专题04 基本不等式（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第1页（共20页）专题专题04基本不等式

1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.►考点01基本不等式的理解及常见变形▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼基本不等式的常见变形(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．【例1】（2022秋•射阳县校级月考）若，且，则下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】举反例，可判断错误，利用基本不等式可判断正确．【解答】解：对于，若，，则，故错误，对于，若，，则，故错误，对于，，，，又，，故正确，对于，若，，则，故错误，故选：．【例2】（2024秋•城西区校级月考）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于点，连接，，，过点作的垂线，垂足为点，则该图形可以完成的无字证明为A． B． C． D．【答案】【分析】先明确的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明，选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断，选项．【解答】解：由为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，可知，由△△可知，即，所以；在△中，，即当时，，点重合，，此时，所以错误；在△中，△△可得，所以，由于，所以，当时，，此时，所以正确；由于在该图中没有相应的线段与之对应，故，中的不等式无法证明．故选：．【例3】（2021秋•浙江月考）已知命题，命题，则是成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】命题，可解决此题．【解答】解：命题，对任意、都成立，是成立的充分不必要条件．故选：．【例4】（2022秋•三水区校级月考）设，，则下列不等式中一定成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】利用基本不等式，分别判断，再用作差法判断．【解答】解：，，，当且仅当，且，即时取等号，故正确；，，故正确；，，当且仅当时取等号，不一定成立，故错误；，当且仅当时，取等号，故正确．故选：．【例5】（2025•河北模拟）已知，，，则的最小值为A．2 B． C．4 D．9【答案】【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值．【解答】解：由，，，得，当且仅当且，即时取等号．故选：．►考点02利用基本不等式求最值▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．【例6】（2025•五华区模拟）已知，，且，则的最小值为A．4 B．8 C．16 D．32【答案】【分析】根据基本不等式的解法求解即可．【解答】解：由题意可知，即．令，则．解得或（舍．即，．当且仅当时，等号成立．故选：．【例7】（2025•广东模拟）若，，且，则的最小值为A．2 B． C．3 D．【答案】【分析】由题意可得的表达式，由基本不等式可得的最小值．【解答】解：因为，，且，可得，可得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选：．【例8】（2024秋•漯河期末）已知实数，，且，则的最小值为A． B． C．8 D．12【答案】【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：，，且，则，当且仅当，集，时取等号．故选：．【例9】（2025春•深圳期中）函数的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【分析】根据基本不等式求解即可．【解答】解：当时，，则，当且仅当，即时等号成立．故选：．【例10】（2025•新疆校级一模）已知，则的最小值为A．3 B．4 C． D．6【答案】【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值．【解答】解：因为，，当且仅当，即时取等号．故选：．►考点03与基本不等式有关的恒(能)成立问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.【例11】（2024秋•郑州期末）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】由已知结合基本不等式可求的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化及二次函数性质即可求解．【解答】解：因为正数，满足，所以，当且仅当时取等号，若不等式对任意实数恒成立，则恒成立，所以恒成立，根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值4，故．故选：．【例12】（2025•宜春校级开学）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为．【答案】．【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解．【解答】解：因为，，且，所以，所以，当且仅当且，即，时取等号，又恒成立，所以．故答案为：．【例13】（2024秋•红河州期末）已知，为正实数，且满足，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为，．【答案】，．【分析】先利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，从而得到任意，不等式恒成立，再利用二次函数的性质与恒成立问题的解法即可得解．【解答】解：因为，为正实数，且满足，所以，当且仅当，即，时，等号成立，则由题意可得在，上恒成立，即在，上恒成立，只需，设函数，其在，上单调递减，在，上单调递增，所以在处取得最大值（4），所以，故实数的取值范围为，．故答案为：，．【例14】（2024秋•榆林期末）已知，，且，则下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】由重要不等式可得出，可判断选项；利用基本不等式可得出，再利用基本不等式及不等式的性质可判断选项；分析可知，关于的二次方程有实根，由△可判断选项；由基本不等式可得出，再利用立方和公式可判断选项．【解答】解：因为，，且，对于，由重要不等式可得，则，当且仅当时，等号成立，故错；对于，由重要不等式可得，可得，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，故对；对于，由题意可知，关于的二次方程有实根，则△，即，解得，又因为，所以，，故对；对于，由可得，由基本不等式可得，可得，即，因为，，则，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，，故对．故选：．【例15】（2024•湖南学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为A．2 B．3 C．4 D．6【答案】【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解．【解答】解：因为，，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故．故选：．►考点04基本不等式的实际应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．【例16】（2024秋•昌吉州期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A．12件 B．24件 C．36件 D．40件【答案】【分析】平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，利用基本不等式，即可求得和此时的值．【解答】解：设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则由题意可得，当且仅当时取得最小值，即当每批应生产产品40件时最小．故选：．【例17】（2024秋•成都期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作A．20个 B．30个 C．40个 D．50个【答案】【分析】根据题设有每个面包的总成本，应用基本不等式求结果．【解答】解：因为固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，所以总成本为，则每个面包的总成本，当且仅当时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个．故选：．【例18】（2024秋•广州期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元【答案】【分析】设池底的长为，宽为，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值．【解答】解：设池底的长为，宽为，则，即，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，建造这个水池的总造价是，当且仅当，即时，等号成立，所以贮水池的最低总造价是198400元．故选：．【例19】（2024秋•科尔沁区校级期末）一天，陶渊明采菊东篱下．想用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是．A．289 B．104 C．162 D．138【答案】【分析】设出矩形菜园的靠墙的一边长为，由已知表示出另一边长，再求出矩形面积的表达式，法利用基本不等式即可求出菜园的最大面积；法由二次函数的性质可得函数的最大值．【解答】解：设矩形菜园的靠墙的一边长为，，因为篱笆的长为，则宽为，法所以矩形菜园的面积为：，当且仅当，即时等号成立，所以矩形菜园的最大面积是．法，，开口向下，对称轴，而，所以时，则．即矩形的面积的最大值为．故选：．【例20】（2024秋•柳州期末）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为．则至少需要40米棚栏．【答案】40．【分析】根据面积可得，周长为，然后根据基本不等式求最小值．【解答】解：由题意可得，且周长，，，则，当取等号，即至少需要40米棚栏．故答案为：40．►考点05基本不等式与其他知识交汇的最值问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题．【例21】（2025春•吉林期中）在函数的图象与轴围成的封闭图形内作一内接矩形，则可作矩形的最大面积为A． B． C． D．27【答案】【分析】设、在抛物线上，若，则点，所以矩形的面积可表示为，，再利用导数求出其最大值即可．【解答】解：设、在抛物线上，若，则点的坐标为，所以矩形的面积可表示为，，所以，令，解得或（舍去），又因为在上单调递增，在，上单调递减，所以矩形的最大面积为．故选：．【例22】（2025春•莲湖区期中）已知复数，，且，若是纯虚数，则的最小值是A．9 B．4 C．1 D．【答案】【分析】结合复数的基本运算及概念先求出，的关系，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为复数，，且，若是纯虚数，则，，当且仅当，即，时取等号．故选：．【例23】（2025春•太原期中）已知△中，过中点的直线分别与直线，交于点，，且，，则的最小值为A．9 B． C．7 D．【答案】【分析】结合向量的线性运算求出，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为为的中点，且，，则，所以，即，则，当且仅当，即，时取等号．故选：．【例24】（2024秋•石嘴山期末）函数且