45.二项式定理及其应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

45.二项式定理及其应用一．基本原理考点1.二项式定理1.一般地，对于任意正整数，都有：，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，下面给出二项式定理的证明过程，利用排列组合来证明，这个方法可以进一步推广到证明三项展开式.证明：一般地,由 可知,展开式是从每个括号中各取1个字母的一切可能乘积的和,它的每一项都具有的形式.对于某个,对应的项是由个中选个中选得到的.由于选定后,的选法也随之确定,因此,的系数就是在的个括号中选个取的方法种数.具体地,在这个括号中,每个都不取的情况有1种,即种,所以的系数是;恰有1个取的情况有种,所以的系数是;恰有2个取的情况有种,所以的系数是;恰有个取的情况有种,所以的系数是;都取的情况有种,所以的系数是.因此, 考点2.二项式系数的性质（1）每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．（2）对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．（3）二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．（4）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，则，从而得到：．（5）最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．（6）求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．考点3.二项式系数和的计算与赋值（1）若，则的展开式中各项系数的和为当为偶数时，奇数项系数的和为，偶数项系数的和为；当为奇数时，奇数项系数的和为，偶数项系数的和为.（2）求形如的展开式的各项系数之和，只需令即可；求形如的展开式的各项系数之和，只需令即可（3）两个常用的二项展开式：①（）②二．典例分析题型1.二项展开式的应用例1．（多选题）在的展开式中,下列说法正确的是(

)A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为解析：根据二项式定理,的通项公式为,对于A,常数项为,故A正确;对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确;对于D,令,各项的系数之和为,故D错误.故选:AC.例2．在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（

）A． B． C． D．解析：在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以.则即，通项公式为，故展开式共有9项，当时，展开式为有理项，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有种,故有理项都互不相邻的概率为,故选：C题型2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式例3．的展开式中x3y3的系数为 ()A．5 B．10 C．15 D．20解析：展开式的通项公式为（且），所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和，在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为，所以的系数为，故选：C题型3.形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式例4．的展开式中，的系数为（）A．60 B． C．30 D．解析：因为，于是在5个多项式中，取2个用，再从余下3个多项式中取2个用，最后1个多项式用常数项相乘，因此含的项为，所以的系数为60.故选：A题型4.二项式系数的性质例5.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________解析：由只有第5项的二项式系数最大可得：.∴通项公式，令，解得.∴展开式中含项的系数为.故答案为：.例6．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（

）A．60 B．80 C． D．解析：当时，，解得，则的展开式第项，令，解得，所以，故选：B题型5.系数和与赋值法例7．已知，则______.解析：令，则，令，则，①令，则，②两式相加得所以，所以.答案为：.题型6.综合问题例8．已知，则的值为（

）A．0 B． C． D．解析：设，则，令得：，即：，①令得：，②所以得：.故选：C.三．习题演练一．单选题1．一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（

）A． B．60 C．120 D．2402．若，则 ()A．40 B．41 C． D．3．的展开式中的系数为 ()A．12 B．16 C．20 D．244．的展开式中的系数为()A． B． C． D．二．多选题5．已知，则（

）A． B．C．除以5所得的余数是1 D．6.在展开式中（

）A．展开式中不存在含的项 B．展开式所有项系数和为243C．展开式中含项的系数为30 D．展开式共21项7．在的展开式中,下列说法正确的是(

)A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为三．填空题8．展开式中的系数为________________(用数字作答)．9．设，则a5=________；a1+a2+a3=________．10.已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为20，则实数的值为__________.1.2参考答案1.解析：因为，所以，所以展开式的通项为：，令得：，所以展开式的常数项为，故选：B．2.解析:令，则，令，则，故，故选,B．3.解析：因为，所以的系数为，故选A．4.解析：展开式的通项公式为，令，解得，故含的系数为，故选C．5.解析：选项A，因为，令，得到，所以选项A正确；选项B，因为二项展开式的通项公式为，由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以，由，令，得到，令，得到，所以，所以选项B错误；选项C，因为，所以除以5所得的余数是1，选项C正确；对于选项D，因为，两边同时对求导，得到，令，得到，所以选项D正确.故选：ACD.6.解析：表示个相乘，含的项是在个中选个，个，所以展开式中含的项的系数为，故A错误；令，则展开式所有项系数和为，故B正确；含项是在个中选个，个，个，所以展开式中含的项的系数为，故C正确；的展开式的项可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素，现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘，若只选一个字母则有种，若选个字母则有种，若选个字母则有种，故展开式共有项，故D正确；故选：BCD7.解析：根据二项式定理,的通项公式为,对于A,常数项为,故A正确;对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;对于C,因为,所以各项的