专题14 导数的概念及其意义、导数的运算（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题14导数的概念及其意义、导数的运算

1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．常用结论1．在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝eq\f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．►考点01导数的运算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．【例1】（2025春•广州期中）下列求导运算正确的是A． B． C． D．【答案】【分析】本直接利用求导公式计算即可．【解答】解：选项：，故选项错误；选项：，故选项错误；选项：，故选项正确；选项：，故选项错误；故选：．【例2】（2025•鹤壁一模）已知函数，则（1）A．1 B．2 C． D．【答案】【分析】因为（1）是常数，所以对求导数得（1），再将代入得到关于（1）的方程，解之可得答案．【解答】解：对于，求导数得，当时，，解得．故选：．【例3】（2024秋•江苏期末）下列求导的运算中，正确的是A． B． C． D．【答案】【分析】利用基本函数的导数公式和运算法则逐项求解即可；【解答】解：项，故项正确；项．，故项错误；项．，故项正确；项，故项正确．故选：．【例4】（2024春•东城区期中）下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．其中运算结果正确的是A．①④ B．①③ C．①②④ D．②③④【答案】【分析】根据导数四则运算法则及复合函数求导公式即可判断．【解答】解：，故①正确；，故②正确；，故③错误；，故④正确．故选：．【例5】（2025春•河南月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．【答案】【分析】利用导数来求切线斜率，写出点斜式方程即可．【解答】解：因为，所以，所以，所以所求切线方程为．故选：．►考点02导数的几何意义——求切线方程▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.明确切点：若已知切点，直接代入点斜式求切线方程．若未知切点，需设切点为，通过条件（如切线过某点、切线斜率已知）列方程求解．2.注意切线与导数的关系：若函数在处可导，切线唯一；若不可导（如尖点），需通过极限定义分析切线．3.易错点：区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”：过点P的切线，点P未必是切点，需设切点后求解．【例6】（2025•江苏一模）曲线在点，（1）处的切线方程为A． B． C． D．【答案】【分析】由导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求解切线方程即可．【解答】解：由，得（1），则所求切线切点坐标为，，则（1），则所求切线斜率为，故所求的切线方程为，即．故选：．【例7】（2025春•贵州期中）函数的图象在点，处的切线方程为A． B． C． D．【答案】【分析】对函数求导，根据导数几何意义及点斜式即可求解直线方程．【解答】解：因为，所以，所以，，所以所求切线方程为，即．故选：．【例8】（2025春•河北区月考）若直线与曲线相切，则A． B． C． D．4【答案】【分析】设切点为，对求导，利用导数的几何意义建立关于，，的方程组，解出即可．【解答】解：由，可得，设切点为，则，解得．故选：．【例9】（2025春•红桥区月考）已知函数，则在处的切线方程为A． B． C． D．【答案】【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．【解答】解：因为，所以，所以（1），（1），所以所求切线方程为，即为．故选：．【例10】（2025春•菏泽期中）下列函数中，求导正确的是A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】利用导数的运算分别求导即可．【解答】解：因为，所以，即选项正确．因为，所以，即选项错误．因为，所以，即选项正确．因为，所以，即选项正确．故选：．►考点03导数的几何意义——求参数的值(范围)▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．【例11】（2025春•三原县期中）已知函数在点，（1）处的切线的斜率为2，则A． B．0 C．1 D．2【答案】【分析】根据导数的几何意义即可求解．【解答】解：，所以，所以（1），所以．故选：．【例12】（2025•南安市模拟）已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【分析】根据切线的斜率为1，则切点处的导数值为1，由此求出，的关系，将构造成某个变量的函数形式，求值域即可．【解答】解：设曲线的切点为，，又，由题意，所以，故①．又②．由①②得：，所以．当且仅当时取等号．故．故选：．【例13】（2025•江苏模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线与轴平行，则A． B． C．0 D．1【答案】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线平行即可得解．【解答】解：因为函数，所以，因为曲线在点，（1）处的切线与轴平行，所以（1），解得．故选：．【例14】（2025春•南宁期中）若直线与曲线相切，则的取值范围是A． B．， C．， D．【答案】【分析】设切点坐标为，，求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解．【解答】解：因为，所以，设直线与曲线相切于点，，则，所以实数的取值范围为．故选：．【例15】（2025•苏州模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线与直线平行，则实数的值为A． B． C． D．1【答案】【分析】根据导数的几何意义，直线平行的条件，建立方程，即可求解．【解答】解：因为，所以，又在点，（1）处的切线与直线平行，所以（1），解得．故选：．►考点04两曲线的公切线▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．【例16】（2025春•临沂期中）已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为A．或3 B．1或 C． D．3【答案】【分析】先设切点坐标为，再求切线方程，再将点代入切线方程中，构造函数，通过其单调性求出，进而求出切线方程，再联立切线方程与，利用△即可求得．【解答】解：因为曲，所以，设切线与切于点，则切线斜率为，所以切线的方程为，又其过，则，所以，若，则，故，则，若，则，，，则，即，令，则，则得；得，则在上单调递增，在上单调递减，则（1），即，等号成立时，故，故切线方程为，联立，得，则△，得或3．故选：．【例17】（2025春•山东期中）若直线与曲线相切，切点为，，与曲线也相切，切点为，，则的值为A． B． C．0 D．1【答案】【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解．【解答】解：因为直线与曲线相切，切点为，，可知直线的方程为，又直线与曲线也相切，切点为，，可知直线的方程为，所以，两式相除，可得，所以．故选：．【例18】（2025春•辽宁月考）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是A．， B．， C．，， D．，，【答案】【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可．【解答】解：，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，则切线方程分别为，，所以由①得，代入②得，令，则，所以当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以，又当时，，所以的值域为，，所以的取值范围是，，．故选：．【例19】（2025春•龙岗区期中）已知和有公共切线，切点分别为，，，，则下列结论不正确的是A． B． C．若点，则始终为钝角 D．【答案】【分析】根据导数的几何意义，方程与化归转化思想，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：因为，，所以，，又和有公共切线，切点分别为，，，，所以，，，所以，即，所以，所以选项正确；所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以选项正确