50.导数与概率的综合性压轴-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

50.导数与概率综合压轴随着概率与统计的地位越来越重要，未来不排除导数与概率综合去命制压轴题目，作为最后一节，我们赏析一下概率与导数压轴题.一．基本原理：似然估计与概率最值1.已知函数：输入有两个：表示某一个具体的数据；表示模型的参数，如果是已知确定的，是变量，这个函数叫做概率函数，它描述对于不同的样本点，其出现概率是多少.如果是已知确定的，是变量，这个函数叫做似然函数，它描述对于不同的模型参数，出现这个样本点的概率是多少.极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值.换句话说，极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”.2.二项分布的两类最值（1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题..分析：当时，，随值的增加而增加；当时，，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值.注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大.（2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值.3．超几何分布的概率最值将从件产品中取出件产品的可能组合全体作为样本点，总数为.其中，次品出现次的可能为.令，则所求概率为即.令则当时，；当时，，即当时，是关于的增函数；当时，是关于的减函数.所以当时，达到最大值.二．典例分析例1.（安徽省合肥市2025届高三二模）．当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量的分布列为，，．则称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小．（1）若的分布列为，，，求的最大值；（2）证明：；（3）若，且为定值，设，证明：．解析：（1）由题意知，，其中．令，则．所以当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．所以在时取得最大值，且最大值为．（2）要证，即证，因为（当且仅当，即时等号成立成立），，所以.（3）由题意知，则，由，则，所以，则，即得．例2.（2021新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．（凌晨讲数学）解析：（2）设，因为，故，若，则，故.，因为，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，而当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.若，则，故.此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，.意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.例3.（24届湖北省部分学校联考）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取）（1）若，，求；（2）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.解析：（1）这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有种情况.要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况：①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.故所求概率为.（2）记事件表示最大的麦穗被摘到，事件表示最大的麦穗在麦穗中排在第颗.因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以.以给定所在位置的序号作为条件，.当时，最大的麦穗在前颗麦穗之中，不会被摘到，此时.当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大的一颗在前颗麦穗中时，此时.由全概率公式知.令函数，，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以.所以当，时取得最大值，最大值为，此时，即的最大值为，此时的值为.例4.（2011全国卷）（1）设函数，证明：时，；（2）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为．证明：.解析：（1），当时，，所以为增函数，又，因此时， .（2）依题，又，所以由（1）知：当时，，因此在上式中，令，则，即，所以三．习题演练1.在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为．（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则．（公众号：凌晨讲数学）注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率）（ⅰ）完成下表；0123（ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值．（2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．2.设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设．（1）若，求；（2）若，求的最小值.3．函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：；（3）盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：．4．某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．（i）试用含m的代数式表示p；（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．5．某地区为选拔运动员举行了一次运动会（采用积分制），运动员通过参加各项比赛获得积分．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分，规定两名运动员谁先赢局，谁就能获得该项比赛的全部积分，根据以往经验，每局比赛甲赢的概率为p，乙赢的概率为，每局比赛相互独立．（1）若，，在乙先赢了第一局的条件下，求甲最终赢得全部积分的概率；（2）在甲赢了m局，乙赢了n局时，比赛意外终止．对于积分应该如何分配，评委给出的方案是：根据以往经验数据，甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比分配积分．（ⅰ）若，，，，求；（ⅱ）若，，，求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率，并判断当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5％．6．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布、特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数.（1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似：当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，利用其与正态分布的联系求的值（保留三位小数）；（2）某公司制造微型芯片，次品率为0.1%，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数.①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率；②若，，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过与①的计算结果比较，你发现了什么规律？（3）若，当时，记的取值范围为集合，证明.参考数据：若，则有，，；，，.7．某检测中心在化验血液时有两种化验方法：①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次.②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次.（1）现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率；（2）现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；.（3）现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值.（参考数据：）参考答案1.解析：（1）因为，所以的值为或．（ⅰ）表格如下0123（ⅱ）由题知．当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大．所以（2）对对数似然函数进行求导，，因此似然方程为，解上面的方程，得，因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的．2.解析：（1）不妨设，则.所以.（2）当时，，记，则，令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，则单调递增，而，所以在为负数，在为正数，则在单调递减，在单调递增，所以的最小值为.3.解析：（1）定义域为，，对于方程，，当，即时，，，在上单增，当，即或时，方程有两不等根，，，而，，所以当时，，在上恒成立，在上单增；当时，，或时，，时，，所以在和上单增，在上单减，综上，当时，在上单增；当时，在和上单增，在上单减；（2），所以要证，即证，即证，也即证（*）成立．设，函数，由（1）知在上单增，且，所以时，，所以（*）成立，原不等式得证；（3）由题可得，因为，，…，，所以，又由（2）知，，取，有，即，即，所以．4.解析：（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：，，，故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率．（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率，所以，，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值，且最大值为．由，且，得．当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为．5.解析：（1）由题意，若，，且乙先赢了第一局，则甲要赢得全部积分，必须赢得后面2局比赛，所以甲最终赢得全部积分的概率为．（2）（ⅰ）设比赛再继续进行X局，甲获胜，当时，甲以获胜，，当时，甲以获胜，，所以甲赢得全部积分的概率为，乙赢得全部积分的概率为，故．（ⅱ）设比赛再继续进行Y局，甲赢得全部积分，当时，甲以获胜，，当时，甲以获胜，，所以，因此，当时，，所以函数在上单调递增，，所以乙赢得全部积分的概率的最大值为，故当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率小于5％．6.解析：（1）因为当，且时，可近似地认为，即，这里，，所以，（2）①若，则；②若，其中，则.比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是非常接近的，说明