专题10 二次函数与幂函数（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题10二次函数与幂函数

1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b,2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减►考点01幂函数的定义域与值域▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.将化为分数，判断奇偶性与定义域．2.结合图像求值域（注意定义域限制）．【例1】（2024秋•石家庄期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为A． B． C．， D．，【答案】【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求出的解析式，从而求出的定义域，进而求出函数的定义域．【解答】解：幂函数的图象过点，设，，，，故该函数的定义域为，．则对于函数，应有，求得，可得函数的定义域为，．故选：．【例2】（2023秋•河南期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为A． B． C．， D．【答案】【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可．【解答】解：是幂函数，设，将代入解析式，得，解得，故，则，故，解得．故选：．【例3】（2024秋•杭州期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是A． B． C．， D．，【答案】【分析】由已知点的坐标，结合幂函数的定义先求出，然后结合幂函数及二次函数的性质即可求解．【解答】解：设，由题意得，（2），所以，，则．故选：．【例4】（2024秋•牡丹江期末）已知幂函数的图象关于轴对称．（1）求的解析式；（2）求函数在，上的值域．【答案】（1）；，．【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求出的值即可；（2）由（1）求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果．【解答】解：（1）因为是幂函数，所以，解得或．当时，，则，（1），则函数图象不关于轴对称，故舍去，当时，则，定义域为，关于原点对称，且，则此时为偶函数，图象关于轴对称，故．（2），因为，，，（1），故在，上的值域为，．【例5】（2024秋•江西月考）已知幂函数，其中，，满足：（1）是区间上的增函数；（2）对任意的，都有．求同时满足（1），（2）的幂函数的解析式，并求，时的值域．【答案】幂函数的解析式为，，时，函数的值域为，．【分析】分别代入的不同取值，求出的解析式，求出函数的值域即可．【解答】解：，，，0，1．对任意，都有，即，所以是奇函数．当时，只满足条件（1）而不满足条件（2）；当时，，条件（1）不满足；当时，条件（1）、（2）都满足，且在区间，上是增函数．所以幂函数的解析式为，所以，时，函数的值域为，．►考点02幂函数的图像识别与比较大小▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼比较大小方法：同底数不同指数：利用单调性（如与）．同指数不同底数：利用幂函数在第一象限的图像（如与，底数大的函数值大）．中间值法：借助0,1等中间值比较（如与，前者，后者）．【例6】（2024秋•抚松县期末）已知，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【答案】【分析】根据幂函数单调性分析判断即可．【解答】解：因为，即，又因为，，所以．故选：．【例7】（2024秋•南京期末）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为A． B． C． D．【答案】【分析】根据函数的单调性、幂函数、对数函数、三角函数等知识来确定正确答案．【解答】解：点在幂函数的图象上，，解得，，在上单调递减，，，，，即．故选：．【例8】（2024秋•湖南期末）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为A． B． C． D．【答案】【分析】首先根据幂函数所过的点求解幂函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函数单调性判断函数值大小关系即可．【解答】解：已知幂函数经过点，可得，解得，即，易知在上单调递减，由于，所以可得，综上所述，．故选：．【例9】（2024秋•新疆期中）下列大小关系正确的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据幂函数的单调性比较大小．【解答】解：对于，在上单调递增，且，所以，选项正确；对于，在上单调递增，且，所以，选项错误；对于，在上单调递减，且，所以，选项错误；对于，在上单调递减，且，所以，选项错误．故选：．【例10】（2024秋•南京月考）设，，，则、、的大小关系为A． B． C． D．【答案】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小．【解答】解：因为，，，所以．故选：．►考点03幂函数的奇偶性与单调性综合▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.由奇偶性确定的分数形式中p,q的奇偶性．2.结合单调性判断的正负．3.利用奇偶性将不等式转化为正数区间上的问题（如奇函数中，可转化为在正数区间比较）．【例11】（2024春•桦南县期末）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】根据已知条件，结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解．【解答】解：幂函数在上是减函数，则，解得，，则，1，2，当或2时，均为奇数，不符合题意，舍去，当时，在为偶数，符合题意．故选：．【例12】（2023秋•周至县期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数的值为．【答案】．【分析】由幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，可得，且为偶数．解出即可．【解答】解：幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，，且为偶数．解得或2，只有时满足且为偶数．，故答案为：．【例13】（2023秋•金坛区月考）已知幂函数且为奇函数，且在区间上递增，则等于A．1 B．2 C．1或3 D．3【答案】【分析】根据幂函数的单调性及奇偶性求解即可．【解答】解：因为且在区间上递增，所以且，所以，2，，当时，幂函数为奇函数，符合题意；当时，幂函数为偶函数，不符合题意；当时，幂函数为奇函数，符合题意，综上等于1或3．故选：．【例14】（2023秋•广陵区期中）已知幂函数的图像关于轴对称，且（2）（3）．（1）求的值及函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），．（2），，．【分析】（1）根据幂函数的图像关于轴对称，且（2）（3）知在区间为增函数，且是偶函数，由此求出的值和的解析式；（2）根据函数的性质把不等式化为，两边平方求出的取值范围．【解答】解：（1）幂函数的图像关于轴对称，且（2）（3）；所以在区间为增函数，所以，即，解得；又因为，是偶函数，所以为偶数，所以；函数的解析式为：．（2）不等式，函数是偶函数，在区间为增函数，所以，化简得，解得或，所以实数的取值范围是，，．【例15】（2024春•玉林期末）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为A．0 B．2 C．3 D．2和3【答案】【分析】由题意可得，且为偶数，结合，，求出的值．【解答】解：由题意，可得，且为偶数，，，或3．故选：．►考点04二次函数的解析式▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．【例16】（2024秋•淮安期中）已知二次函数满足，则的解析式为A． B． C． D．【答案】【分析】利用凑配法来求得正确答案．【解答】解：已知二次函数满足，由于，所以．故选：．【例17】（2024秋•广州期末）已知二次函数满足．（1）求函数的解析式；（2）若，，，求的最小值．【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解；（2）由（1）可得，，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）设，因为二次函数满足，所以，即，所以，解得，所以；（2）由（1）可知，所以，，，当时，在，上单调递增，所以，当时，，当时，在，上单调递减，所以（2），综上，．【例18】（2024秋•黑龙江期中）已知二次函数的最小值为1，（2）．（1）求的解析式；（2）若，，试求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用待定系数法，先设出函数解析式，再列方程解系数即可；（2）根据对称轴与区间，在数轴上的位置关系分类讨论即可．【解答】解：（1）的最小值为1，且（2），图象的对称轴为．故可设．又，．．（2）①若，则在，上是增函数，；②若，即，则在，上是减函数，；③若，即，则（1）．综上所述，函数的最小值．【例19】（2024秋•蜀山区期中）已知二次函数，且．（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式．【答案】（1）；（2）答案见详解．【分析】（1）结合条件，用待定系数法求解即可；（2）将问题转化为，讨论参数的范围求解即可．【解答】解：已知二次函数，且．（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，解得，所以．（2）由，可得，即，当，即时，不等式解集为，当，即时，不等式解集为，当，即时，不等式解集为，综上，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为．【例20】（2024秋•南关区月考）已知二次函数的图象过点，，．（1）求函数的解析式；（2）画出函数在，上图象．【答案】（1）；（2）【分析】（1）设，将点的坐标代入，即可得到方程组，解得、、，即可求出函数解析式；（2）根据函数解析式画出函数图象．【解答】解：（1）已知二次函数的图象过点，，，设，依题意可得，解得，所以；（2）因为的对称轴为，（4），，所以函数在，图象如下所示：►考点05二次函数的图象与性质▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”．(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”．【例21】（2025•江城区三模）若函数在，上不单调，则实数的取值范围为．【答案】．【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：函数的对称轴为，在，上不单调，所以，所以实数的取值范围为：．故答案为：．【例22】（2024秋•随州期末）关于的方程的两个不等根，，都在之内，则实数的取值范围为A． B． C． D．，，【答案】【分析】结合二次函数的图象与性质列不等式组，即可求解．【解答】解：因为方程的两个不等根，，都在之内，可得函数在内有两个零点，所以，解得且．故选：．【例23】（2025•乌兰察布三模）已知是定义在，上的偶函数，那么的值是A． B． C． D．【答案】【分析】根据偶函数区间的对称性，可求出，再根据偶函数，求出，从而求出．【解答】解：因为是定义在，上的偶函数，所以区间，关于原点对称，则，解得，又（1），即，所以，故．故选：．【例24】（2024秋•盐城期末）已知，对，，都有成立，则实数的取值范围是