专题11 指数与指数函数（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题11指数与指数函数

1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂正数的正分数指数幂：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1增函数减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．►考点01指数运算与化简求值▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【例1】（2025•湖北模拟）已知，，化简得A． B． C． D．【答案】【分析】根据分数指数幂和根指数幂的关系化简即可．【解答】解：，，化简，故选：．【例2】（2025•新乡二模）A．16 B． C．32 D．【答案】【分析】结合指数幂的运算法则，即可求解．【解答】解：原式．故选：．【例3】（2024秋•光明区期末）化简的结果是A． B． C． D．【答案】【分析】直接化根式为分数指数幂得答案．【解答】解：．故选：．【例4】（2025•扬州模拟）已知，则化为A． B． C． D．【答案】【分析】利用根式的运算性质即可得出．【解答】解：原式．故选：．【例5】（2024秋•上城区月考）已知，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据条件可求出的值，然后对求平方即可得解．【解答】解：，，，．故选：．►考点02指数函数的定义域与值域▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼定义域：直接法：形如的函数，定义域即的定义域（需注意本身的限制，如分母不为零、根号下非负等）．值域：复合函数法：1.先求内层函数的值域D；2.再根据指数函数的单调性，求y在时的取值范围．【例6】（2023秋•上饶期末）函数的定义域为A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】根据函数的定义域的概念以及指数函数的性质求解．【解答】解：函数有意义则必有，解得，所以定义域为，．故选：．【例7】（2024秋•宜春期中）函数的定义域为A．， B． C．， D．【分析】可看出，要使函数有意义，则需满足，解出的范围即可．【解答】解：要使函数有意义，则；解得：；函数的定义域是．故选：．【例8】（2024秋•常州期末）函数的值域为A．， B．， C． D．，【答案】【分析】根据指数函数的性质即可求解．【解答】解：设，，，．故选：．【例9】（2025•杨浦区开学）已知函数的定义域为，则函数的值域为，．【答案】，．【分析】根据题意可转化为在上恒成立，从而可解范围，再利用换元法可解值域．【解答】解：已知函数的定义域为，即在上恒成立，若时，则不能恒成立，则时，则，则，综上，令，又在，单调递增，则，则函数的值域为，．故答案为：，．【例10】（2024秋•安宁区期末）已知，求函数的值域为．【答案】．【分析】借助换元法可得，再结合的范围运用二次函数性质计算即可得．【解答】解：令，由，则，则，由，则，又当时，，当时，，有，故，故函数的值域为．故答案为：．►考点03指数函数的单调性与比较大小▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）．2.同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）．3.中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）．注意：若底数和指数均不同，可通过取对数转化为乘法运算比较（如比较与，两边取自然对数得与）．【例11】（2024秋•江西期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】由指数复合函数的区间单调性有，即可求参数范围．【解答】解：根据指数函数的性质可知，在上单调递减，且在区间上单调递减，根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递增，根据二次函数的单调性可知，，即，的取值范围是，．故选：．【例12】（2024秋•海南期末）设，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【答案】【分析】根据指数函数的单调性即可判断．【解答】解：因为在上增函数，所以，即，又在上减函数，所以，即，所以．故选：．【例13】（2024秋•庐江县期末）已知，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【答案】【分析】根据指数函数、幂函数的性质判断即可．【解答】解：指数函数在定义域上单调递减，过点，幂函数在上单调递增且过点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下：所以与有且仅有一个交点，且交点的横坐标属于，又，所以，又，所以，因为，所以，，综上知，．故选：．【例14】（2024秋•普陀区期末）函数的严格递减区间为，．【答案】，．【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解．【解答】解：由题意指数函数在定义域内严格单调递减，若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可，而二次函数对称轴为，且开口向上，故它的严格单调递增区间为，，即函数的严格递减区间为，．故答案为：，．【例15】（2025•辽宁二模）已知，，，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据函数单调递增，单调递减，判断．【解答】解：因为单调递增，所以，又因为单调递减，所以，所以，即．故选：．►考点04指数方程与不等式▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼指数方程：同底法：若方程可化为，则（且）．换元法：形如的方程，令（），转化为二次方程求解，注意验根（）．指数不等式：同底法：若不等式可化为，则：当时，；当时，．换元法：类似指数方程，通过换元转化为整式不等式，注意新变量范围．对数法：两边取对数（注意对数函数定义域，需保证两边均为正数），如（，），两边取自然对数得，再分的正负讨论．【例16】（2023秋•长沙期中）已知且满足不等式．（1）求实数的取值范围．（2）求不等式．（3）若函数在区间，有最小值为，求实数值．【答案】【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式即可求实数的取值范围．（2）根据对数函数的单调性求不等式．（3）根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出的值．【解答】解：（1）．，即，，，，．（2）由（1）知，．等价为，即，，即不等式的解集为，．（3），函数在区间，上为减函数，当时，有最小值为，即，，解得．【例17】（2024秋•河南期中）设函数且是定义域为的奇函数；（1）若（1），判断的单调性并求不等式的解集；（2）若（1），且，求在，上的最小值．【分析】由题意，先由奇函数的性质得出的值，（1）由（1）求出的范围，得出函数的单调性，利用单调性解不等式；（2）（1）得出的值，将函数变为，再利用换元法求出函数的最小值．【解答】解：函数且是定义域为的奇函数，可得，从而得，即．（1）由（1）可得，解得，所以是增函数，由可得，所以，解得，即不等式的解集是．（2）（1）得，解得，故，令，它在，上是增函数，故，即．此函数的对称轴是，故最小值为．【例18】（2024•德阳模拟）已知函数，的最大值为1．（1）求常数的值；（2）若，，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由题可得，分类讨论可得时，，即，然后通过构造函数可求；（2）由题可得，构造函数，利用导数可得，即得．【解答】解：（1）由题意，．由于，所以若，即，当时，；当时，；即在上单调递减，在，上单调递增，不合题意；若，即，当时，；当时，；即在上单调递增，在，上单调递减，，所以，两边取自然对数得：，即，令，则，易知时，，单调递增；时，，单调递减，（1），即的根为1，所以，即；（2）由（1）知，且在上单调递增，在上单调递减，（1），，当时，；当时，，由，不妨设，则，令，于是，所以在上单调递增，所以，所以，且，，从而，即．【例19】（2024秋•辛集市期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是．【分析】根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△，解不等式即可得到结论．【解答】解：不等式等价为，即恒成立，恒成立，即△，即，解得，故答案为：．【例20】（2024春•衡阳期末）若偶函数满足，则不等式的解集是A． B． C．或 D．或【答案】【分析】由偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式．【解答】解：由偶函数满足，可得，则，要使，只需，解得或．故选：．►考点05指数函数的图象及应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．【例21】（2025春•湖南月考）若函数的大致图象如图所示，则A． B． C． D．【答案】【分析】由已知可得，分类讨论，可得结论．【解答】解：由题意知，令，得，所以．由函数的图象知，，所以当时，；当时，．当时，若，，所以，和图象不符，所以，，所以一定有．故选：．【例22】（2024秋•阜阳期末）四个指数函数，，，的图象如图所示，则下列结论正确的是A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和【答案】【分析】由已知结合指数函数的性质分别检验各函数即可判断【解答】解：结合指数函数的性质可知，当时，单调递增，且底数越大，函数图象越接近轴，当时，单调递减，且底数越小，函数图象越接近轴，故，，，的图象分别对应④③①②．故选：．【例23】（2024秋•颍泉区期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能是A． B． C． D．【答案】【分析】利用函数奇偶性的性质，及特殊值可判定选项．【解答】解：令，易知，，，，即，，，分别为奇函数、偶函数、偶函数、偶函数，由图象可知为奇函数，且在处有定义，故排除，显然对于项，在处有定义，，为奇函数，故成立．故选：．【例24】（2024秋•安宁区期末）函数的图象大致形状是A． B． C． D．【分析】由已知写出分段函