28.圆的双切线问题与应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

28.圆的双切线模型的八大结论与应用圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020，2024年全国卷真题均有涉及.尽管如此，在实际应用中，学生对该模型中的相关几何结论的理解和使用仍然显得办法不多，因此，本文将系统的梳理一下圆的双切线模型中的常见结论及应用，希望提升同学们对这类问题的解决能力.一．基本原理如图1，从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则四边形具有如下的性质：★1.；.★2.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小.★3.四点共圆，的外接圆以为直径（托勒密定理）.★4.平分.★5.，当半径给定，四边形最小等价于最小.★6.假设且.由基本的三角恒等关系可知：，故可得：.对使用均值不等式可得最小值.图1★7.若是圆上一点,则圆的过点的切线方程是.证明：因为点在圆上,所以,即,从而点在直线上.又因为圆心到直线的距离，所以是圆的过点的切线方程.当点在圆外时,方程表示怎样的直线呢?如图1,过作圆的两条切线,切点分别为A,B.设,则直线的方程为，因为在直线上,所以故满足方程即点在直线上.同理点在直线上.所以是直线AB的方程,即切点弦所在直线的方程.一般地，假设，圆的方程为（）则切点弦的方程为：.★8.双切线模型的算法规律（同构视角）已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，设（凌晨讲数学）.第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）；第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程③；第3步：利用方程③根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题.二．典例分析例1.（2023年新高考1卷）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．解析：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以.例2.若是直线：上一动点，过作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（）A． B． C． D．解析：考察性质5.因为直线与圆相切，所以，且所以四边形面积，又，所以当最小时，最小，四边形面积的最小值，由图象可得，最小值即为点到直线的距离，所以，所以，所以四边形面积的最小值，故选：B例3.（2020全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（）A． B． C． D．解析：综合考察性质3，5,7.圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．例4.P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（

）（凌晨讲数学）A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得C．直线经过一个定点 D．线段的中点在一个定圆上解析：依题意，即，设，则为的中点，且，所以，所以，，又，所以，，所以，，故A正确，B不正确；设，则，所以以为直径的圆的方程为，则，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，故C正确；又，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确；故选：ACD例5．已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（

）A．若直线l与圆M相切，则B．当时，四边形的面积为C．直线经过一定点D．已知点，则为定值解析：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离，解得，所以A正确；对于B，当时，，，，因为为圆的两条切线，所以，所以四边形的面积，所以B错误；对于C，因为，，且，所以四点共圆，且为直径，所以该圆圆心为，半径为，所以圆的方程为：，因为是该圆和圆的相交弦，所以直线的方程为两圆方程相减，即，化简可得：，所以直线经过定点，所以C正确；对于D，因为，所以，因为在直线上，所以即点C在以为直径的圆上，因为，，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为：，圆心为，因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确．故选：ACD例6．已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（

）A．圆的圆心坐标为，半径为B．切线C．直线的方程为D．解析：对于A项，由可得：，知圆心为,半径为，故A项正确；

如图，点为圆的两条切线,切点分别为.对于B项，分别连接,在中，,则,故B项错误；对于C项，设过点的圆的切线方程为：，即：，由圆心到直线的距离，解得：，取，则切线方程为代入整理得：，解得：，代入可得：，即得：，因,直线的斜率为1，则直线的斜率为，故直线的方程为：，即：，故C项正确；对于D项，由对称性可知,由上分析知，,则，于是，.故D项错误.故选：AC.例7．过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则________.解析：圆：的圆心为O0,0，半径；圆：的圆心为，半径；由题意可知：，可知点在以为直径的圆上，以为直径的圆为，整理得，结合圆：，两圆方程作差，可得直线的方程为，即，若直线与圆：相切，则，整理得.故答案为：81.例8．如图，已知圆，动点，过点P引圆的两条切线，切点分别为．（1）求证：直线过定点；（2）若两条切线与轴分别交于两点，求的面积的最小值．解析：（1）由题知，圆的标准方程为，所以圆心，半径，因为是圆的两条切线，所以，，所以A，B在以PC为直径的圆上，又因为，且PC的中点为，所以以PC为直径的圆M的方程为，化简可得，所以AB为圆C与圆M的公共弦，所以直线AB的方程为，令，解得，所以直线过定点；（2）当PA，PB有一条斜率不存在，即时，不妨设PA的斜率不存在，则直线PA的方程为，此时，，设直线PB的方程为，由圆心到PB的距离，解得，所以直线PB的方程为，所以，此时，；同理斜率不存在时；当PA，PB斜率均存在，即时，设过点的切线方程为，即，因为PA，PB与圆C相切，所以圆心C到直线的距离，即，，设PA，PB的斜率分别为，，则，，又点在直线上，点在直线上，，，所以,，所以．又因为且，所以当时，，此时．综上，面积的最小值为．三．习题演练1．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．2．已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（

）A． B． C． D．3．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线和，其中，为切点，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．的最大值为C．当最小时，直线的方程为D．原点到动直线距离的最大值是1参考答案1.解析：由图可知，，，则四点共圆，圆的直径是，点，，，的中点坐标为，所以四边形的外接圆的方程为，即，圆，两式相减得直线的方程，则原点到直线的距离.故选：A2.解析：圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由圆的几何性质可知，，因为，，，所以，，所以，，则，设，则为的中点，由勾股定理可得，由等面积法可得，所以，当PC取最小值时，AB取最小值，由，可得，所以，PC的最小值为，当与直线垂直时，PC取最小值，则，因为，解得.故选：D.3.解析：对于A，因为，即当最小时，最小，由点为直线上一动点，，所以，A正确；对于B，由题易知