30.圆锥曲线的六大统一定义与应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

1.丹德林双球与圆锥曲线的立体视角基本原理1.丹德林双球的定义如图1所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.图1图2如图1，设直线分别与圆锥母线交于两点，再设过点的母线分别与，交于两点，由切线长定理：，，故.同理，对于平面与圆锥侧面的交线上任意一点，过的母线分别与，交于两点，则.即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长.2.长轴长与双球半径之间的关系：设两个球，的半径分别为，球心距，则如图2，图3，.3.焦距与双球半径之间的关系：如图4，设，（公众号：凌晨讲数学）由于，最终求出.图3图44.离心率与截面角之间的关系在空间中，已知圆锥是由围绕旋转得到的，我们把称为轴.用平面截圆锥，得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴所成的线面角（显然，当与平行时，），具体关系如下：若，平面截圆锥面所得截口曲线为椭圆；若，平面截圆锥面所得截口曲线为抛物线：若，平面截圆锥面所得截口曲线为双曲线.这个比值就是圆锥曲线的离心率，离心率是一个比.二．典例分析例1．（2023届广州一模）如图是数学家Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.解析：设，由，解得，所以，所以，设直线与圆锥的母线相交于点，圆锥的母线与球相切于两点，如图所示，则，两式相加得，即，过作，垂直为，则四边形为矩形，所以，，所以椭圆的离心率为.故答案为：例2.如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球，的半径分别为1、4，则椭圆的长轴长为___________．（公众号：凌晨讲数学）解析：如图，A、B为圆锥的一条母线与球的切点，连接、，则，连接，过作交于点D，则，在直角中，，所以，解得，故，在和中，，，为公共边，所以，有.同理可得，由椭圆的定义，得长轴+.故答案为：.例3．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，两个球分别与平面相切于点，丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面截圆锥得的是焦点在轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：交于点M，求证：O，D，M三点共线.解析：（1）因为圆锥的母线与它的轴的夹角为，所以，且，所以直角三角形中，，所以，又因为，所以，，故椭圆的标准方程为（2）设，由题可知直线AB的斜率存在且不为0，设其方程为，代入椭圆，得：所以，所以，由题可知直线的方程为，且，所以求得：，，所以，故O，D，M三点共线.

2.与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用一．基本原理1预备结论：在平面直角坐标系中，二元二次方程满足以下条件时，其图像为双曲线.（1）系数矩阵满秩，即，（2）.2.本节核心结论：设动点，为两定点（原点除外），，则有：（1），根据上述结论，为双曲线（2），为抛物线，即，当时，为圆，时，为双曲线，且时，为椭圆.，当时，为一条直线.二．典例分析例1．点A，B的坐标分别是直线AM与BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率的商是则点M的轨迹是（

）A．有一个间断点的直线 B．圆C．椭圆 D．抛物线解析：设点M的坐标为则点A，B的坐标分别是直线AM与BM的斜率的商是可得即．则点M的轨迹是有一个间断点的直线．故选：A例2．与点和点连线的斜率之和为的动点P的轨迹方程是（

）A． B．C． D．解析：设动点，，，整理得.故选：B例3．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（

）A．B．C．D．解析：设，则，整理得，所以动点的轨迹方程是.故选：A.例4．已知函数，则下列说法中不正确的是（

）A．为奇函数B．在其定义域内为增函数C．曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值D．曲线的切线的斜率的最大值为2解析：A.函数的定义域是，，所以函数是奇函数，故A正确；B.设，且，，因为，所以，因为，，所以，则，即，即，所以，即，所以函数在定义域内是增函数，故B正确；C.设函数上任一点，，，故C正确；D.，，根据导数的几何意义可知，曲线y=fx的切线的斜率的范围是，故D错误.故选：D例5．已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（

）A．当时，点的轨迹是双曲线.B．当时，点在圆上运动.C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.D．无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形.解析：设，则，所以，，整理得，所以对于A选项，时，点的轨迹是去除了两个点的双曲线上，故A选项错误；对于B选项，当时，点的轨迹为圆，故在圆上运动，故B选项正确；对于C选项，当时，点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，故当时，椭圆的离心率随着的增大而减小，故C选项错误；对于D选项，由于，点的运动轨迹，对任意的点与均在，故曲线关于轴对称，点的运动轨迹为，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D选项正确.故选：BD例6．设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（

）A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分解析：设Mx,y，则，当时，即，有，故A正确；当时，有，故B正确；当时，，即，故C正确；当时，，即显然不是椭圆，故D错误.故选：ABC例7．在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为__________.解析：设，则，，所以，即，即动点的轨迹方程为，，所以，所以当时.故答案为：三．习题演练1．已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（

）A．点的轨迹关于轴对称B．点的轨迹关于原点对称C．若且，则恒成立D．若且，则恒成立2．已知点，直线相交于点，且它们的斜率之和是2．设动点的轨迹为曲线，则（

）A．曲线关于原点对称B．的范围是的范围是C．曲线与直线无限接近，但永不相交D．曲线上两动点，其中，则3．设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为常数，则下列结论正确的是（

）A．时，点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点）B．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点）C．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点）D．时，点的轨迹为椭圆（不含与轴的交点）4．已知点，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为1，过M作圆C：的切线MP，P为切点，则的最小值为______.参考答案1.解析：因直线的斜率存在，故.由可得，，整理可得，因，故得，即点Mx,y的轨迹方程为：.如上作出函数的图象，由图易得A错误；对于B，由，可得，即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；对于C，当且时，因，即得恒成立，故C正确；对于D，当且时，设，因，，故在且时不能恒大于0，即不能恒成立,故D错误.故选：BC.2.解析：设Mx,y，由题意，即，化简得，即且，对于A，将代入得，即，所以曲线关于原点对称，故A正确；对于B，由A选项知，的范围是且，故B错误；对于C，由，得，当时，，即，当时，，即，所以曲线与直线无限接近，但永不相交，故C正确；对于D，要使PQ最小，则曲线在两点的切线平行，由，得，则，所以，因为，所以，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以，故D正确.故选：ACD3.解析：设，则，，则，即得，整理可得，当时，易知点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点），故A正确；当时，可化为，因为，以点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点），故B正确；当时，可化为，因为，所以点的轨迹为焦点在轴，以，为短轴端点的椭圆（除去点，），故C错误；若，则，表示以原点为圆心，为半径的圆（除去点，），故D错误；故选：AB．4.解析：令，由题设有，即，又圆心且半径，则，所以，当时.故答案为：.

3.圆锥曲线第二定义与应用一．基本原理1.椭圆第二定义已知点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求点的轨迹.解析：化简得令，上述方程就可化为2.双曲线第二定义类似地，我们可以得到:当点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数时，这个点的轨迹是双曲线，方程为(其中)，这个常数就是双曲线的离心率.解析：设是动点，定点为，定直线为，常数，由上述可得：，化简得到．其中．3.抛物线的定义是众所周知的，不再赘述.4.圆锥曲线第二定义这样，圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点和到一条定直线不在上)的距离之比等于常数的点的轨迹.当时，它是椭圆；当时，它是双曲线；当时，它是抛物线.其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆雉曲线的准线.二．典例应用例1.圆锥曲线焦半径：椭圆，，分别为其左右焦点，为椭圆上一点，那么该椭圆左准线为，右准线为，根据椭圆第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与它到对应准线的距离之比等于离心率则，．同理对于双曲线有相似的结论成立：为双曲线上的一点，，分别为双曲线的左右焦点，则，．例2.（2018全国三卷）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②，将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得：.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.例3.已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，与双曲线的右准线相交于点，点为右焦点，若，，则实数的值为_________.解析：记、在右准线上的射影分别为点、，由及双曲线第二定义知：，又，所以，从而，则.例4.证明：角度形式焦半径：上加下减，即证明：设椭圆的准线与轴交于点，为椭圆的左右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点.设，过两点向准线引垂线，垂足记为点.根据椭圆第二定义，,.过两点再向轴引垂线，垂足记为点.显然，再代入可得，整理化简：同理可得：类似地，双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）例5.已知椭圆，左焦点为，在椭圆上取三个不同点、、，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．解析：在椭圆中，，，，如下图所示：椭圆的左准线为，以为顶点，轴的正方向为始边的方向，为角的终边，当时，过点作，过点作，垂足分别为点、，易知四边形为矩形，则，由椭圆第二定义可得，则，又因为轴，则，所以，，所以，，因为，即，所以，，同理可知，当为任意角时，等式仍然成立，同理可得，，因此，，故的最小值为.故选：B.例6．（1）设椭圆（）的左、右焦点分别为F1−c,0，，左、右准线方程分别为：，：.如图，由椭圆上的动点Px0,y0向，分别作垂线，垂足分别为，.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率（，）.请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式，.（2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知为椭圆上两个不同的点，为右焦点，，若线段的垂直平分线交轴于点，求.解析：（1）由，得，，又，，所以，，即，.（2）由题意，在椭圆中，，，，.设Ax1,y1，Bx则由焦半径公式，得，所以，所以线段的中点为.设.由题意知，直线与坐标轴不平行，且直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为，则线段的垂直平分线方程为.代入，得，解得，所以.三．习题演练1.如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．解析：（1）设椭圆方程为．因焦点为，故半焦距，又右准线的方程为，从而由已知，因此，，故所求椭圆方程为.（2）记椭圆的右顶点为A，并设（1，2，3），不失一般性，假设，且，．又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有

．解得．因此，而，故为定值．综上，椭圆方程为；.2.椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质．比如三种曲线都可以用如下方式定义（又称圆锥曲线第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线．当为椭圆，当为抛物线，当为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e为圆锥曲线的离心率．依据上述表述解答下列问题．已知点，直线动点满足到点F的距离与到定直线l的距离之比为(1)求曲线的轨迹方程；(2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线中，O为抛物线顶点，过焦点F的直线交抛物线与A，B两点，连接，并延长交准线l与D，C，则以为直径的圆与相切于点F，以为直径的圆与相切于中点．那么如图在曲线E中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由．解析：（1）由题知，曲线的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，所以所以椭圆E的轨迹方程为（2）以为直径的圆与不相切．理由如下：当焦点弦的最大值为长轴长，此时圆方程为，圆与直线相离；当轴时焦点弦的最短，此时圆方程为，圆与直线相离；以为直径的圆与相切于点F，证明如下：设，，直线的方程为由化简得由韦达定理得直线的方程为，令，得，同理，，，所以，以为直径的圆过点F又因为中点坐标为，而，即所以，，所以为直径的圆与相切于点F

4.如何用矩形折出圆锥曲线一．课本案例1．（人教A版选择性必修一P116）如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上．解析：由题得，，所以，所以直线的方程为，①，由题得，所以，所以直线的方程为，②，联立方程①②解之得所以直线的交点为，代入椭圆方程得，所以直线的交点在椭圆上.同理ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上．2．（苏教版选修第一册P87）把矩形的各边n等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？解析：设矩形的长，宽，以的中点为原点，所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系，则由于整个图形关于轴对称，我们只研究第一象限，设点是上自右到左的第个分点，点是上自上到下的第个分点，则，，所以①，②，①，②式相乘且整理得③，因为点是直线与的交点，所以点满足方程③故点在椭圆上．3．（苏教版选修第一册P100）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？

解析：设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设第组对应直线与的交点为，且点在第一象限，则，，，，直线的方程为，①直线的方程为，②点坐标满足方程①②，①②相乘得，即（点在第一象限），所以点在双曲线的右支上半部分上运动.

.4．（苏教版选修第一册P105）如图，将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使点D总是落在对边AB上，然后展开纸片，得到一条折痕l．这样继续下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？解析：设点折后落到边上的点，则线段被折痕垂直平分，在折痕上取一点，且，则可得，，即折痕围成的轮廓上的任意一点到定直线的距离与它到定点的距离相等，∴根据抛物线的定义可知折痕围成的轮廓曲线是以为焦点，为准线的抛物线.（凌晨讲数学）二．真题回顾例1．（2003年全国卷）已知常数，在矩形中，，，为的中点，点、、分别在、、上移动，且，为与的交点（如图），问是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由解析:按题意有,,,，设由此有，，，直线的方程为：①直线的方程为：②，从①，②消去参数，得点的坐标满足方程，整理得:.当时，点的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当时，点轨迹为椭圆的一部分，点到该椭圆焦点的距离的和为定长当时，点到椭圆两个焦点，的距离之和为定值.当时，点到椭圆两个焦点,的距离之和为定值.例2．（2013年福建卷理科数学）如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，分别将线段和十等分，分点分别记为和，连接，过作轴的垂线与交于点.（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线的方程；（2）过点作直线与抛物线E交于不同的两点,若与的面积之比为4:1，求直线的方程.解析：（1）依题意，过且与轴垂直的直线的方程为，的坐标为，所以直线的方程为.设的坐标为，由得，即.所以点都在同一条抛物线上，且抛物线的方程为.（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为.由得，此时，直线与抛物线恒有两个不同的交点.设，则，因为，所以.又，所以，分别代入上述韦达定理，得，解得.所以直线的方程为，即或.三．近期模拟例3.（广东省25届高三开学联考）如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为_______________.解析：以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（见右图）.因为，所以，所以，又因为，所以，所以.因为，所以直线的方程为①，因为，所以直线的方程为②.由①可得，代入②化简可得，结合图象易知点可到达，但不可到达，所以点轨迹方程为，故答案为：.例4．在矩形中，，，、、、分别为矩形四条边的中点，以，所在直线分别为，轴建立直角坐标系（如图所示）.若、分别在线段、上.且.（1）求证：直线与的交点总在椭圆：上；（2）若、为曲线上两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点.解析：（1）∵，∴，，又则直线的方程为

①，又则直线的方程为②，联立①②:解得，，∴直线与的交点在椭圆：上；（2）①当直线的斜率不存在时，设：，则，∴，不合题意，②当直线的斜率存在时，设：，，.联立方程得，则，，，又，即，将，代入上式得，∴直线过定点.例5．如图，矩形中，AB=4，.、、、分别是矩形四条边的中点，设，.（1）证明：直线与的交点在椭圆：上；（2）已知为过椭圆的右焦点的弦，直线与椭圆的另一交点为，若，试判断是否成等比数列，请说明理由.解析：（1）设，依题意，，，，，则直线的方程为①

，直线的方程为②

①×②得：即

故直线与的交点M在椭圆上；（2）依题意，直线的斜率均不为零，故设直线PO的方程为，直线MO的方程为

由得：

由得

即成等比数列.

5.以焦点弦为直径的圆和准线的位置关系一．基本原理1.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？分析：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，在直角梯形APQB中，,故圆心M到准线的距离等于半径，∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．圆半径为r，则，分别过点A，B做右准线的垂线，则构成一个直角梯形，两底长分别为,（e为离心率）圆心到准线的距离d为梯形的中位线长即∵椭圆0＜e＜1，∴，∴相离,双曲线e＞1，可得d＜r，相交．2.一般地，设圆锥曲线的焦点F，过焦点的弦为PQ，以PQ为直径的圆与相应于F的准线相切于N，连接MN，过，分别作的垂线，垂足分别为，，根据圆锥曲线的第二定义可得：，于是可得：显然，当时，椭圆中以过右焦点的焦点弦为直径的圆和右准线相离（左边类似，当时，抛物线中以过焦点的焦点弦为直径的圆和准线相切，时，双曲线中以过右焦点的焦点弦为直径的圆和右准线相交（左边类似）.二．典例分析例1.（2023年新高考2卷）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

例2.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或，因此所求圆的方程为或．

6.圆锥曲线的光学性质与应用一．基本原理1.抛物线的光学性质：如图1所示，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线；如图2所示，设抛物线在P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥上切线l交对称PM⊥轴于点M，则焦点F是QM的中点.2.椭圆的光学性质：如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图4所示，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥lPQ⊥l交直线F₁F₂,于点Q,则PQ平分∠F₁PF₂,由角平分线性质定理，|P3.双曲线的光学性质：如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点；如图6所示，双曲线在点P处的切线l与直线F₁F₂相交于点Q，则PQ平分.∠F₁PF₂,由角平分线性质定理，|P二．典例分析例1．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，阿波罗尼奥斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线：，一束平行于抛物线对称轴的光线经过，被抛物线反射后，又射到抛物线上的点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．解析：设从点沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点，易知，将代入抛物线方程得，即，设焦点为，则，设，由，，三点共线，有，化简得，解得或(舍)，即.故选：D例2．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（

）A． B． C． D．解析：抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则，直线方程为：，即，由，消去得，解得或，由，得，于是，，而，所以的周长为.故选：D

例3．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（

）A． B． C． D．解析：设，，，由题意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以.故选：B.例4．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（

）注：表示面积.A．2 B． C．3 D．解析：如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，则.故，解得.又，所以，所以.故选：C.例5．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出去.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.己知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则下列结论正确的是（

）A．B．C．平分D．延长交直线于点.则三点共线解析：代入得，所以，又，直线方程为，即，由，解得或，所以，即，，A错；，B正确；，，即，，又，即，且都是锐角，所以，C正确；准线的方程是，直线方程为，由代入得，即，所以在直线上，D正确.故选：BCD.例6．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（

）A．若直线的斜率存在，则的取值范围为B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6C．当时，的面积为12D．当时，解析：如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和，对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确；对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为，所以B正确；对于C中，由，得，即，所以，设，则，因为，所以，