26.空间三大角的计算与应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

26.立体几何空间三大角一．通性通法★1.异面直线所成角与基本做法①定义：设是异面直线，经过空间任一点，作直线，把直线所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角)，其范围为.特别地，如果两条异面直线所成的角是直角，那么两条异面直线互相垂直，记作．该定义就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把空间图形问题转化为平面图形问题.具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的（凌晨讲数学）取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．★2.向量法计算公式：异面直线所成角设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：①②★3.直线与平面所成角（1）定义：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足；过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）范围：直线与平面所成的角的取值范围是.由上述定义可知，计算线面角的关键点在于向平面做垂线，找到这个垂线段的长度，为了找到垂线并且能够有效的计算出垂线段的长度，除了定义法之外，可以利用等体积法来计算点到面的距离.此外，可以利用面面垂直的性质找到点到面的垂线段，这些都是计算线面角的常用方法之一.★4.向量法求直线和平面所成的角如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（易错点）★5.二面角的定义（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面；直线叫做二面角的棱，半平面和叫做二面角的面．记法：.（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，如图所示，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的叫做二面角的平面角．★6.向量法计算二面角如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．二．“神技大招”（重要二级结论）★1.空间余弦定理：如图，在空间四边形中，连接，设异面直线与的所成角为，那么同理，异面直线与的所成角的余弦值为：；异面直线与的所成角的余弦值为★2.三余弦定理设为面上一点，过的斜线在面上的射影为，为面上的一条直线，则证明：如图，过点作，由于，则，从而.于是，于是得证：★3.三面角定理由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则.证明：如图，，，在上取一点，过在平面内作，交于，过在平面内作，交于，连接，则是二面角的平面角，即.设，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，在中，，在中，，即为，所以.三．真题展示例1.（2025年新高考1卷）如图所示的四棱锥中，平面，．（1）证明：平面平面；（2），，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．（i）证明：在平面上；（ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．解析：（1）（1）由题意证明如下，在四棱锥中，⊥平面，，平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）（i）略（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，，设直线与直线所成角为，∴.法2：由几何知识得，，，∥，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，过点作的平行线，交的延长线为，连接，，则，直线与直线所成角即为中或其补角.∵平面，平面，，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，在Rt中，，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，，即：解得：∴直线与直线所成角的余弦值为：.例2.（2024年新高考1卷）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．（1）若，证明：平面；（2）若，且二面角的正弦值为，求．解析：（1）（1）因为平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因为，所以，根据平面知识可知，又平面，平面，所以平面．（2）（方法1.几何法）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，因为平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，即，即．因为，设，则，由等面积法可得，，又，而为等腰直角三角形，所以，故，解得，即．（方法2.向量法）以，所在直线为，轴，过点作平面垂直的线为轴，建立如图所示空间直角坐标系：令，则，，，，，故，，设平面的法向量，所以，设，则，，所以，设平面CPD的法向量为，所以，设，则，，所以，因为二面角的正弦值为，则余弦值为，又二面角为锐角，所以，解得，所以.（方法3.三面角定理，考试需证明该定理，不适合解答题使用）由于，故面，则，假设，那么，，.由三面角定理可得：，故.例3.（2022年全国甲卷）在四棱锥中，底面，，，，．（1）证明：；（2）求与平面的所成的角的正弦值．解析：（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；（2）（方法1.几何等体积）设点到平面的距离为，在中，，,由等体积法得：,，设与平面所成角为则（方法2.向量法）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.（方法3.几何垂面）作交于，∵平面，平面∴，∴平面面,∴面面,过点作面的垂线，垂足在面与面的交线上，∴直线与平面所成角，在中:∴，故直线与平面所成角的正弦.例4.（2021年高考全国乙卷）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（）A.B.C.D.解析：令，则在三棱柱中，；由勾股定理可求，，设直线与所成的角为，故由空间余弦定理得：，因为，所成，因此选D.例5.（2020年浙江卷）如图，在三棱台中，平面平面，，.（1）证明：.（2）求直线与平面所成角的正弦值.解析：如图所示，过点作于，因为，所以点在平面上的射影一定在的平分线上，设直线与平面所成角为，因为，所以与平面所成角也为.由（1）知，由三余弦定理知，即，所以，从而，即直线与平面所成角的正弦值为.注.亦可几何法或者建系，此处略去.例6.（2017年全国卷3理16）为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线与成角时，与成角；②当直线与成角时，与成角；③直线与所成角的最小值为；④直线与所成角的最小值为.其中正确的是_______（填写所有正确结论的编号）.（公众号：凌晨讲数学）解析：如图所示，设为直线，为直线，过分别作的平行线，，则直线与直线所成的角分别为，.注意到，当斜边以直线为旋转轴旋转时，平面始终与所确定的平面是垂直的，设，由题意可知.根据三余弦公式，有，同理，有，由此可以判断命题②③正确.四．对点训练1．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体ABCDEF中，是棱BC的中点，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是___________3．在四棱锥中，平面，，点M是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为．当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（

）．A． B． C． D．4.已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（

）A． B． C． D．5.如图，在四棱锥中，底面，，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且．

（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．6.（2025年新高考2卷）．如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．（1）证明:平面；（2）求面与面所成的二面角的正弦值．7.（2022年新高考1卷）如图，直三棱柱的体积为，的面积为．（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．参考答案1.解析：连接，取的中点，连接,，由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角），在中，，则,则异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.2.解析：取棱AB的中点，连接HG，FG，因为H，G分别是棱BC，AB的中点，所以，则是异面直线HF与AC所成的角或补角，设，则，在中，由余弦定理可得，（凌晨讲数学）则异面直线HF与AC所成角的余弦值是.3.解析：如图，因为平面，垂足为，则为直线与平面所成的角，所以，因为，所以，所以点位于底面矩形内的以点为圆心，为半径的圆上，注意，，记点的轨迹为圆弧，当点位于时，三棱锥的体积最小，由AF、BF在面ABCD内，则，三棱锥的外接球球心为的中点.因为，所以三棱锥的外接球的表面积.故选：C4.解析：设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，且，故.因为，故，故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，而三角形内切圆的圆心为，半径为，故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为，故选：B5.解析：（1）因为底面，底面，所以，因为，面，所以面，因为面，所以，因为底面为直角梯形，，，，所以在中，，,在中，，，连接，，设，则，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为底面，底面，所以，因为底面为直角梯形，所以，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以,所以，设平面的一个法向量，所以，取，则，设直线与平面所成角大小为，因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.

6.解析：（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形，所以，所以，因为平面平面，所以平面，因为平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）因为，所以，又因为，所以，以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系.因为，平面与平面所成二面角为60°，所以.则，，，，，.所以.设平面的法向量为，则，所以，令，则，则.设平面的法向量为，则，所以，令，则，所以.所以.所以平面与平面夹角的正弦值为