线面的位置关系考虑所有可能情况判断ABD，由直线垂直平面的性质定理及判定推理判断C.【详解】对于ABD选项，满足条件的直线均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故ABD错误；对于C选项，由，可得，又，则，故C正确.故选：C2．C【分析】根据面面垂直的判定定理判断．【详解】因为，，，且，平面，所以平面，因为，所以平面，由题易知平面，且，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，平面平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，所以平面平面，共5对.故选：C.3．D【分析】通过分析平面平面SCD确定球心位置，进而求出球的半径得体积.【详解】因为四边形ABCD为矩形，所以，又，且，平面SCD，所以平面SCD，又平面，故平面平面SCD，又，所以是等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心是CD的中点，又四边形ABCD为矩形的外接圆的圆心为AC，BD的交点，所以四棱锥的外接球的球心为AC，BD的交点，所以外接球的半径为，所以四棱锥的外接球的体积为．故选：D．4．ABC【分析】利用面面垂直的性质和判定判断A，B，C，利用分析法结合面面垂直的性质判断D即可.【详解】因为，为的中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，平面，所以，，所以A，B成立；又平面，所以平面平面，所以C成立；若平面平面，且，而面面，平面，所以平面，又平面，则，但此关系不一定成立，故D错误.故选：ABC5．BCD【分析】运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断A；运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断B；运用面面平行的性质定理，即可判断C；由平行的传递性及线面角的定义，即可判断D．【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设为直线m，为直线n，所在的平面为，所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故A错误；对于B，设过直线的某平面与平面相交于直线，则，由知，从而，故B正确；对于C，如果，则，故C正确；对于D，如果m//n,α//β，那么与所成的角和与所成的角相等，故D正确.故选：BCD.6．ABC【分析】根据平面，得到，再结合，利用线面垂直的判定定理判断A；由，为的中点，得到，再结合平面判断C；根据平面即可判断B；由，得到与不平行，与不垂直，即可判断D.【详解】平面，平面，又，平面且平面，故A正确由平面，平面得又，是的中点，又平面，平面，平面，故B,C正确由平面，平面得因为与不平行因此与不垂直从而不与平面垂直，故D错误故选：ABC.7．ACD【分析】A根据面面平行的判定判断；B由线面、面面位置关系，结合平面的基本性质判断；C过作平面，由线面平行性质及平行公理的推论判断；D由面面垂直的判定判断.【详解】A：由，且，，根据面面平行的判定知：，正确；B：，，，则或，错误；C：过作平面，而，则，又则，，故，所以，正确；D：由，，根据面面垂直的判定知：，正确.故选：ACD8．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，进而再证得面面垂直；（2）根据面面垂直可证线面垂直与线线垂直.【详解】（1）又已知，则，为等腰直角三角形，又为中点，则，平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，平面平面；（2）

在平面中，过点作直线，使，平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，，即存在直线满足题意.9．(1)证明见解析(2)能，证明见解析【分析】（1）连接，，由三线合一可得，，因为平面，所以；（2）先证明平面平面，再结合平面，最后应用面面垂直判定定理得证．【详解】（1）设为的中点，连接，，如图．

因为为等边三角形，所以，在菱形中，，为的中点，所以．又因为，，平面，所以平面．因为平面，所以．（2）当为的中点时，满足平面平面．证明如下：如图，设为的中点，连接，，，则在中，，因为平面，平面，所以平面，在菱形中，，因为平面，平面，所以平面，而，平面，，所以平面平面．由（1）得平面，而平面，所以平面平面．所以平面平面．10．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，连，根据中位线可知,得证；（2）欲证平面平面，根据面面垂直的判定定理可知在平面内一直线与平面垂直，